Нестандартные задачи на уроках математики 4 класс

Нестандартные задачи на уроках математики в 4­м классе К УЧИТЕЛЮ Известно,   что   решение   текстовых   задач   представляет   большие   трудности   для учащихся. Известно и то, какой именно этап решения особенно труден. Это самый первый этап – анализ текста задачи. Учащиеся плохо ориентируются в тексте задачи, в ее условиях и требовании.  Текст задачи – это рассказ о некоторых жизненных фактах: "Маша пробежала 100 м, а навстречу ей …", "Ученики первого класса купили 12 гвоздик, а ученики второго …"; "Мастер сделал за смену 20 деталей, а его ученик …". В тексте важно всё: и действующие лица, и их действия, и числовые характеристики. При работе с математической моделью задачи (числовым выражением или уравнением) часть   этих   деталей   опускается.   Но   мы   именно   и   учим   умению   абстрагироваться   от некоторых свойств и использовать другие. Умение   ориентироваться   в   тексте   математической   задачи   –   важный   результат   и важное условие общего развития ученика. И заниматься этим нужно не только на уроках математики, но и на уроках чтения и изобразительного искусства. Некоторые задачи – хорошие темы для рисунков. И любая задача – хорошая тема для пересказа. А если в классе   есть   уроки   театра,   то   некоторые   математические   задачи   можно   инсценировать. Разумеется, все эти приемы: пересказ, рисунок, инсценировка – могут иметь место и на самих уроках математики. Итак, работа над текстами математических задач – важный элемент общего развития ребенка, элемент развивающего обучения. Но   достаточно   ли   для   этого   тех   задач,   которые   имеются   в   ныне   действующих учебниках   и   решение   которых   входит   в   обязательный   минимум?   Нет,   недостаточно.   В обязательный минимум входит умение решать задачи определенных типов: о числе элементов некоторого множества; о движении, его скорости, пути и времени; о цене и стоимости; о работе, ее времени, объеме и производительности труда. Указанные   четыре   темы   являются   стандартными.   Считается,   что   умение   решать задачи   на   эти   темы   может   научить   решать   задачи   вообще.   К   сожалению,   это   не   так. Хорошие   ученики,   умеющие   решить   практически   любую   задачу   из   учебника   на перечисленные темы, часто бывают не в состоянии понять условие задачи на другую тему. Выход   заключается   в   том,   чтобы   не   ограничиваться   какой­либо   тематикой текстовых задач, а решать и нестандартные задачи, то есть задачи, тематика которых не является сама по себе объектом изучения. Ведь не ограничиваем мы сюжеты рассказов на уроках чтения! Нестандартные   задачи   нужно   решать   в   классе   ежедневно.   Их   можно   черпать   в учебниках математики для 5–6 классов, в журналах "Математика в школе" и даже "Квант". Чтобы облегчить поиск таких задач для решения на уроках в четвертом классе, мы предлагаем эту книжку. Она ­ продолжение аналогичных книжек для первого, второго и третьего классов. Число задач в ней таково, что можно выбрать из них задачи для каждого урока: по одной на урок. Задачи решаются дома. Но очень часто нужно разбирать их и в классе.   Среди   предлагаемых   задач   есть   такие,   которые   сильный   ученик   решает моментально.   Тем   не   менее   нужно   требовать   и   от   сильных   детей   достаточной аргументации,  объясняя, что на легких  задачах человек  учится  способам рассуждения, которые понадобятся при решении трудных задач. Нужно воспитывать в детях любовь к красоте   логических   рассуждений.   В   крайнем   случае   можно   добиваться   от   сильных учеников таких рассуждений, требуя построить объяснение, понятное для других – для тех, кто не понимает быстрого решения. Среди задач есть совершенно однотипные в математическом отношении. Если дети увидят их  – замечательно. Учитель может  и сам  показывать это. Однако недопустимо говорить: решаем эту задачу, как ту, и ответ будет такой же. Дело в том, что, во­первых, не все учащиеся способны к таким аналогиям. А во­вторых, в нестандартных задачах фабула не   менее   важна,   чем   математическое   содержание.   Поэтому   лучше   подчеркивать   связи между задачами со сходной фабулой. Не все задачи нужно обязательно решать (их здесь больше, чем уроков математики в учебном году). Возможно, вам захочется поменять порядок следования задач или добавить задачу, которой здесь нет. Это тем легче сделать, что задачи в книжке идут вперемежку по своей тематике. ТЕКСТЫ ЗАДАЧ И ИХ РЕШЕНИЕ 1. Сколько разных нарядных костюмов у Андрея, если у него три пары нарядных брюк, два нарядных пиджака и два нарядных галстука и все эти предметы подходят друг другу? Решение. К любой паре брюк можно подобрать любой из двух пиджаков и любой из двух галстуков.   