Модули в школе

ПРАКТИКУМ ДЛЯ 7-11 КЛАССОВ. МОДУЛИ

I. Примеры (из централизованных тестов)

П-1. Найти сумму корней уравнения 8 класс

| x²+3x | = 4

1) x²+3x-4=0; x₁ = 1; x₂ = -4;

2) x²+3x+4=0; D=9-16 < 0;

Сумма корней: . Ответ: -3

П-2. Найти сумму корней уравнения 7-8 класс

| 2x-3 | = | x-1 |

(2x-3)²-(x-1)²=0

(2x-3-x+1)_*(2x-3+x-1)=0

(x-2)_*(3x-4)=0 x=2 и x=; . Ответ: 3

П-3. Найти сумму корней 7-8 класс

| x²-2x | = | 1-2x |

(x²-2x)²-(1-2x)²=0

(x²-2x-1+2x)_*(x²-2x+1-2x)=0

(x²-1)_*(x²-4x+1)=0

x²-1=0 или x²-4x+1=0

x_1,2= D=16-4=12

x₃= x₃=2+

x₄= x₄=2-

1-1+2++2-=4 . Ответ: 4

П-4. Произведение корней 8-9 класс

| x²+x-3 | = x

1) 2)

x²=3; x_1,2= x²+x-3=0

x₁=; x₃=1

x₂= - не удов. x x₄=-3 – не удов. x

Ответ: x₁=; x₂=1; x₁_*x₂=_*1=

П-5. Произведение корней 8-9 класс

| 3x²-x | = 8+x

Решение

1) 2)

Решаем первую систему:

3x²-2x-8=0

x₁=2 и x₂=

Оба корня удовлетворяют неравенству 8+x0, а значит, являются решениями исходного уравнения.

Вторая система решений не имеет. Следовательно, произведение корней равно:

2_*=.Ответ:

П-6. Найти сумму корней уравнения 9-10 класс

| x+3 | + | 2x-1 | = 8

Решение

1) Найдем нули подмодульных выражений: x+3=0; x=-3; , 2x-1=0; x=

2) Они разбивают числовую ось на три промежутка. Решаем данное уравнение на каждом промежутке.

-3 x

	x<-3	-3	x
x+3	-	+	+
2x-1	-	-	+
	-x-3-2x+1=8	x+3-2x+1=8	x+3+2x-1=8

Сумма корней: . Ответ:

П-7. Произведение корней 10-11 класс

| x-2 | _* x² = 10-5x

Решение

| x-2 | =

Найдем ОДЗ:

+ + -

Т.к.

, то

0 2 x

10-5x

2-x0

Решим уравнение системы:

(x-2)_*x²=10-5x, x0

10-5x=x³-2x²

x=2

x³-2x²+5x-10=0

x³-2x²+5x-10 x-2

x³-2x² x²+5

5x-10

(x-2)_*(x²+5)=0

x=2 или x²-5

x=2 уд. ОДЗ

x₁=2 является корнем исходного уравнения

Решим уравнение системы:

5x-10=x²_*(x-2), x0

5x-10-x³+2x²=0

-x³+2x²+5x-10=0

x³-2x²-5x+10=0

x=2; 8-8-10+10=0

x³-2x²-5x+10 x-2

x³-2x² x²-5

-5x-10

(x-2)_*(x²-5)=0 x=2; x=; x=

x=ОДЗ. Следовательно, x₂=

Произведение корней равно: x_2*x₂=2_*(). Ответ: -2

П-8. Найти среднее арифметическое всех корней данного уравнения 9-10 класс

| x²-x-1 | = x²+2x+1

3x+2=0. x=

ОДЗ

x²+2x+1

(x+1)²=0

x=-1, xR

2) x²-x-1=-x²-2x-1

2x²+x=0

x_*(2x+1)=0

x=0 или x=

Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Следовательно, среднее арифметическое всех корней уравнения равно:

==. Ответ:

