МИФ. Методические рекомендации

Министерство образования и науки Хабаровского края Краевое государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования «Хабаровский краевой центр развития творчества детей и юношества» Центр технического творчества МИФ. Математика. Информатика. Физика Методические рекомендации Хабаровск 2017 Печатается по решению научно­методического совета КГБОУ ДО ХКЦРТДиЮ протокол № 4 от 18.12.2016 г. МИФ. Математика. Информатика. Физика. Методические рекомендации / Сост. Н.В. Ганжусь. – Хабаровск: КГБОУ ДО ХКЦРТДиЮ, 2017. – 28 с. Ответственный редактор: Г.А. Бровко Ответственный за выпуск: А.Ф. Немцев Компьютерная верстка: В данных   методических   рекомендациях   представлены   материалы педагогов учреждений высшего профессионального образования, воспитателей Хабаровского края, посвященные использованию активных методов обучения в организации   образовательной   деятельности   и   преподавании   информатики, математики, физики. Методические рекомендации адресованы педагогическим работникам,  осуществляющим физико­математическое образование детей. © КГБОУ ДО ХКЦРТДиЮ, 2017 Содержание Введение.................................................................................................................................................................2 ИНФОРМАТИКА Редько Е.А. Длинная арифметика. Реализация в языке «С»............................................3 МАТЕМАТИКА Рыбкина Н.П., Воротынцева В.С. Зачем и как изучать математику в детском саду?.....................................................................................................................................................7 ФИЗИКА Горбанева Л.В. Применение законов Ньютона к решению задач................................13 Библиографический список...................................................................................................................25 Введение «Ученье, лишенное всякого интереса и взятое только силой принуждения, убивает в ученике охоту к учению, без которого он далеко не уйдет». К.Д. Ушинский Растущие   материально­технические   потребности   опережают   сегодня процессы   социальной   и   психологической   зрелости   людей,   их   способность   к ведению   диалога,   культуре   коммуникаций,   активному   самопознанию   и самовыражению.   Качественно   меняется   и   характер   взаимодействия преподавателя   и   учащихся.   Учащийся   становится   не   столько   объектом обучения, сколько субъектом этого процесса, а педагог – его организатором. Происходит   переход   от   обучения   фактическим   знаниям   к   осмыслению событий, обретению навыков и применению в жизни того, что накоплено при обучении. Ставятся задачи перехода от массового обучения к индивидуальному подходу,   развитию   творческих   способностей   будущих   специалистов, совершенствованию   навыков   самостоятельной   работы,   которые   опираются, прежде всего, на активные методы обучения. Способность   педагога   раскрыть   потенциал   учащегося,   используя   в обучении   активные   методы,   может   обеспечить   конструктивные   изменения   в образовательном   процессе,   помочь   ребенку   оценить   свои   способности   и возможности, правильно определить свое место в жизни и увидеть перспективы будущей профессиональной карьеры. В   соответствии   с   требованиями   федеральных   государственных образовательных стандартов, необходимо более широкое применение методов активного обучения. В отличие от традиционной методики, методы активного обучения   представляют   собой   совокупность   педагогических   действий   и приемов,   направленных   на   организацию   учебного   процесса   и   создающих условия,   мотивирующие   учащихся   к   самостоятельному,   