То   есть   к   любой   паре   брюк   можно   подобрать   четыре   варианта   "пиджак   + галстук". А так как пар брюк имеется 3, то всего нарядных костюмов 12. Желательно начертить на доске такое дерево возможностей:  А еще лучше сделать такой рисунок. Ответ: 12. 2. Как тремя взвешиваниями на чашечных весах без гирь найти одну фальшивую (более легкую) монету из 20 монет? Решение.   Разделим   монеты   на   три   группы:   9,   9   и   2   монеты.   Первое   взвешивание   – сравниваем вес первых двух групп. Если они одинаковы, то фальшивая монета среди двух монет третьей группы, и мы вторым взвешиванием сравниваем их между собой. Та, которая легче,   –   фальшивая.   Если   в   первом   взвешивании   одна   из   групп   окажется   легче,   то фальшивая   монета   в   ней.   Делим   эту   группу   на   три   группы   по   три   монеты.   Вторым взвешиванием устанавливаем, которая из этих трех групп легче, а третьим взвешиванием находим легкую монету в этой тройке. 3. Продолжи последовательность: 8, 6, 10, 6, 12, 6, ... . Решение.   Все   четные   члены   последовательности   равны   6,   а   все   нечетные   получаются прибавлением числа 2 к предыдущему нечетному члену.  Ответ: 8, 6, 10, 6, 12, 6, 14, 6, 16, 6, ... . 4. Разгадай ребус: 5* + **3 = **01. Решение. Достаточно записать пример в столбик, и решение будет очевидным. Ответ: 58 + 943 = 1001. 5.   В   одной   бочке   50   л   жидкого   дегтя,   в   другой   –   50   л   жидкого   меда.   Ложку   дегтя переливают в бочку меда, а потом ложку полученной смеси переливают в бочку дегтя. Чего стало больше: меда в дегте или дегтя в меде? Решение. Это задача на тему поговорки "Ложкой дегтя можно испортить бочку меда". Но интересна она не этим, а тем, что даже взрослые люди часто дают на нее неверный ответ: дегтя в меде больше, так как дегтя перелили целую ложку, а меда перелили не целую ложку (ложку, в которой был также и деготь). После того как будут выслушаны разные ответы, нужно дать такое решение задачи.   В результате переливаний в первой бочке оказалось х миллилитров меда. Так как в ней всего 50000 мл, то дегтя в ней 50000 – х миллилитров. Во второй бочке осталось поэтому 50000 – х миллилитров меда. Значит, дегтя в ней тоже х мл.  И сопроводить решение таким рисунком: Довод   в   пользу   неверного   ответа,   который   казался   таким   убедительным,   теперь   легко опровергнуть: во время второго переливания часть дегтя вернули обратно. Ответ: поровну. 6.   В   двух   кучах   лежат   камни.   Двое   играющих   по   очереди   берут   из   любой   кучи произвольное   число   камней.   Выигрывает   тот,   кто   возьмет   последний   камень.   Тебе разрешается начать игру или предоставить партнеру право первого хода. Как ты будешь играть? Решение.   Суть  игры  в  том,  чтобы  уравнивать   число  камней  в  кучах.  Если   один  игрок уравняет их, то другой обязательно нарушит это равенство и т.д. Число камней все время убывает,   и   когда­нибудь   игрок,   уравнивающий   число   камней   в   кучах,   доведет   это равенство до 0–0, то есть выиграет. Отметим,   что   очень   желательно   организовать   эту   игру.   Камни   для   этого   иметь необязательно. Можно просто написать на доске:  1­я куча 2­я куча или  1­я куча 10 2­я куча          10 17 25 В первом случае надо начинать первым, забирая из второй кучи 8 камней (уравнивая кучи). Во   втором   случае   надо   предоставить   первый   ход   противнику   и   каждым   своим   ходом уравнивать кучи. Ответ: Если число камней в кучах одинаково, нужно предоставить первый ход партнеру, а если неодинаково – начать игру, уравнивая число камней в кучах. 7. Шифром Юлия Цезаря по правилу "прибавь четыре" зашифруй фразу "Век живи – век учись". Решение. Как мы писали в аналогичной книге для третьеклассников, шифр Юлия Цезаря состоит в следующем. Алфавит пишется по кругу (за буквой я следует буква а), и каждая буква   шифруемой   фразы   заменяется   другой,   следующей   за   ней   (или   перед   ней)   на определенное число букв. Шифр "прибавь четыре" означает, что каждую букву фразы "век живи – век учись" нужно заменять четвертой от нее буквой. Ответ: Ёио кмём – ёио чымха. 8. Известно, что a + b = 7. Чему равно (а + 8) + b?  Решение. Задачу можно изложить, например, так. У Вовы в двух карманах было 7 рублей. Он положил в левый карман еще 8 рублей. Сколько теперь у него денег в обоих карманах? Ответ: 15. 9.   Переложи   одну   спичку,   чтобы   равенство   стало   верным   (это   можно   сделать   двумя способами): Решение. Надо воспользоваться тем, что в римской нумерации XI – это 11, а IX – это 9. Ответ: 1­й способ 2­й способ 10.   Друзья   при   прощании   обменялись   фотографиями.   Фотографий   понадобилось   20. Сколько было друзей? Решение осуществим подбором. Если бы друзей было двое, то фотографий понадобилось бы всего две. Если бы их было трое, то понадобилось бы шесть фотографий, как это видно из рисунка. Если друзей четверо, то из следующего рисунка видно, что фотографий нужно 12.   А   если   друзей   пятеро,   то   фотографий   нужно   20   (см.   