Поделиться
Множества.pptx
Online-edu.mirea.ru
Множества и операции над ними
ФИО преподавателя:
e-mail:
Теория множеств
Теория множеств является важнейшим разделом математики. Созданная во второй половине 19 века Георгом Кантором, эта теория позволила определить понятие бесконечного множества и установить глубокую связь с формальной логикой.
В 20 веке теория получила существенное методологическое развитие, были созданы несколько вариантов аксиоматической теории множеств. Теория множеств стала основой многих разделов математики .
Понятие множества
Множество - это совокупность, каких либо объектов, объединенных общим признаком или свойством.
Примеры:
1) Множество страниц учебника.
2)Множество всех больных в некоторой больнице.
3) Множество дней недели.
4) Множество учащихся в группе.
Примеры множеств
Элементы множества
Объекты, которые образуют множество, называются элементами (или членами) этого множества.
Примеры
Множество животных
Элемент множества животных
Обозначения
Множества обозначают большими латинскими буквами A,B,C,D, …..
Элементы множества обозначают малыми латинскими буквами a,b,c,d,……..
Если элемент 𝑎𝑎 является элементом множества А, то пишут 𝑎𝑎∈𝐴𝐴, если 𝑎𝑎 не является элементом множества А, то пишут 𝑎𝑎∉𝐴𝐴.
Конечные и бесконечные множества
Если множество содержит конечное число элементов, то оно называется конечным. В противном случае множество называют бесконечным.
Примеры:
1) Множество листьев на дереве или множество студентов в данной аудитории – конечные множества.
2) Множества натуральных чисел – бесконечное множество.
Способы задания множеств:
Применяются два основных способа задания множеств:
1)Перечисление элементов множества.
Например:
А= 0,1,2,3,...,9 0,1,2,3,...,9 0,1,2,3,...,9 .
В= красный, синий, зеленый красный, синий, зеленый красный, синий, зеленый .
С= борода, шляпа,очки борода, шляпа,очки борода, шляпа,очки .
Таким способом можно задать лишь конечные множества.
Способы задания множеств:
2)Указание характеристического свойства элементов множества, то есть такого свойства, которым обладают все элементы данного множества, и только они.
Множество, заданное указанием характеристического свойства элементов, записывают так: в фигурных скобках после обозначения элемента х множества ставится вертикальная черта, а затем указывается характеристическое свойство P(х) : А = х⃒ 𝑃(х) х⃒ 𝑃𝑃(х) х⃒ 𝑃(х) .
Способы задания множеств:
Примеры:
1)А= х⃒х𝜖𝑅 и х<7 х⃒х𝜖𝜖𝑅𝑅 и х<7 х⃒х𝜖𝑅 и х<7 - это означает, что элементами множества А являются действительные числа, удовлетворяющие неравенству х<7
2)В= х⃒х𝜖𝑁 и х⋮ 2 х⃒х𝜖𝜖𝑁𝑁 и х⋮ 2 х⃒х𝜖𝑁 и х⋮ 2 - это означает, что элементами множества В являются натуральные числа, которые делятся на 2.
Второй способ применим для задания как бесконечных, так и конечных множеств.
Основные числовые множества:
N – множество натуральных чисел;
N0 – множество целых неотрицательных чисел;
Z – множество целых чисел;
Q – множество рациональных чисел;
R – множество действительных чисел.
Как изобразить числовое множество?
Геометрической моделью множества R является числовая (координатная) прямая. Это означает, что любое действительное число может быть изображено точкой на этой прямой, и наоборот, любая точка числовой прямой соответствует какому – либо действительному числу. Кроме того, если a, b 𝜖𝜖 R и для них выполнено условие a
Множества числовой прямой
Как сравнивают множества:
Различные множества могут содержать или не содержать одинаковые элементы. В зависимости от этого выделяют различные отношения между множествами. Чтобы наглядно изобразить множества и отношения между ними, используют круги Эйлера. Построенные диаграммы называют диаграммами Эйлера-Венна.
Леонард Эйлер
Леонард Эйлер, крупнейший математик 18 века, родился в Швейцарии. Эйлер принадлежит к числу гениев, чьё творчество стало достоянием всего человечества. До сих пор во всех странах изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер.
Леонард Эйлер
Он оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук.
Трудно даже перечислить все отрасли , в которых трудился великий учёный.
Леонард Эйлер
Леонард Эйлер написал более 850 научных работ. В одной из них появились круги. А впервые он их использовал в письмах к немецкой принцессе. Эйлер писал тогда, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления».
Леонард Эйлер
При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов, и они получили название «круги Эйлера».
Этот метод даёт более наглядное представление о возможном способе изображения условий, зависимости, отношений в логических задачах.
Джон Венн
Позднее аналогичный приём использовал учёный Джон Венн- британский логик и философ; основные труды в области логики классов; и этот приём назвали «диаграммы Венна», который используется во многих областях: теория множеств, теория вероятностей, логика, статистика, компьютерные науки.
Равные множества
Равные множества включают в себя одни и те же элементы.
Пустое множество
Множество, которое не содержит элементов, называют пустым и обозначают символом ∅.
Подмножество
Множество А называют подмножеством, или частью, множества В, если всякий элемент множества А является элементом множества В.
А
Подмножество
Нестрогое включение обозначается А⊆В, означает, что А – подмножество множества В, возможно совпадающее с в.
Строгое включение обозначается А⊂В, и означает, что А – подмножество множества В, не совпадающее с В.
Пример
Х – множество студентов группы,
Y – множество хорошистов в группе.