инициативному   и творческому   освоению   учебного   материала   в   процессе   познавательной деятельности. В данных   методических   рекомендациях   рассматриваются   основные методы   пассивного   и   активного   обучения:   лекция   и   упражнения   –   по информатике, игра и демонстрация – по математике, рассказ и практические методы – по физике. Основной   целью   методических   рекомендаций   является   сжатое, структурированное   изложение   методики   проведения   теоретических   и практических занятий с использованием вышеперечисленных методов активного обучения   для   повышения   интереса   учащихся   к   физико­математическому образованию. 2 ИНФОРМАТИКА Редько Е.А., старший преподаватель кафедры математики и информационных технологий ПИ ФГБОУ ВО ТОГУ, г. Хабаровск Длинная арифметика. Реализация в языке «С» Длинная   арифметика  в   вычислительной   технике  –  это   операции (сложение,   умножение,   вычитание,   деление,   возведение   в   степень   и   т.д.)   над числами,   разрядность   которых   превышает   длину   машинного   слова   данной вычислительной   машины.   Эти   операции   реализуются   не   аппаратно,   а программно, с использованием базовых аппаратных средств работы с числами меньших порядков. В олимпиадной   информатике   выделяют   класс   задач,   решение   которых имеет несложный алгоритм, но при этом опирается на арифметические операции с длинными числами. Организация вычислений с длинными числами не перестает быть актуальным вопросом для школьников, судя по низкому уровню решения задач на длинную арифметику. Среди участников олимпиад, приступающих к решению задач с длинными числами, в выигрышной позиции оказываются те школьники, которые выбирают в качестве языка программирования один из следующих языков:  Java, Pithon, Ruby. Данные языки имеют встроенную поддержку длинной арифметики, что позволяет не задумываться о разработке дополнительных алгоритмов, а значит, существенно сокращает время написания программы участником олимпиады. Тем не менее достаточно привлекательным является и язык «C». И прежде всего это обосновывается преимуществом в скорости работы языка с памятью и в быстродействии. Рассмотрим, как организовать работу с длинными числами, используя средства «С». 1. Общие понятия Представление длинных чисел в памяти компьютера основывается на  определении числа в позиционной системе счисления: α0*d0(1), где А=αn ...α2 α2 α0 – запись числа. На примере это определение выглядит так: A=αn*dn+ αn*dn+...+ α2*d2+ α1*d1+  98765432110=9*108+8*107+7*106+6*105+5*104+4*103+3*102+2*101+1*100 Тогда в качестве типа данных, хранящего число по его представлению, можно   выбрать   массив.   Учитывая   необходимость   хранения   размерности длинного числа, введем структуру: structlong_int { unsigned short int size_num; // поле,  хранящееразмерность unsigned int digits[max_size]; //  массивцифр 3 }; Проиллюстрируем,   как   будет   организовано   хранение   длинного   числа 98765432110 в переменной типа long_int (см. size_num индекс элемента массива digits Рисунок 1). Цифры числа будут записаны в «обратном» порядке, т.к. индекс элемента массива определяет разряд цифры. Рисунок 1. Пример хранения длинного числа в памяти, основанного на  определении (1). Задание  1.  Дополните описание структуры long_int таким образом, чтобы была возможность хранить и отрицательные длинные числа. Следующим шагом поговорим о выборе основания системы счисления в представлении   (1).   Если   при   записи   длинного   числа   использовать   систему счисления с основанием 10, то возникает проблема нерационального выделения памяти.   