последний   рисунок).   Можно рассуждать и более квалифицированно: каждый должен подарить на одну фотографию меньше, чем всего имеется друзей. Произведение двух последовательных чисел равно 20, если большее из чисел равно 5. Ответ: 5. 11. У Кати вдвое больше пятерок, чем у Вовы, а у него на 6 пятерок меньше, чем у Кати. Сколько пятерок у Вовы? Решение. Эту задачу можно решить арифметически, а можно с помощью уравнения. Если в классе есть дети, которые могут сразу решить эту задачу, нужно попросить их придумать, как   объяснить   решение   остальным.   Это   относится   и   к   арифметическому,   и   к алгебраическому решению.  Арифметическое решение подсказывается рисунком: Сразу видно, что у Вовы 6 пятерок, а у Кати их 12.  Может показаться, что если задача решается так просто, то это значит, что не нужно ее решать   другим   способом.   Однако   именно   на   легких   задачах   можно   научиться   новому методу решения. Данная задача очень для этого удобна. Мы вызываем к доске ученика и просим начать записывать уравнение. Что можно записать? Конечно, знак равенства: = Этим самым начат поиск следующих шагов: что чему равно в данной задаче? Может быть, что­то равно 6? Дописываем: = 6. Многие догадаются, что шести равна разность числа Катиных и числа Вовиных пятерок. И мы так и запишем: (число Катиных пятерок) – (число Вовиных пятерок) = 6. Получилось уравнение. Но в нем слишком много неизвестных – два. Хорошо бы выразить эти неизвестные через один и тот же х. Кстати, вспоминаем, что спрашивается в задаче. И приходим к мысли обозначить через х именно эту величину: (число Катиных пятерок) – х = 6. Теперь уже многие догадаются, что число Катиных пятерок равно 2х, и уравнение примет вид: 2х – х = 6. Ответ: 6. 12.   Эту   фигуру   нужно   обвести   карандашом,   не   отрывая   его   от   бумаги   и   не   проводя никакую линию дважды. Решение очевидно. Начинать обводку можно с любой точки. 13. Известно, что a + b = 12. Чему равно а + (b + 5)?  Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему (см. например, задачу 8). Ответ: 17. 14. У Саши втрое больше марок с портретами русских писателей, чем у Пети, а у него на 4 таких марки меньше, чем у Саши. Сколько таких марок у Пети? Решение. Арифметическое решение подсказывается рисунком. Сразу видно, что у Саши 6 таких марок, а у Пети их 2. Алгебраическое решение начинаем с записи знака равенства: = Но что чему равно в данной задаче? Может быть, что­то равно 4? Дописываем: = 4. Многие догадаются, что четырем равна разность числа Сашиных и числа Петиных марок: (число Сашиных марок) – (число Петиных марок) = 4. Получилось уравнение с двумя неизвестными. Выразим эти неизвестные через один и тот же х. Обозначим через х ту величину, о которой спрашивается в задаче:  х – число Петиных марок. Получается, что: (число Сашиных марок) – х = 4. Теперь уже многие догадаются, что число Петиных марок равно 3х, и уравнение примет вид: 3х – х = 6. Ответ: 2. 15.   Эту   фигуру   нужно   обвести   карандашом,   не   отрывая   его   от   бумаги   и   не   проводя никакую линию дважды. Решение очевидно. Начинать обводку можно с любой точки. 16. Из надписи 1234567891011121314151617181920 вычеркни 21 цифру, не меняя порядка цифр, чтобы оставшееся число было: а) возможно большим; б) возможно маленьким. Решение. Всего в надписи 31 цифра. Нужно оставить из них 31 – 21 = 10 цифр. а) Чтобы число было наибольшим, нужно сделать его старшие цифры наибольшими. Первой сделаем цифру 9, вычеркнув первые восемь цифр: 91011121314151617181920.   Сделать второй цифрой 9 нам не удастся, так как тогда останется такое число: 9920, а нам нужно число десятизначное. Не удастся сделать второй цифрой и 8, и 7, а вот 6 можно сделать второй цифрой, вычеркнув 13 цифр. Остальные цифры останутся невычеркнутыми. Ответ: 9617181920. б)   Чтобы   число   было   наименьшим,   нужно   сделать   его   старшие   цифры   наименьшими. Первой сделаем цифру 1, второй – 0, вычеркнув девять цифр: 1011121314151617181920.    Сделать третьей цифрой 0 нам не удастся, не удастся вообще использовать нуль не в качестве   последней   цифры.   Поэтому   используем   единицы   в   качестве   следующих   семи цифр. Ответ: 1011111110. 17. Известно, что a + b = 70. Чему равно (а – 3) + b?  Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему. Ответ: 67. 18.   Эту   фигуру   нужно   обвести   карандашом,   не   отрывая   его   от   бумаги   и   не   проводя никакую линию дважды. Из какой точки можно начать обводку? Решение. Попытка обвести фигуру, начиная, например, с точки А, не приведет к цели. А начав с точки В или с точки С, мы можем решить задачу. Все дело в том, что из точки В ведут три пути и из точки С – тоже три. Если выйти из точки А, то точку В придется проходить так: войти в нее по первому пути, выйти по второму, войти по третьему, и уже не выйти из нее, так как больше путей нет, а дважды проходить один и тот же путь нельзя. То есть если начинать из точки А, то в точке В нужно завершить обход фигуры. Но то же можно сказать и о точке С: ее тоже нельзя пройти, и если начать движение из А, то нужно лишь закончить обход в С. Однако мы не можем завершить обход в двух разных точках: в В и в С.  