П-9. Найти произведение корней уравнения 9 класс

x²+3x+| x+3 | = 0

Решение

| x+3 | = -x²-3x

x=-1, x=-3

+ - +

-3 0 x

-1ОДЗ; -3ОДЗ

x²+2x-3=0 , x₁=1; x₂=-3 1ОДЗ -3ОДЗ

Следовательно, корнями данного уравнения являются: -1 и -3

Произведение корней равно: (-1)_*(-3)=3. Ответ: 3

П-10. Найти среднее арифметическое всех корней уравнения 9 класс

| x-1 | + 2 _* | x+3| = 5

Решение

1) Найдем нули подмодульных выражений: x-1=0, x=1

x+3=0, x=-3

-3 1 x

2) Числа -3 и 1 разбивают числовую прямую на три интервала. Решаем уравнение на каждом интервале

	x<-3	-3	x1
x-1	-	-	+
x+3	-	+	+
	1-x-2_*(x+3)=5 1-x-2x-6=5 -3x-10=0 x= -3x<-3 x= корень	1-x+2_*(x+3)=5 1-x+2x+6=5 x+7-5=0 x=-2 x=-2 корень	x-1+2_*(x+3)=5 x-1+2x+6=5 3x+5=5 3x=0 x=0 нет корней

Среднее арифметическое корней:

=-5:2=:2= ; -3ОДЗ. Ответ:

П-11. Найти среднее арифметическое всех корней 9-10 класс

| | 3x-1 | - 3 | = 2

Решение

1) | 3x-1 | - 3 = 2

| 3x-1 | = 5

3x-1=5 3x-1=-5

3x=6 3x=-4

x₁=2 x₂=

2) | 3x-1 | - 3 = -2

| 3x-1 | = 1

3x-1=1 3x-1=-1

3x=2 3x=0

x₃= x₄=0

Среднее арифметическое всех корней:

(2++0-):4=(2-):4=:4=. Ответ:

П-12. Найти произведение корней уравнения 9-10 класс

| 2x-1 | + | x+1 | = 2x+1

Решение

Найдем нули:

1) 2x-1=0, x=, x+1=0,х = -1

2) 2x+1 x+1 x

-1 x

Решим на промежутках:

2) x<-1 решений нет, т.к. x

1-2x+x+1=2x+1

-3x=-1

x= x₁= - корень уравнения

2x-1+x+1=2x+1

x=1)

x₂=1 – корень уравнения. 4) Произведение корней равно: . Ответ:

II. Упрощение выражений с модулем.

Применяем определение модуля или свойства модуля.

1) | a | =

2) a²= | a |²; | -a | =a, | a-b | = | b-a |

| ab | = | a | _* | b | и | | =
Другие свойства модуля будут указаны в процессе решения задач.

Задачи с модулем. (Упрощения) (9-11 классы)

З-1. Упростить выражение

ОДЗ: дробь определена для любых значений a.

1) при a0

2) при a<0

II способ

Ответ: при a, a-2

при a, -(a+2)

3-2. Упростить выражение

ОДЗ: дробь определена для a1

1) Нули подмодульных выражений: 0 и 1 делят числовую ось на промежутки:

(-;0), [0;1), (1;+)

2) Упростить дробь на каждом из промежутков

a<0

0a<1

a>1

Ответ: при a(-;0), ;

при a[0;1), 1-a;

при a(1;+), a-1.

З-3. Упростить выражение

Решение

ОДЗ: выражение определено для всех значений x-1

1) Найдем нули подмодульных выражений: -1 и 1. Они разбивают числовую ось на промежутки:

(-;-1), (-1;1), [1;+)

2) Упростим выражение на каждом промежутке

a) x<-1

б) -1<x<1

в) x1

Ответ: при x(-;-1), 1; при x(-1;1), при x[1;+), 3.

З-4. Упростить выражение.