Ведь   для   хранения   десяти   различных   цифр   требуется   всего   4   бита (24=16>10), тогда как тип int предоставляет 4 байта памяти (32 бита). Решением этого вопроса будет выбор основания системы счисления как некоторой степени 10. Рассмотрим в качестве примера представление числа 987654321 в системе счисления с основанием 104 (десятитысячная система счисления): 98765432110=9*(104)2+8765*(104)1+4321*(104)0 То есть массив цифр будет иметь размерность, равную уже 3 (трем), а не 9 (девяти). size_num индекс элемента массива digits Рисунок 2. Пример хранения длинного числа в памяти при выборе основания  системы счисления 104. Выигрыш значительный, так как сложение процессором одноразрядных и 32­разрядных чисел имеет одинаковую вычислительную скорость. Вопрос:   какой   будет   максимально   возможная   степень   10   (для основания   системы   счисления)   при   выборе   базового   типа   элементов массива digits – int? unsignedint? shotint? unsignedshotint? 2. Ввод и вывод длинных чисел Начнем с алгоритма получения в память длинного числа от устройства ввода. Причем не будем усложнять эту подзадачу организацией чтения строки из файла, используем потоковый ввод/вывод. Первый   этап   получения   длинного   числа   с   клавиатуры   –   ввод   строки, которая на следующем этапе будет «разбиваться» на цифры. 4 Как было сказано в разделе, описывающем общие понятия, существуют два варианта формирования цифр в зависимости от выбора основания системы счисления. Приведем оба алгоритма. Вариант 1. Основание системы счисления 10 long_int input() { long_int T; char s[max_size]; cout <<"input num "<>s; T.size_num=strlen(s); for (int i=0;i>s; shortintbitness=1; //начальное значение степени  десяти intosn2=osn; //дублируем значение основания while (osn2>10) {bitness++;osn2/=10;} //вычисляем степень 10 в значении основания  T.size_num=strlen(s)/bitness+1; //определяем размерность массива в структуре  длинного числа for (int i=0;i=0;i­­) cout<0)  записать   его   в   следующий   разряд, увеличив предварительно разрядность длинного числа: C.size_num++; C.digits[k]=r; Переопределение оператора сложения (+) для длинных чисел в  качестве аргументов long_int operator + (const long_int &A, const long_int &B) { unsigned short int k=max(A.size_num,B.size_num); long_int C; C.size_num=k; unsigned int r=0; for (int i=0;i0) { C.size_num++; C.digits[k]=r; } return C; } 3.2. Умножение на одноразрядное число Алгоритм   отличается   от   предыдущего   только   способом   получения очередной цифры: Небольшим дополнением является строка: C.digits[i]=A.digits[i]*d+r;  while (!C.digits[C.size_num­1]&&C.size_num>1) C.size_num­­; Данный цикл позволяет сократить все незначащие нули в результате, если умножение производилось на нуль. Пример,   иллюстрирующий   выполнение   алгоритма   умножения   на одноразрядное число без сокращения незначащих нулей: при умножении числа 987 на 0 получим в результирующей структуре значение разрядности, равное трем (вычисляется: C.size_num=A.size_num;), и три нуля в массиве цифр: 000. Переопределение оператора умножения (*). Первый операнд – длинное  число, второй – число, не превышающее основание (одноразрядное) long_int operator *(long_int A, int d) { long_int C; if (d>=osn) { cout <<"uncorrected operand"<0) { C.size_num++; 7 C.digits[C.size_num­1]=r; } while (!C.digits[C.size_num­1]&&C.size_num>1) C.size_num­­; return C; } } 3.3. Умножение двух длинных чисел Данный алгоритм организует итерационный процесс по разрядам второго операнда  В, выполняя при этом умножение первого операнда  А  на очередную (начиная   с   конца)   цифру   числа  В.   Для   этого   умножения   используется   уже перегруженный   оператор   умножения   длинного   числа   на   одноразрядное, рассмотренный выше. Далее для результата умножения операнда А на цифру числа В (хранится в переменной Р) необходимо выполнить поразрядный сдвиг влево, заполняя при этом   «освободившиеся»   правые   разряды   нулями.   