Если же начать путь в В, то можно завершить его в С. А если начать путь в С, то можно завершить его в В. Ответ: Из точки В или из точки С. 19. Друзья при встрече обменялись рукопожатиями. Рукопожатий было 15. Сколько было друзей? Решение осуществим подбором. Если бы друзей было двое, то рукопожатие было бы всего одно. Если бы их было трое, то рукопожатий было бы три, как это видно из рисунка. Если друзей четверо, то из второго рисунка видно, что рукопожатий было бы 6. Если друзей пятеро, то рукопожатий 10 (см. третий рисунок). А если их шестеро, то рукопожатий 15 (см. последний рисунок). Ответ: 6. 20. Известно, что a + b = 24. Чему равно (а + 7) + (b – 2)? Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему. Ответ: 29. 21. В левом нижнем углу шахматной доски (на поле а1) стоит ладья. Два игрока по очереди ходят ею на любое число полей вправо или вверх. Побеждает тот, кто попадет ладьей в правый верхний угол доски (на поле h8). Тебе разрешается начать игру или предоставить партнеру право первого хода. Как ты будешь играть? Решение. Суть игры в том, чтобы ходить ладьей на диагональ а1–h8. Если один игрок сделает это, то другой обязательно уйдет с этой диагонали. И рано или поздно игрок, ставящий ладью на эту диагональ, поставит ее на поле h8, то есть выиграет. Ответ: Нужно предоставить первый ход партнеру и каждым своим ходом возвращать ладью на диагональ а1–h8. Отметим,   что   очень   желательно   организовать   эту   игру.   Шахматы   для   этого   иметь необязательно,   а   вот   доску,   разлинованную   в   клетку,   иметь   полезно.   На   такой   доске мгновенно   рисуется   шахматная   доска   и   отмечаются   точками   положения   ладьи   после каждого хода. 22. У Милы вчетверо больше кукол, чем у Лены, а у нее на 12 кукол меньше, чем у Милы. Сколько кукол у Милы? Арифметическое решение подсказывается рисунком. Сразу видно, что у Милы 16 кукол, а у Лены их 4. Алгебраическое решение начинаем с записи знака равенства: = Но что чему равно в данной задаче? Может быть, что­то равно 12? Дописываем: = 12. Многие догадаются, что двенадцати равна разность числа кукол Милы и Лены: (число кукол Милы) – (число кукол Лены) = 12. Получилось уравнение с двумя неизвестными. Выразим эти неизвестные через один и тот же х. Обозначать через х ту величину, о которой спрашивается в задаче, было бы неудобно: у Милы кукол больше, чем у Лены, и пришлось бы х делить на 4. Поэтому обозначим через х число кукол Лены: х – число кукол у Лены. Получается, что:(число кукол Милы) – х = 12.  Теперь уже многие догадаются, что число кукол Милы равно 4 х, и уравнение примет вид: 4 х – х = 12. Ответ: 16. 23. В клетке сидят две змеи одинаковой толщины. Одна из них длинная, другая – короткая. Придумайте  такой лаз  из  клетки, чтобы короткая змея могла  через  него выбраться из клетки, а длинная – не могла. Ответ: Лаз должен пересекать сам себя, имея форму петли. Тогда короткая змея пролезет через него, а длинная запрет сама себя: 24. Разгадай ребус: Решение. Последовательность решения может быть такой: И так далее. Ответ: 234785 x 3215. 25.   Эту   фигуру   нужно   обвести   карандашом,   не   отрывая   его   от   бумаги   и   не   проводя никакую линию дважды. Из какой точки можно начать обводку? Решение. Начинать можно из точки, в которой сходится нечетное число путей. Ответ: Из точки А или из точки D. 26. Известно, что a + b = 14. Чему равно ( а + 7) + (b – 7)?  Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему. Ответ: 14. 27. Бригада из пяти плoтникoв и oднoгo стoляра выпoлнила рабoту. Плoтники пoлучили за нее пo 200 рублей, а стoляр – на 30 рублей больше среднегo зарабoтка бригады. Скoлькo пoлучил за рабoту стoляр?  Решение. Конечно, можно решить эту задачу с помощью уравнения:,  х + 1000 + 180 = 6х,  5х = 1180, х = 236. Но гораздо лучше эту задачу оживить таким, например, рассказом. Пятеро  плотников  и один  столяр выполнили  работу по остеклению  большого балкона. Когда они показали работу хозяину, он остался очень доволен и дал им за это деньги. Работники сосчитали деньги и увидели, что сумма делится на шесть. Они разделили деньги поровну. Но тут один из плотников сказал: "Так несправедливо. Столяр выполнил более важную работу, чем мы, плотники. Так что нужно и денег дать ему больше. Дадим ему больше на 30 рублей". Все согласились. Плотники собрали 30 рублей и отдали их столяру. После этого нужно потребовать пересказать всю эту историю. А затем пусть дети ответят на вопросы: 1) Можно ли считать, что вначале столяр и плотники получили средний заработок? (Да, так как вначале деньги разделили поровну.)  