Решение

Дробь определена на R, кроме 0

x+x+1=(x+)+ при любых x

Дробь примет вид

1) Найдем нули подмодульных выражений: -1; 0; 1. Они разбивают числовую ось на промежутки: (-;-1), [-1;0), (0;1), [1;+).

2) Упростим выражение на каждом промежутке

при x <-1

при -1 и 0< x <1

при x

Ответ: при x<-1, -1

при x

при x 1

З-5. Решить уравнение. Найти сумму корней.

Решение

Дробь определена при x

|x-1|;

1) Найдем нули подмодульных выражений:

x-1=0, x=1 и x=0

2) Решим уравнение на каждом из промежутков:

x<0

Решений нет

5=x+4x+4

x+4x-1=0

x=-2+

x не уд., <0

Следовательно, x=-2+

корень уравнения

5-(4x-x)=0

5-2x+x

x уд.

x не уд.

Следовательно, x=3

3) Сумма корней уравнения равна:

-2+Ответ: 1+

Пример для самостоятельной работы:

Ответ: 1) при x 2) при x; 3) при x

4) при x

З-6. Упростить выражение (Математика №23, 2004 г.)

Решение. Разложим квадратный трехчлен на множители:

m²-m-6=(m+2)_*(m-3)

Дробь примет вид:

Дробь определена на R, кроме

-2 0 3 x

1) при m<-2 и -2<m<0, тогда

2) при 0<m<3

;

3) при m3

Ответ: при m(-;-2)(-2;0)(3;+), ; при m(0;3),

З-7. Упростить выражение (Математика №23, 2004 г.)

Решение

2 x

Область определения дроби R, кроме

Рассмотрим промежутки (-;2) и (2;+)

1) x<2

2) x>2

Ответ: при x(-;2), x²-4x-12; при x(2;+), (x+2)²

Для самостоятельной работы:

З-8. Упростить

Ответ: при x(-;-3),; при x(-3;+),

З-9. Упростить

Ответ: при x[0;1), ; при x(1;+),

З-10. Упростить

Ответ: при x(-;1), ;

при x[1;2), ;

при x(2;+),

Решение неравенств.

| x |

-a a x

-a [-a; a]

| x |<a, a>0

-a a x

-a < x < a, (-a; a)

| x |

0 x

x=0

| x |<0; | x | | x |<-a, нет решений

| x | a>0

-a a x

| x |

x – любое (-) x

| x |>0

x<0; x>0, (-)(0;+)

Примеры.

П-1. Найти наибольшее целое решение неравенства.

|x - 4| > 2x-1

Решение

3) Общее решение x

-3 1

Ответ. Наибольшее целое решение -это 1

П-2. Найти число целых решений неравенства.

Решение

1; т.к.

2 4 x

2) |x-3|3

0 6 x

3) Общее решение: [0;2][4;6]

0 2 4 6 x

Целые решения: 0,1,2,4,5,6. Ответ: 6

П-3. Найти наименьшее целое положительное решение неравенства.

Решение

не имеет решения

3) Общее решение: (-;-2)(3;+)

-2 3 4 x

Наименьшее положительное целое решение равно 4. Ответ: 4

П-4. Найти наименьшее целое положительное решение неравенства. 8-9 класс

Решение

x>3

Значит, наименьшее целое решение неравенства: 4. Ответ: 4

П-5. Решить неравенство (квадратичная функция) 9-10 класс

Решение

1) 3x²-x-1>1

3x²-x-2>0

3x²-x-2=0

x₁=1, x₂=

3_*(x-1)_*(x)>0

2) 3x²-x-1<-1

3x²-x<0

3x²-x=0

x_*(3x-1)=0

x=0; x=

3x_*(x-)<0

0 x

x_*(3x-1)<0

3) Общее решение: объединим эти решения

0 1 x

Ответ: (-;-)(0;) (1;+)