Величина   сдвига   имеет начальное значение, равное нулю, и после каждого очередного умножения на цифру увеличивается на 1 с помощью операции инкремента (++). Умножение двух длинных чисел (сложность алгоритма О(n2))  long_int operator *(long_int A,long_int B) { long_int C; C.size_num=A.size_num+B.size_num; for (int i=0;i=0;j­­)  P.digits[j+sdvig]=P.digits[j]; for (int j=0;jFтр. F  Fтяж  m a , Рассмотрим прямолинейное равноускоренное движение тела, когда сила тяги F направлена под углом   к скорости V движения тела (рис. 3). α Составим уравнение движения и найдем проекции  сил и ускорения на ось X. F  Fтр x F тр  F Записав это уравнение движения F  cos  Fтр   ma , видим, что F∙cos  >Fα тр. Итак, горизонтально прямолинейно равноускоренно тело движется   в   том   случае,   если   проекция   силы   тяги   на   горизонтальную   ось координат больше на постоянную величину силы трения. 17 Для нахождения силы трения Fтр = µN надо знать силу реакции N. Чтобы  найти силу реакции, составим уравнение движения вдоль оси Y, взяв проекции сил на  эту ось. Fy  F sin  , тогда N  Fтяж  Fsin . Следовательно, Fтр (Fтя  Fsin ) .   Пример 1. Под углом 60° друг к другу в одной плоскости на тело начали действовать две силы по 50 Н каждая. Найти ускорение движения тела и путь, проходимый им за 10 с, если масса тела 100 кг. Коэффициент трения 0,01. ж F1  F2  Fтр  N  Fтяж Для решения задачи сделаем рисунок,  обозначив на нем все действующие на тело силы. Совместим начало отсчета осей координат X и  Y с началом движения тела на Земле (рис. 4). Запишем уравнение второго закона Ньютона в  векторном виде: .  m a Напишем это уравнение в проекциях на ось X:  ma . Сила трения проекции на ось Y: примет вид: Fтр=µN, где N определяем N  F  0 из уравнения движения в . Так как F1=F 0 Произведя необходимые преобразования, получаем: mg . Движение началось из состояния покоя, поэтому путь: а  S  at 2 2 . Подставив численные данные, используя значение g=9,8м/с2, получаем: a 0,77м/с ≈ 2, S=38,5м. Законы   Ньютона   позволяют   решить   основную   задачу   механики   и   для системы   взаимодействующих   тел.   Рассмотрим   некоторые   случаи   движения системы взаимодействующих тел. В   этих   случаях   при   составлении уравнения движения тел следует: а) установить направление скорости движения каждого тела; б) учитывая все силы, действующие на каждое тело, составить уравнение движения сначала в векторной,   а   затем   в   скалярной   форме   для каждого тела; в) считать, что нить – связь между телами   –  нерастяжима   и  невесома;   при   таком условии численное значение ускорения всех тел системы будет одинаковым, и 18 натяжение нити одинаково вдоль нити между двумя соседними телами; г) при решении   задач   не   будем   учитывать   массу   блока   и   трения   в   его   оси;   д)   за неподвижную   систему   координат   следует   брать   землю   и   связывать   с   ней прямоугольную   систему   координат,   направив   оси   так,   чтобы   положительное направление одной из осей совпадало с направлением движения. Пример   2.   На   горизонтальной   плоскости   лежит   тело   А,   которое приводится   в   движение   грузом   В,   подвешенным   на   одном   конце   нити, перекинутой через блок и привязанной другим концом к телу А (рис. 5). На тело А действует сила тяжести Fтяж1, а на тело В – сила тяжести Fтяж2. Коэффициент   трения   при   движении   тела   µ.   С   каким   ускорением   будет двигаться брусок по плоскости, и какова сила натяжения нити? Для нахождения этих величин возьмем оси координат Y и X с началом отсчета О, как показано на рисунке. Изобразим векторами силы, действующие на каждое   тело,   и   найдем   проекции   этих   сил   на   оси   координат.   