2) Сколько денег собрали затем с каждого плотника? (30 р. : 5 = 6 р.)  3) Сколько денег имел каждый член бригады первоначально? (200 р. + 6 р. = 206 р.)  4) Сколько денег получил столяр в результате?   (206 р. + 30 р. = 236 р.) Ответ: столяр заработал 236 рублей. 28. Сколько кратчайших путей ведет из домика Кенги в домик Совы по этим дорожкам? Решение. Из точки К в точку А ведет один путь. Точно то же можно сказать о точках Б, В, Г, Д и Е. В точку Ж ведут из К два пути: один через точку А, другой – через Д. В точку Н ведут 3 пути, в точку О – 6 путей, в точку И – 4 пути, в точку М – 5 путей, в точку П – 10 путей. В точку С ведет 15 путей. Ответ: 15.  29.   Сколькими   взвешиваниями   на   чашечных   весах   без   гирь   можно   найти   одну   (более легкую) монету из 25 монет? Ответ: Тремя, так как число монет больше 9, но не больше 27. 30. Бригада из шести плoтникoв и oднoгo стoляра выпoлнила рабoту. Плoтники пoлучили за нее пo 200 рублей, а стoляр – на 30 рублей больше среднегo зарабoтка бригады. Скoлькo пoлучил за рабoту стoляр?  Решение. Задача решается точно так же, как и задача 27. Ее можно использовать, чтобы убедиться, что дети поняли решение задачи 27. Ответ: Столяр заработал 235 рублей. 31. Шифром Юлия Цезаря по правилу "прибавь два" расшифруй фразу "ргонглъг ж росв бпд нгогроср". Решение. Заменяем каждую букву той, которая идет за ней второй по алфавиту. Ответ: Терпенье и труд всё перетрут. 32.   Эту   фигуру   нужно   обвести   карандашом,   не   отрывая   его   от   бумаги   и   не   проводя никакую линию дважды. Из какой точки можно начать обводку? Решение. Начинать можно из точки, в которой сходится нечетное число путей. Ответ: Из точки В или из точки D. 33. Продолжи последовательность: 1, 2, 3, 10, 20, 30, 100, 200, 300, … . Решение.   Каждая   тройка   членов   –   это   числа   вида   1,   2,   3   с   одинаковым,   каждый   раз увеличивающимся на один числом нулей на конце. Ответ: 1, 2, 3, 10, 20, 30, 100, 200, 300, 1000, 2000, 3000, 10000, 20000, 30000, … . 34. Комиссия из трех человек работает над документами, хранящимися в сейфе. Сколько нужно   установить   на   сейфе   разных   замков   и   как   распределить   ключи   от   них,   чтобы никакой член этой комиссии не мог один открыть сейф, но любые два члена комиссии могли это сделать? Решение. Нужно добиться, чтобы ни один человек не мог сам открыть сейф, но любой подошедший к нему второй человек мог бы помочь ему это сделать. Для этого требуется, чтобы   каждый   не   мог   открыть   одного   замка,   который   открывает   каждый   из   двух   его товарищей. Не дадим первому ключа от одного замка, второму – ключа от другого замка, третьему  –  ключа  еще  от  одного  замка.  Тогда   хватит  трех  замков.  (Полезно  устроить инсценировку с ключами, нарисовав сейф и замки на доске.) Ответ: 3 замка, причем:  1­й человек не имеет ключа от замка № 1, но имеет ключи от замков № 2 и № 3;  2­й человек не имеет ключа от замка № 2, но имеет ключи от замков № 1 и № 3;  3­й человек не имеет ключа от замка № 3, но имеет ключи от замков № 1 и № 2. 35. В левом нижнем углу шахматной доски 8 x 8 стоит король. Два игрока по очереди ходят им на одно поле вправо, вверх или вправо­вверх по диагонали. Побеждает тот, кто попадет   королем   в   правый   верхний   угол   доски.   Тебе   разрешается   начать   игру   или предоставить партнеру право первого хода. Как ты будешь играть? Решение.   Суть   игры   в   том,   чтобы   ходить   королем   на   выгодные   поля   и   не   ходить   на невыгодные. Изучим с этой точки зрения шахматную доску. Поле h8 – выгодное. Значит, поля g8, g7, h7 – невыгодные (если вы попадете своим ходом на одно из них, противник немедленно пойдет на h8). Значит, поля f8 и h6 – выгодные (если вы попадете своим ходом на одно из них, противник с них попадет только на невыгодное поле). Рассуждая таким образом, можно последовательно разметить всю доску, ставя + в выгодные поля и – – в невыгодные. Ответ:  Нужно начинать первым, ходить первым ходом  на b2, а затем  ходить на поля, отмеченные   плюсами   (это   черные   поля,   стоящие   в   четных   горизонталях   и   в   четных вертикалях шахматной доски).   Отметим,   что   очень   желательно   организовать   эту   игру.   Шахматы   для   этого   иметь необязательно,   а   вот   доску,   разлинованную   в   клетку,   иметь   полезно.   На   такой   доске мгновенно   рисуется   шахматная   доска   и   отмечаются   точками   положения   короля   после каждого хода. 36. Известно, что a – b = 9. Чему равно (а + 7) – b?  Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему. Ответ: 16. 37.   Доктор   Айболит   должен   попасть   к   больному   Бегемоту.   Сколько   существует кратчайших путей из точки А в точку Б на этом рисунке?  Решение. В точку К Айболит может попасть тремя способами, а значит, он может прибыть к Бегемоту через точку К тремя способами. Через точку М он может прибыть к Бегемоту шестью способами. Итог: из А в Б ведут девять путей. Ответ: 9. 