П-6. Решить неравенство 9-10 класс

Решение

Данное неравенство равносильно неравенству (x²-5x-6)_*(x²-5x+6)0,

которое решим методом интервалов:

x²-5x-6=0 x²-5x+6=0

x₁=-1; x₂=6 x₁=2; x₂=3

(x+1)_*(x-6)_*(x-2)_*(x-3) (Можно решить и алгебраически)

+ - + - +

-1 2 3 6 x

Ответ: [-1;2][3;6]

П-7. Решить неравенство 9-10 класс

Решение

(x-2)²-(x+4)²

(x-2-x-4)_*(x-2+x+4) (Можно решить методом промежутков)

-6_*(2x+2)

-3_*(x+1)

x+10

x-1

Ответ: [-1;+)

П-8. Решить неравенство 9-11 класс

(Можно решить методом промежутков)

Решение

1) Найдем нули подмодульных выражений

x=-2; x=1

-x-2-(1-x)<x-

-x-2-1+x<x-

-3<x<; x>-1,5 – нет решений, т.к. x<-2

x->0; x>

2) -2<x<1

x+2+x-1<x-1,5; x<-2,5 – нет решений

3) x1

x+2-x+1<x-1,5; x>4,5; (4,5;+)

Ответ: (4,5;+)

П-9. Решить неравенство 8-9 класс

Решение

1) x0

x²+5x+6<0

x²+5x+6=0

x₁=-2; x₂=-3

+ - +

-3 -2 0 x

(-3;-2)

2) x>0

x²-5x+6<0

x²-5x+6=0

x₁=2; x₂=3

(2;3)

3) Общее решение: (-3;-2)(2;3). Ответ: (-3;-2)(2;3)

П-10. Решить неравенство

Решение

-5<x²-4x<5

x²-4x-5<0 x²-4x+5>0

x²-4x-5=0 x²-4x+5=0

D<0 x₁=-1; x₂=5

Ответ: (-1;5) Можно и графически

П-11. Решить неравенство

Решение

1) Нули подмодульных выражений:

x²-2x=0; x=0; x=2

3) a. Если x, то

2x-x²<x

0 3 x

x²-3x<0

x_*(x-3)<0

0<x<3

Т.к. x<0, то нет решений.

б. Если 0<x<2, то

0 1 2 x

-x²+2x-x<0

x²-x>0

x_*(x-1)>0

x(1;2)

в. Если x2, то

2 1 x

x²-2x<x

x²-3x<0

0<x<3, но x2, поэтому

x[2;3)

Ответ: (1;3)

П-12. Решить уравнение

x²-4_*+5x+3=0

x+10; x-1

x²-4_*(x+1)+5x+3=0

x²-4x-4+5x+3=0

x²+x-1=0

D=1+4=5

x₁=; x₂=

1) уд. усл. x

2) ==

Оценим:

2<<3

-3<-<-2

-<-<-1

-2<-<-1,5

- не уд. усл. x

Следовательно, корнем явл. x=

II. x+1<0; x<-1

x²-4_*(-x-1)+5x+3=0

x²+4x+4+5x+3=0

x²+9x+7=0

D=81-28=53

x₁=; x₂=

a) - не явл. решением 7,2801098

7<<8

-2<-9+<-1

-1<<- x<-1

б) - явл. решением

7<<8, -8<-<-7

-17<-9-<-16 , -8,5<<-8 x<-1

Ответ: и

Для самостоятельной работы

В1.