Ускорения движения тела А и груза В между собою численно равны. Напишем уравнение движения для тела А и груза В в векторном виде: и F н F н Напишем уравнение движения Fн   Fтр   m1a . тела А в проекциях на ось X: Напишем F тяж2 н Получена система уравнений: Сложив эти уравнения движения, получаем: Fн   Fтр   Fтяж2   Fтр Чтобы определить силу трения, необходимо знать N, для этого запишем  m1a  m2a m  ) 2 Fтяж2   Fн  a(m1    N  0 . уравнение движения тела А в проекциях на ось Y:   Fтяж1 Произведя определенные преобразования, получаем: a  ускорение, Зная . определим Fн: Fн   Fтяж1  m1a . Рассмотрим   систему   блоков.  Найдите   силу   натяжения   нити   и ускорения грузов в системе, показанной на рис. 6. Считать, что массы грузов m1 и m2 много больше масс блоков и нити, и трение отсутствует. Сформулированные   в   условии   идеализации   приводят   к   простейшей модели, в которой сила натяжения перекинутой через блоки нити одинакова по всей длине. Для решения составим уравнения второго закона Ньютона для каждого из грузов. Силы, действующие на грузы, показаны на рисунке. Тогда F н  F тяж1 19 Связь между ускорениями грузов  а1, и  а2  в этой системе не столь очевидна, как в предыдущей задаче. Поэтому, не предрешая заранее направления ускорений грузов, обозначим через а1y и а2y их проекции на ось Y, направленную вертикально вниз. Запишем выше записанные уравнения в проекциях на ось Y: Обозначим  модуль  силы  натяжения  перекинутой через   блоки   нити   через   T.   Тогда   вследствие   третьего закона Ньютона на груз m2 со стороны нити действует сила Fн2 = Т, а так как масса левого блока равна нулю, то Fн1 = 2Т.  Т  m a . Теперь уравнения перепишутся в виде Система из этих двух уравнений содержит три неизвестных: ускорения а1 2 и а2  грузов   и   сила   натяжения   нити   Т.  Чтобы   установить   связь   между ускорениями,   накладываемую   условием   нерастяжимости   нити,   рассмотрим мысленно   возможные   перемещения   грузов.   Пусть,   например,   левый   груз опустился на расстояние Δx1. Тогда, как легко видеть из рис. 6, правый груз поднимается на вдвое большее расстояние, т.е. он сдвинется на Δx2= –2Δx1. Поскольку эти перемещения происходят за одно и то же время t, то таким же  соотношением будут связаны и скорости, и ускорения грузов в один и тот же момент времени: V2  2V1 , a2  2a1 . Учитывая эту связь ускорений, можно из составленной уравнений найти ускорения грузов и силы натяжения нити: ранее системы  a 2 Если m1>m2, то ускорение левого груза направлено вниз. Для нахождения направления   движения   нужно   знать   также   начальную   скорость.   А   для определения   положения   грузов   в   любой   момент   времени   потребуется   еще   и знание их начального положения. Пример 3. На гладком горизонтальном столе лежит доска массой М, на которой  находится  брусок  массой  m.  Тела  соединены  легкой  нитью, перекинутой через блок,  масса которого  равна  нулю. Какую силу  F нужно приложить к доске, чтобы она начала двигаться  от  блока   с   постоянным ускорением  а?  Коэффициент  трения между   телами   µ   (рис. 7). Трением между доской и столом пренебречь. На брусок действуют четыре силы: сила   тяжести   Fтяж1,   сила   нормальной реакции N1, сила натяжения нити Fн1  и сила трения Fтр1. На доску 20 действуют   шесть   сил:   сила   F,   сила   тяжести   Fтяж2,   сила   трения   Fтр2,   сила давления   со   стороны   бруска   Fд=   –N1,   сила   нормальной   реакции   N0,   сила натяжения нити Fн2. Запишем основной закон динамики для каждого из тел в проекциях на оси координат: Fтр1  Fн1  ma1 N F  F на ось X: на ось Y: F тр1 на ось X: на ось Y: N третьему  F н1 тр2 F  2 нерастяжимости нити а=а1. Решая совместно уравнения: По F тр1 F  F получим Тогда Заметим, что относительно доски брусок движется с ускорением 2а. Рассмотрим комбинированное движение. На наклонной   плоскости   с   углом   наклона   α неподвижно лежит тело. Коэффициент трения между телом и плоскостью равен µ. Наклонная плоскость   начинает   двигаться   по   столу   с ускорением а в направлении, указанном стрелкой (рис.   8).   