38. Трое соревновались, кто из них самый сообразительный. Они обратились за решением спора к мудрецу. Тот показал им пять колпаков: три белых и два черных. Он завязал им глаза и надел на каждого по белому колпаку, а черные колпаки спрятал. Затем он развязал им глаза и сказал: "Кто из вас первым догадается, какого цвета на нем колпак, тот самый сообразительный". Как можно об этом догадаться, видя белые колпаки на других, но не видя своего колпака?  Решение. Можно рассуждать так. Я вижу два белых колпака. На мне может быть белый или черный. Если бы на мне был черный колпак, то второй человек видел бы один белый колпак и один черный. Он думал бы, что если на нем черный колпак, то третий должен сразу сказать, что на нем белый: ведь черных колпаков всего два. Но третий не говорит, что на нем белый колпак, значит, думал бы второй, на мне белый. Но поскольку второй молчит, то он не видит на мне черного колпака. Значит, на мне белый. Ответ: Потому что другие молчат. 39. Если Андреев даст Петрову 300 рублей, то у них будет поровну. На сколько у Андреева денег больше, чем у Петрова? Ответ: На 600 рублей. 40. Известно, что a – b = 11. Чему равно а – (b + 5)?  Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему. Ответ: 6. 41.   Турнир   по   волейболу   проводится   по   необычным   правилам.   Команда   А   считается превосходящей команду В в двух случаях: если она победила команду В в личной встрече или если она победила команду С, победившую команду В (ничьих в волейболе не бывает). Чемпионом объявляется команда, превосходящая все другие команды. Докажите, что в этом турнире могут оказаться три чемпиона. Решение. Представим себе, что в таком турнире три команды обыграли всех остальных, а между  собой  сыграли  так:  первая  обыграла  вторую,  вторая  обыграла  третью, а  третья обыграла первую. Тогда каждая из них превосходит все остальные команды. Например, вторая превосходит третью, так как обыграла ее, вторая превосходит первую, так как обыграла третью, которая обыграла первую, вторая превосходит все остальные команды, так как обыграла их. 42. Переложи одну спичку, чтобы равенство стало верным:  Ответ:  43. В понедельник журналист получил гонорар за статью. Во вторник он истратил половину этого гонорара, а в среду получил еще 2000 рублей за другую статью, после чего у него осталось еще 4000 руб. Каков был гонорар за первую статью? Решение. Остановимся здесь на алгебраическом решении. Будем создавать уравнение по этапам: = = 4000 (первый гонорар) – (половина первого гонорара) + (второй гонорар) = 4000 (первый гонорар) – (половина первого гонорара) + 2000 = 4000 х – половина первого гонорара 2 х – первый гонорар 2 х – х + 2000 = 4000 Ответ: 4000 рублей. 44.   Сколькими   взвешиваниями   на   чашечных   весах   без   гирь   можно   найти   одну   (более тяжелую) монету из 60 монет? Решение. Четырьмя, так как число монет больше 27, но не больше 81. 45. Разгадай ребус:  Решение. Сразу видно, что последняя цифра третьей строки – 4 и что средняя цифра второй строки – 0: Первый множитель оканчивается либо цифрой 1, либо цифрой 6, так как умножение ее на 4 дает 4 на конце. Но умножение первого множителя на 5 дает число с нулем на конце. Поэтому первый множитель оканчивается на 6. Ответ: 236 x 504 = 118944. 46. Сколько существует трехзначных чисел с цифрами от 1 до 5? Решение. На первое место можно поставить любую из пяти цифр. На второе – тоже любую из пяти цифр. Значит, первые два места можно заполнить 5 x 5 = 25 способами. В любом из этих случаев можно на третье место поставить любую из пяти цифр. Поэтому всего таких чисел 25 x 5 = 125 чисел. Ответ: 125. Заметим, что если эта задача учащимся трудна, можно заменить в ней данные, дав задачу в такой, например, редакции: сколько существует трехзначных чисел с цифрами от 1 до 3? Тогда ответ – 27, и все числа можно выписать: 111, 112, 113, 121, 122, 123 и т. д. 47. Этими кубиками написано число 7. Какие числа надо написать на гранях двух кубиков, чтобы получился календарь, то есть чтобы можно было писать кубиками все числа от 01 до 31? Решение. Цифру 1 надо иметь на обоих кубиках, чтобы писать 11. Точно так же нужно иметь на обоих кубиках 2, чтобы писать 22. На обоих кубиках нужен и нуль, чтобы писать 01, 02, …, 09. Остается из 12 граней двух кубиков свободных 6 граней, на которых надо разместить 7 цифр: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Задача кажется неразрешимой. Однако нам не нужна девятка: ее заменяет перевернутая шестерка. Ответ: На одном кубике надо написать 0, 1, 2, 3, 4 и 5, на другом 0, 1, 2, 6, 7 и 8. 48. В левом нижнем углу шахматной доски 6 x 7 стоит ферзь. Два игрока по очереди ходят им на любое число полей вправо, вверх или вправо­вверх по диагонали.    Побеждает  тот,  кто  попадет  ферзем в  правый  верхний  угол  доски.  Тебе  разрешается начать игру или предоставить партнеру право первого хода. Как ты будешь играть? Решение.   