1. Решить уравнение

а)

Т.к. 2x-3 и 3-2x противоположны, поэтому

3-2x0 (только ), тогда

-2x-3

б) Ответ: 1

2. Решить уравнение

Ответ: [-1,5;0]

В2. 1. Решить уравнение

а) Ответ: x

б) Ответ: 3,5; 0,5

2. Решить уравнение

Ответ: -2; 4

В3. 1. Решить уравнение

а) Ответ: ; -4,5

б) Ответ: x1,2

2. Решить уравнение

Ответ: ; -1; -

В4. 1. Решить уравнение

а) Ответ:

б)

Решаем методом интервалов

1) x<0

-x-(2-x)=2

-x-2+x=2

-2=2 – неверно

2) 0x<2

x-(2-x)=2

x-2+x=2

2x=4

x=2 [0;2)

3) x2

x-(x-2)=2

x-x+2=2

0=0 – верно x2

Ответ: x2

2. Решить уравнение

Решение

1) x<1

, , x= (входит в рассмотр. промежуток)

2) x1

, , x=-3 . Ответ:

П-1. Решить уравнение

Решение

+ - + - +

3 4 7 8 x

Ответ: [3;4)[7;8)

П-2. Решить уравнение

Решение

; ;

, не удовлетворяет

, , x₁=-4, x₂=4

Ответ: -4; 4

П-3. Решить уравнение

Решение

Пусть =y0, тогда

y²-5y+6=0, y₁=3, y₂=2

Значит:

а) ,

б) , D<0, решений нет

а) ,

б) , D<0, решений нет

Ответ: ; 4; 1

П-4. Решить уравнение

Решение

Во-первых, x

Тогда , ,

Т.к. x, то x+3=3x-1, x=2

Ответ: 2

П-5. Решить уравнение

Решение

, т.к. D<0, значит,

-1 1 x

1) x-1, , x=2 ( неудовл. усл. x1)

2) -1<x1, , , (оба (-1;1]), 3) x>1

, x=2 (2(1;+)). Ответ: 0; ; 2

Учитель математики – Кобаидзе Н.И.

«Исследователи-энциклопедисты»

гимназии № 5 г. Владикавказа, РСО-Алании

ПРАКТИКУМ ДЛЯ 7-11 КЛАССОВ

Ответ: x 1 = ; x 2 =1; x 1 * x 2 = * 1=

Сумма корней: . Ответ: П-7

ОДЗ x 1 =2 является корнем исходного уравнения 2)

ОДЗ x 2 +2 x +1 x (x+1) 2 =0 x=-1 , x

Найдем нули подмодульных выражений: x -1=0, x =1 x +3=0, x =-3 -3 1 x 2)

П-12. Найти произведение корней уравнения 9-10 класс | 2 x -1 | + | x +1 | = 2 x +1

Другие свойства модуля будут указаны в процессе решения задач

Ответ: при a (- ;0), ; при a [0;1), 1- a ; при a (1;+ ), a -1

Дробь определена на R , кроме 0 x + x +1=( x + ) + при любых x

Решим уравнение на каждом из промежутков: x<0 0 x

Дробь определена на R, кроме -2 0 3 x 1) при m<-2 и -2 <m<0, тогда 2) при 0 <m<3 ; 3) при m 3

Ответ: при x (- ;-3), ; при x (-3;+ ),

Примеры. П-1. Найти наибольшее целое решение неравенства

Решение 1 ; т.к

Общее решение: (- ;-2) (3;+ ) - 2 3 4 x

Общее решение: объединим эти решения 0 1 x

Можно решить и алгебраически) + - + - + -1 2 3 6 x

Ответ: (4,5;+ ) П-9. Решить неравенство 8-9 класс

Решение -5 <x 2 -4x<5 x 2 -4x-5<0 x 2 -4x+5>0 x 2 -4x-5=0 x 2 -4x+5=0

Если x 2, то 2 1 x x 2 -2 x < x x 2 -3 x <0 0< x <3, но x 2, поэтому…

Следовательно, корнем явл. x =

Т.к. 2 x -3 и 3-2 x противоположны, поэтому 3-2 x 0 (только ), тогда -2 x -3 x б)

Решаем методом интервалов 1) x <0 - x -(2- x )=2 - x -2+ x =2 -2=2 – неверно 2) 0 x <2 x -(2-…

Решение + - + - + 3 4 7 8 x

D <0, решений нет

Модули в школе

Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.

13.07.2020