При   каком   значении   этого   ускорения тело начнет соскальзывать? На тело действуют три силы: сила тяжести, сила реакции опоры и сила трения. Когда   тело   находится   в   покое,   сила   трения   меньше   или   равна равнодействующей   двух   сил:  силы   тяжести   и  силы  нормального   давления.  В этом случае µ≥tg .α Когда плоскость начинает двигаться, изменяется сила давления тела на стол и, соответственно, сила нормальной реакции, уменьшается сила трения, и тело может начать скользить вдоль наклонной плоскости. Рассмотрим   движение   тела   относительно   стола.   Ускорение   тела относительно этой системы отсчета равно a  a0  а , где а – ускорение тела относительно плоскости, а0 – ускорение плоскости относительно стола. Если скольжения тела нет, то а=а0. Выберем оси координат, как показано на рисунке. Проекции ускорения  тела на оси X и Y равны: ax  a а0 cos , a y  a0 sin  . Как уже было сказано ранее, на тело действуют три силы: сила тяжести, сила нормальной реакции опоры и сила трения. Запишем основной закон динамики в векторном виде: 21   Fтр   N  Fтяж  m a . Допустим что  , тогда основной закон динамики в проекциях на оси  а 0 координат X и Y примет вид: Fтяж sin   Fтр  ma0 cos N  Fтяж cos ma0 sin  на ось X: на ось Y: Найдем силу трения из первого уравнения этой системы: Fт р Из данного выражения видно, что чем меньше а0, тем меньше должна быть  Fтяж sin   ma0 cos  m(g sin  a0 cos) . сила трения, удерживающая тело неподвижным на наклонной плоскости. Из второго уравнения следует, что сила нормальной реакции зависит от а0, что   ясно   из   физических   соображений.  При   увеличении  а0  сила   нормальной реакции убывает. Максимальное значение силы трения определяется выражением Fтр=µN. Учитывая все вышесказанное, можно определить а0мax, при котором тело еще будет оставаться неподвижным на плоскости: , следовательно,     tg а 1 tg при а <а0мaxтело неподвижно относительно наклонной плоскости и движется с  ускорением а0 относительно стола, при а >а0мax тело начинает соскальзывать. Рассмотрим движение по окружности под действием сил, направленных  под углом друг к другу. l Пример 4. Акробат на подвешенной к куполу цирка веревке   длиной     движется   равномерно   в горизонтальной плоскости по окружности. При этом α угол   отклонения   веревки   от   вертикали   .   Найти натяжение   веревки   и   число   оборотов   за   минуту. Масса акробата m. Будем   рассматривать   движение   акробата   Возьмем   систему относительно   точки   подвеса. координат, как показано на рис. 9. На акробата действуют две силы: сила тяжести Fтяж и сила натяжения веревки Fн. Их равнодействующая удерживает акробата на окружности и равна центростремительной силе. Запишем основной закон динамики: Основной закон динамики в проекциях на оси координат X и Y примет вид: на ось X: на ось Y: Из второго уравнения определим силу натяжения: Fн   cos Используя первое уравнение, определим частоту вращения. Определим Fтяж . 22 скорость через частоту вращения: V=2πR . Радиус окружности определим из треугольника АВО: R=lsin .α ν Подставляя выражение для V, R в уравнение F sin   m н , определим частоту: Задачи для самостоятельного решения 1. Шайба соскальзывает без трения с вершины ледяного полусферического купола. Будет ли она скользить по поверхности купола до самого его основания или оторвется от поверхности раньше? 