Многоканальная СМО с ожиданием и ограниченной очередью

Еще больше бесплатных решений задач на сайте www.MatBuro.ru

©МатБюро: Качественное выполнение задач по математике, экономике

Тема:  Многоканальная СМО с ожиданием и ограниченной очередью

ЗАДАНИЕ.   Междугородный переговорный пункт имеет четыре телефонных аппарата. В среднем за сутки поступает 320 заявок на переговоры. Средняя длительность переговоров составляет 5 мин. Длина очереди не должна превышать 6 абонентов. Потоки заявок и обслуживаний простейшие. Определить характеристики обслуживания переговорного пункта в стационарном режиме (вероятность простоя каналов, вероятность отказа, вероятность обслуживания, среднее число занятых каналов, среднее число заявок в очереди, среднее число заявок в системе, абсолютную пропускную способность, относительную пропускную способность, среднее время заявки в очереди, среднее время заявки в системе, среднее время заявки под обслуживанием).

РЕШЕНИЕ. Имеем систему массового обслуживания (СМО) с четырьмя каналами (четыре аппарата), с ожиданием и ограниченной очередью (6 мест).

Получаем параметры n=4 (число каналов), m=6 (число мест в очереди),

 (интенсивность входящего потока, заявок в минуту), µ=1/5

(интенсивность потока обслуживания, одна заявка за 5 минут). Определим характеристики работы данной СМО в предельном режиме. 

                                                                    λ 2/9           5

Вводим параметр ψ= = = - показатель нагрузки на один канал. nµ 4 1⋅ /5 18

Тогда предельные вероятности определяются по следующим формулам:

              n nk                k nn ψ ψn+1(1− m ) ⁻¹

p₀ = ∑ ψ +          =

             _k=0 k!          n!         1−ψ 

 4⁰                                         4¹                                 4²                                   4³                                  4⁴                                    4 (5/18) (1^{4                         5}   (5/18) )^{6 −1}

=  (5/18) +       (5/18) +       (5/18) +       (5/18) +       (5/18) +                                          ≈ 0,328.

 0!                    1!                 2!                 3!                 4!                 4!          1    5/18           

Остальные вероятности:

Еще больше бесплатных решений задач на сайте www.MatBuro.ru

©МатБюро: Качественное выполнение задач по математике, экономике

nk _k                     nn _k p_k = ψ p₀, k =1,2,3,4 и p_k = ψ p₀, k = 5,6,7,8,9,10. k!           n!

Вероятность простоя каналов: p₀ ≈ 0,328.

Вероятность отказа в обслуживании p_r p .

Относительная пропускная способность (вероятность обслуживания)  Q = −1 p_r = −1 0,000009 = 0,99999 . 

Абсолютная пропускная способность .

A

Среднее число занятых каналов N_s = = 0,22222 5⋅ =1,1111.

µ

Среднее число заявок в очереди

                nⁿ        _n+11−ψ^m (m+ −1 mψ)         4⁴                        ₅ 1−(5/18) (6⁶ + −1 6 (5/18))⋅

Nline = ψ 2 p0 = (5/18) 2 ⋅0,328 ≈ 0,018. n! (1−ψ) 4! (1−5/18)

Среднее число заявок в системе N N N=                         _s +           _line =1,111+0,018 =1,129 .

N 1,1111

Среднее время заявки под обслуживанием  T_s  минут,

среднее время заявки в очереди T_line  минуты, среднее

время заявки в системе T T T= _s + _line = 4,99995+0,081≈ 5,08 минуты.