Тогда Y⊆X.
Z - множество студентов потока.
Тогда Х⊂Z.
Включение X в Z строгое, так как кроме студентов группы Х, в колледже обязательно присутствуют студенты других групп.
Примеры подмножеств
1) Множество четных чисел есть подмножество множества целых чисел.
2) Пусть 𝐴𝐴= 𝑥:𝑥− 𝑥:𝑥− 𝑥𝑥:𝑥𝑥− 𝑥:𝑥− 𝑥:𝑥− вид животных},
В= 𝑥:𝑏− 𝑥:𝑏− 𝑥𝑥:𝑏𝑏− 𝑥:𝑏− 𝑥:𝑏− вид млекопитающих
Тогда 𝐵𝐵⊂𝐴𝐴.
3) Пустое множество является подмножеством любого множества.
Универсальное множество
В теории множеств введено понятие универсального множества. Под универсальным понимают множество всех множеств.
Универсальное множество принято обозначать U, а на диаграммах Эйлера – Венна изображать прямоугольником.
Операции над множествами
Объединением (или суммой) двух множеств А и В называется множество С, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В:
Обозначается 𝐶𝐶=𝐴𝐴∪𝐵𝐵 или 𝐶=𝐴+𝐵 или 𝐶𝐶=𝐴𝐴+𝐵𝐵 или 𝐶=𝐴+𝐵 . Знак ∪ называется знаком объединения.
Операции над множествами
Примеры:
Операции над множествами
Пересечением (или произведением) множеств А и В называется множество С, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат и множеству А, и множеству В:
Обозначается 𝐶𝐶=𝐴𝐴∩𝐵𝐵 или 𝐶=𝐴⋅𝐵 или 𝐶𝐶=𝐴𝐴⋅𝐵𝐵 или 𝐶=𝐴⋅𝐵 . Знак ∩ называется знаком пересечения.
Операции над множествами
Примеры:
1) 1,2,3 1,2,3 1,2,3 ∩ 2,3,4,5 2,3,4,5 2,3,4,5 = 2,3 2,3 2,3
2)Определим А как множество курящих мужчин в какой- либо популяции, а В – ка множество отцов в этой популяции. Тогда множество 𝐴𝐴∩𝐵𝐵 есть множество всех мужчин в популяции, которые и курят, и являются отцами одновременно.
Операции над множествами
Множества, пересечение которых пусто, называется непересекающимся.
Операции над множествами
Примеры:
Операции над множествами
Разность множеств А и В – это множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В:
Обозначается 𝐴𝐴∖𝐵𝐵.
Операции над множествами
Пример:
Операции над множествами
Дополнение(отрицание) А А А ( читается «не А») есть множество U∖A.
А А А = {x 𝑥 ∉ 𝑥𝑥 ∉ 𝑥 ∉ A}
Операции над множествами
Задача 1:
Задача 1:
Задача 2:
Задача 2:
Задача 3:
Задача 3:
Задача 4:
Задача 4:
Задача 4:
Задача 5:
Задача 5:
Задача 6:
В группе колледжа 19 студентов. 11 человек умеют играть в шашки, 10 - в шахматы. 7 студентов умеют играть и в шашки и в шахматы. Дайте цифровые ответы: 1) играют только в шашки, 2) играют только в шахматы, 3)Ни играют ни в шашки, ни в шахматы?
Задача 6:
Задача 7:
Задача 7:
Задача 7:
Задача 8:
Задача 8:
Задача 9
В группе из 100 туристов 70 человек знают английский язык. 45 знают французский язык и 23 человека знают оба языка. Сколько туристов в группе не знают ни английского, ни французского языка?
Задача 9
В группе из 100 туристов 70 человек знают английский язык. 45 знают французский язык и 23 человека знают оба языка. Сколько туристов в группе не знают ни английского, ни французского языка?
Ответ: 8 человек
Задача 10
На вступительном экзамене были предложены три задачи: по алгебре, планиметрии и стереометрии. Из 1000 абитуриентов задачу по алгебре решили 800, по планиметрии – 700, а по стереометрии 600 абитуриентов. При этом задачи по алгебре и планиметрии решили 600 абитуриентов, по алгебре и стереометрии – 500, по планиметрии и стереометрии – 400. Все три задачи решили 300 абитуриентов. Существуют ли абитуриенты, не решившие ни одной задачи, и если да, то сколько их?
Задача 10
На вступительном экзамене были предложены три задачи: по алгебре, планиметрии и стереометрии. Из 1000 абитуриентов задачу по алгебре решили 800, по планиметрии – 700, а по стереометрии 600 абитуриентов. При этом задачи по алгебре и планиметрии решили 600 абитуриентов, по алгебре и стереометрии – 500, по планиметрии и стереометрии – 400. Все три задачи решили 300 абитуриентов. Существуют ли абитуриенты, не решившие ни одной задачи, и если да, то сколько их?
Ответ: 100 абитуриентов
Задача 11
U={0;3;5;9;11;17;18}, А={0;9;17},тогда А А А =?
Задача 12
А={3; 4;6; 9;19}, В={0;2; 4;6; 9;17}. А\В=?
Задача 13
Пусть U={5;9;10;11;12;17;18;20} – универсальное множество, А={5; 10;12; 17;18}, В={5;9;11}, С={11;12;18;20}.Найти множества: а)А∪В;
б)А∩ В В В ;
в) В\С;
г) А∪С А∪С А∪С ; д)(С∩А)\ В\С В\С В\С
Спасибо за внимание!
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
