Microsoft Excel

Значительная часть математических моделей различных объектов и процессов записывается в достаточно простой и компактной матричной форме.

Матрицей размера т × п называется прямоугольная таблица чисел, содержащая т строк и п столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы и обозначаются строчными буквами с двойной индексацией: а_i,j, где i — номер строки, j — номер столбца. Например, матрица А размера т × п может быть представлена в виде:

где i=1,…,m;  j=1,...,n.

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором)-строкой: 

 ,а из одного столбца - матрицей (вектором)-столбцом:

.

Если число строк матрицы равно числу столбцов и равно п, то такую матрицу называют квадратной n-го порядка. Например, квадратная матрица 2-го порядка.

Операции с матрицами.

Как и над числами, над матрицами можно проводить ряд операций, причем в случае с матрицами некоторые из операций являются специфическими.

- Транспонирование.

Транспонированной называется матрица (А^Т), в которой столбцы исходной матрицы (А) заменяются строками с соответствующими номерами.

В сокращенной записи, еслиА=(a_ij), то А^Т=(а_ij).

Например:

; 

Из определения транспонированной матрицы следует, что если исходная матрица А имеет размер т × п, то транспонированная матрица А^Т имеет размер п × т.

Для осуществления транспонирования в Excel используется функция ТРАНСП, которая входит в категорию Ссылки и массивы и позволяет поменять ориентацию массива на рабочем листе с вертикальной на горизонтальную и наоборот.

Синтаксис: ТРАНСП (массив). Здесь массив — это транспонируемый массив или диапазон ячеек на рабочем листе. Транспонирование массива заключается в том, что первая строка массива становится первым столбцом нового массива, вторая строка массива становится вторым столбцом нового массива и т. д.

- Вычисление определителя матрицы.

Важной характеристикой квадратных матриц является их определитель. Определитель матрицы — это число, вычисляемое на основе значений элементов массива. Определитель матрицы А обозначается как или ∆.

С ростом порядка матрицы п резко увеличивается число членов определителя (n!). Например, при n = 4 имеем 24 слагаемых.

Существуют специальные правила, облегчающие вычисление определителей вручную, учитываются свойства определителей и т. п. Excel для вычисления определителя квадратной матрицы используется функция МОПРЕД.

Синтаксис: МОПРЕД(массив). Массив — это числовой массив, в котором хранится матрица с равным количеством строк и столбцов. При этом массив может быть задан как интервал ячеек, например, А1:СЗ; или как массив констант, например, {1;2;3:4;5;6:7;8;9}.

- Нахождение обратной матрицы.

Матрица А^-1 называется обратной по отношению к квадратной матрицеА, если при умножении этой матрицы на данную как слева, так и справа получается единичная матрица: .

Как следует из определения, обратная матрица является квадратной того же порядка, что и исходная матрица.

В Excel для нахождения обратной матрицы используется функция MINVERSE, которая вычисляет обратную матрицу для матрицы, хранящейся в таблице в виде массива.

Функция имеет вид МОБР(массив). Здесь массив — это числовой массив с равным количеством строк и столбцов. Массив может быть задан как диапазон ячеек, например А1:СЗ; как массив констант, например {1;2;3;4;5;6; 7;8;9} или как имя диапазона или массива.

- Сложение и вычитание матриц.

Складывать (вычитать) можно матрицы одного размера. Суммой матриц А=(а_ij) и В=(b_ij) размера т × п называется матрица С=А+В, элементы которой c_ij = а_ij + b_ij для i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n, (то есть матрицы складываются поэлементно).

В Excel для выполнения операций суммирования и вычитания матриц могут быть использованы формулы, вводимые в соответствующие ячейки.

- Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы А на число к называется матрица В = kA, элементы которой b_ij = ka_ij  для i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2,...,п. Иначе говоря, при умножении матрицы на постоянную каждый элемент этой матрицы умножается на эту постоянную.

В Excel для выполнения операции умножения матрицы на число могут быть использованы формулы, вводимые в соответствующие ячейки.

- Умножение матриц.

Произведение матриц определено, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

При этом матрица С (размера т × р) называется произведением матриц А и В, если каждый ее элемент с_ij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-гo столбца матрицы В.

Для нахождения произведения двух матриц в Excel используется функция МУМНОЖ, которая вычисляет произведение матриц (матрицы хранятся в массивах).

Функция имеет вид МУМНОЖ (мaccuв1; мaccuв2). Здесь массив1 и массив2 — это перемножаемые массивы. При этом количество столбцов аргумента массив1 должно быть таким же, как количество строк аргумента массив2, и оба массива должны содержать только числа. Результатом является массив с таким же числом строк, как массив1 и с таким же числом столбцов, как массив2.

Система n линейных уравнений с n неизвестными.

Систему уравнений можно записать в виде матричного уравнения:

А × Х= В, где А — матрица коэффициентов при переменных, или матрица системы, Х – матрица-столбец (вектор) неизвестных В — матрица-столбец (вектор) свободных членов:

Существует ряд методов решения системы, методы Крамера, Гаусса, обратной матрицы. С помощью MS Excel можно решить СЛАУ двумя методами: методом Крамера и обратной матрицы.

Суть метода Крамера заключается в следующем: если определитель ∆ системы n линейных алгебраических уравнений отличен от нуля ∆≠ 0, то эта система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

      (j=1, 2, …, n) - определители, образованные с заменой j-го столбца, столбцом свободных членов.

Рассмотрим решение системы методом обратной матрицы. Будем считать, что квадратная матрица системы А является невырожденной, то есть ее определитель |А| ≠ 0. В этом случае существует обратная матрица A^-1.

Умножая слева обе части матричного равенства на обратную матрицу А получим: 

, отсюда решением системы методом обратной матрицы будет матрица-столбец X=A^-1× B. 

Таким образом, для решения системы необходимо найти обратную матрицу коэффициентов и умножить ее справа на вектор свободных членов.