Суть   игры   в   том,   чтобы   ходить   ферзем   на   выгодные   поля   и   не   ходить   на невыгодные. Изучим с этой точки зрения нашу доску. Поле f7 – выгодное. Значит, поля, отмеченные знаком – на рисунке, – невыгодные (если мы попадем своим ходом на одно из них, противник немедленно пойдет на f7). Значит, поля d6 и e5 – выгодные (если мы попадем своим ходом на одно из них, противник с него попадет только на невыгодное поле). Рассуждая таким образом, можно последовательно разметить всю доску, ставя + в выгодные поля и – – в невыгодные.  Ответ: Нужно начинать первым, ходить первым ходом на а4, а затем при любом ходе противника ходить на d6 или на е5, или сразу на f7. 49. Продолжи последовательность: 10, 200, 3000, … . Решение. Каждый следующий член получается из предыдущего увеличением на 1 начальной части предыдущего члена (получающейся отбрасыванием стольких нулей на конце, каков номер члена), а также увеличением на единицу числа нулей. Ответ: 10, 200, 3000, 40000, 500000, … . 50. Если считать этаж, на котором живет Катя, сверху, то получится вшестеро больше, чем если считать снизу. На каком этаже живет Катя, если в ее доме больше 10 и меньше 20 этажей? Решение. Так как в доме меньше 20 этажей, то сверху можно насчитать либо 6, либо 12, либо 18 этажей (ведь это число делится на 6). Если сверху насчитывается 6 этажей, то снизу 1 этаж, и этажей в доме меньше 10, что противоречит условию. Если сверху 12 этажей, то снизу 2, то есть Катя живет на втором этаже, а над ней еще 11 этажей, и вместе это больше 10 и меньше 20, что соответствует условию. Наконец, если сверху 18 этажей, то снизу 3 этажа, Катя живет на 3 этаже, а над ней еще 17 этажей, то есть всего в доме 20 этажей, что противоречит условию. Ответ: На третьем.  51. Известно, что a – b = 29. Чему равно (а – 3) – b?  Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему. Ответ: 26. 52.   Эту   фигуру   нужно   обвести   карандашом,   не   отрывая   его   от   бумаги   и   не   проводя никакую линию дважды. С какой точки можно начать обводку? Решение. Начинать можно из точки, в которой сходится нечетное число путей. Ответ: С точки А или с точки В. 53. Два велосипедиста выехали навстречу друг другу из пунктов, находящихся друг от друга на расстоянии 20 км. Скорость каждого велосипедиста 10 км/час. Одновременно вместе с первым выбежала собака. Собака бегала между велосипедистами: добежав до второго, она возвращалась к первому, потом опять ко второму и так далее до тех пор, пока они не встретились. Сколько пробежала собака, если ее скорость равнялась 20 км/ч? Решение.   Иногда   начинают   высчитывать,   сколько   пробежала   собака   до   второго велосипедиста,   потом   –   сколько   до   первого   и   так   далее.   А   все   очень   просто. Велосипедисты   ехали   до   встречи   ровно   час,   и   столько   же   времени   бегала   собака   со скоростью 20 км/ч.  Ответ: 20 км. 54. Докажи, что эту фигуру нельзя обвести карандашом, не отрывая его от бумаги и не проводя никакую линию дважды. Решение.   На   фигуре   больше   двух   точек,   в   которых   сходится   нечетное   число   путей. Поэтому нельзя начать обводку в одной из них и закончить в другой. Придется проходить через третью точку, что невозможно. 55. Сколько существует трехзначных чисел с неповторяющимися цифрами от 1 до 5? Решение. На первое место можно поставить любую из пяти цифр. На второе – любую из оставшихся   четырех   цифр.   Значит,   первые   два   места   можно   заполнить   5   x   4   =   20 способами. В любом из этих случаев можно на третье место поставить любую из трех оставшихся цифр. Поэтому всего таких чисел 20 x 3 = 60 чисел. Ответ: 60. Заметим, что если эта задача учащимся трудна, можно заменить в ней данные, дав задачу в такой, например, редакции: сколько существует трехзначных чисел с неповторяющимися цифрами от 1 до 4? Тогда ответ – 24, и все числа можно выписать: 123, 124, 132, 134, 142, 143 и т.д. 56. Расшифруй фразу, зашифрованную шифром Юлия Цезаря, если известно, что буква Ё в ней шифруется, как Е: "пзмомбмамозю росвлю гг лг ащмбаможръ". Решение.   В   этой   фразе   есть   слово   "гг".   В   русском   языке   таких   слов,   состоящих   из одинаковых   букв,   нет.   Однако   если   е   и   ё   обозначаются   одинаково,   то   "гг"   может обозначать слово "ёё". Это и дает нам в руки отгадку: г расшифровывается как е, то есть расшифровка идет по правилу "прибавь два". Ответ: "Скороговорка трудна, ее не выговорить". 57. В каком числе столько же цифр, сколько букв? Решение. Нужно понять условие. Для этого нужно спросить, годится ли в качестве ответа число 1. В нем одна цифра, а букв четыре: о, д, и, н. Точно так же не годится число 2 и вообще никакое однозначное число. А какое число годится – пусть дети подумают сами. Ответ: 100 и 1000000. 58. Известно, что a – b = 21. Чему равно (а + 7) – (b – 4)?  Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему. Ответ: 32. 