2. Тело   массой   200   кг   равномерно   тянут   с   силой   1500   Н   вверх   по наклонной   плоскости   с   углом   наклона   30°.  С   каким   ускорением   тело   будет соскальзывать с наклонной плоскости, если его отпустить? 3. Два   тела,   связанные   нитью,   движутся   по   гладкому горизонтальному   столу.   Когда   сила   100   Н   была   приложена   к правому телу, сила натяжения нити была равна 30 Н. Какова будет сила натяжения нити, если эту силу приложить к левому грузу? 4. Найдите силы натяжения нитей и ускорения грузов m1, m2 и m3 в системе, показанной на рис. 10. 5. Найдите силу натяжения нити, ускорение грузов и силу давления на ось блока в системе, показанной на рис. 11. Известны массы грузов m1 и m2 и угол  Трение отсутствует. α , образуемый наклонной плоскостью с горизонтом. 6. В устройстве, показанном на рис. 12, груз m1  скользит без трения по 1=400г,   m2=220г.   Найти наклонной   плоскости   с   углом   наклона   =30°,   m ускорение грузов. α 7. Шарик массой m прикреплен двумя нитями к доске (рис. 13). Каким будет натяжение каждой нити, если доска станет двигаться вверх с ускорением а? 8. На столе лежат два бруска, связанные нитью. На брусок 1 действует сила 20 Н под 23 α углом  =30° к горизонту. Коэффициент трения брусков об стол µ=0,1, массы брусков m1=4кг и m2=2кг. Определить ускорение, с которым движутся тела, а также силу натяжения нити. 9. Две   гири   связаны   нерастяжимой   нитью,   перекинутой   через   блок. Разность их высот равна 2 м. Предоставленные самим себе, гири через 2 с после начала движения оказались на одной высоте. Какова масса более легкой гири, если масса другой гири 0,2 кг? Масса блока равна нулю. 10. По канатной железной дороге с наклоном 30° к горизонту спускается вагонетка массой 500 кг. Какую силу надо приложить к канату, чтобы вдвое снизить скорость вагонетки на пути 10 м, если перед торможением она имела скорость 4 м/с? Коэффициент трения µ=0,01. 11. Через блок перекинута нить, к которой привязаны   два   груза   одинаковой  массы.  Грузы лежат на плоскостях клина, расположенных под углами   к горизонту;  =30°,  =60° (рис. 15).   Коэффициент   трения   грузов   о   плоскости равен µ=0,1. Определить ускорения тел.  и  α α β β 12. Велосипедист при повороте по кругу радиуса R наклоняется внутрь .α закругления   так,   что   угол   между   плоскостью   велосипеда   и   землей   равен   Определить скорость велосипедиста. 24 Библиографический список Литература по информатике 1. Ахо А. Построение и анализ вычислительных алгоритмов / А. Ахо,  Дж. Хопкрофт, Дж. Ульман. – М.: Мир, 1979. – 284 с. 2. Карацуба   А.А.   Сложность   вычислений   /   А.А.   Карацуба   // Оптимальное   управление   и   дифференциальные   уравнения:   сборник   статей   к семидесятилетию со дня рождения академика Евгения Фроловича Мищенко. Т 211. – М.: МИАН, Наука, Физматлит, 1995. – С. 186­202. Кнут Д.Э. Искусство программирования. В 2 т. Т. 2 / Д.Э. Кнут. –  Вильямс, 2001. – С. 294­304. 3. 4. Окулов С.М. Длинная арифметика / С.М. Окулов // Журн.  Информатика. – М.: Первое сентября, 2000, № 4. – С. 19­23. Методическая литература 5. Лившиц А.Л., Порховник Ю.М., Гидрович С.Р. Методические  указания по классификации методов активного обучения. – Л.: ЛИЭИ, 1986. 6. Смолкин А.М. Методы активного обучения: Науч.­метод. пособие. – М.: Высш. шк., 1991. Дополнительные источники 7. Концепция развития математического образования в РФ. Утверждена  распоряжением Правительства РФ от 24 декабря 2013 г. № 2506­р, г Москва. 8. Как    повысить    привлекательность    предметов    естественно­ математического цикла http://tuxtet­1.ucoz.ru/metod_kab/klas_ryk/sandakova/ 25