59. В понедельник Андреев заработал вдвое больше Петрова. Во вторник Андреев истратил 100   рублей,   а   Петров   заработал   еще   200   рублей.   После   этого   у   них   оказалось   денег поровну. Сколько заработал каждый из них в понедельник? Решение. Остановимся здесь на алгебраическом решении. Будем создавать уравнение по этапам: = (Осталось у Андреева) = (Осталось у Петрова) (Заработок Андреева в понедельник) – 100 =  = (Заработок Петрова в понедельник) + 200 х – заработок Петрова в понедельник 2х – заработок Андреева в понедельник  2х – 100 = х + 200 Ответ: Андреев – 600 р., Петров – 300 р.  60. Среди 2001 монеты одна фальшивая. Как в два взвешивания на чашечных весах без гирь определить, легче эта монета или тяжелее, чем настоящая? Решение. Первым взвешиванием сравним тысячу монет с другой тысячью монет. Если весы уравновесятся,   фальшивая   монета   –   та,   которая   не   попала   на   весы.   Тогда   вторым взвешиванием   узнаем,   тяжелее   она   или   легче   любой   другой   монеты.   Если   же   весы   не уравновесятся, то возьмем, например, более легкую тысячу монет и вторым взвешиванием сравним ее половины. Если они уравнялись, то фальшивая монета среди более тяжелой тысячи,   то   есть   фальшивая   монета   тяжелее   настоящей.   А   если   не   уравнялись,   то фальшивая монета среди более легкой тысячи, то есть она легче, чем настоящая. 61. В каком числе столько же единиц, сколько букв? Решение. Нужно понять условие. Для этого нужно спросить, годится ли в качестве ответа число 1. В нем одна единица, а букв четыре: о, д, и, н. Точно так же не годится число 2. А число 3 годится: в нем три единицы, и оно записывается тремя буквами: т, р, и. Но это число не единственное – пусть дети найдут еще одно такое число. Ответ: 3 и 11. 62. Известно, что a – b = 0. Чему равно (а + 6) – (b + 6)?  Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему. Ответ: 0. 63. Сыграйте в игру "Кто первый скажет: сорок?" Играют двое. Начинающий называет одно из четырех чисел: 1, 2, 3 или 4. Второй прибавляет к названному числу одно из тех же чисел и так далее. Выигрывает тот, кто первый сможет назвать число 40. Тебе разрешается начать игру или предоставить партнеру право первого хода. Как ты будешь играть? А как надо играть, если проигрывает назвавший 40?  Решение. В первой игре надо назвать 40.    Это можно сделать, если противник назовет любое число от 36 до 39. Для этого надо назвать 35.    Это можно сделать, если противник назовет любое число от 31 до 34. Для этого надо назвать 30.    Это можно сделать, если противник назовет любое число от 26 до 29. Для этого надо назвать 25.    Это можно сделать, если противник назовет любое число от 21 до 24. Для этого надо назвать 20.    Это можно сделать, если противник назовет любое число от 16 до 19. Для этого надо назвать 15.    Это можно сделать, если противник назовет любое число от 11 до 14. Для этого надо назвать 10.   Это можно сделать, если противник назовет любое число от 6 до 9. Для этого надо назвать 5. Это можно сделать, если противник назовет любое число от 1 до 4.  Во второй игре надо заставить противника назвать 40. Для этого надо назвать 39. Это можно сделать, если противник назовет любое число от 35 до 38. Для этого надо назвать 34.   И так далее. Ответ: В первой игре надо предоставить первый ход противнику, в свою очередь назвать число 5 и далее, независимо от того, какие числа называет противник, называть числа, оканчивающиеся на 0 или на 5. Во второй игре надо ходить первым, назвать число 4 и далее, независимо от того, какие числа называет противник, называть числа, оканчивающиеся на 9 или на 4. 64. Сколько существует двузначных чисел, у которых вторая цифра больше первой? Решение. На 1 начинаются восемь таких чисел: от 12 до 19, на 2 – семь, на 3 – шесть, на 4 – пять, на 5 – четыре, на 6 – три, на 7 – два, на 8 – одно число.  Ответ: 36. 65. Разгадай ребус:  Решение. Напишем очевидные цифры: Теперь определяется первый множитель:  405 x * дает 2**5, значит, * = 5, и второй множитель разгадан. Ответ: 405 x 205 = 83025. 66. Продолжи последовательность: 2, 2, 4, 12, 48, … . Решение. Каждый член последовательности равен предыдущему, умноженному на 1, 2, 3, … . Ответ: 2, 2, 4, 12, 48, 240, 1440, … . 67. Перечеркни эти девять точек четырьмя прямыми линиями, не отрывая карандаша от бумаги. Решение дано на рисунке. 68. Известно, что a * b = 8. Чему равно (а * 3) * b?  Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему. Ответ: 24. 69. Переложи две спички, чтобы равенство стало верным:  Ответ:  70. Папа с сыном играют в шашки. У папы на две шашки больше, чем у сына, а всего у них 12 шашек. Сколько шашек у каждого? Решение. Возможны четыре способа решения. 1­й способ. Обозначим через х число шашек у сына, а через х + 2 – число шашек у папы. Тогда (х + 2) + х = 12.  2­й способ. Обозначим через х число шашек у сына, а через 12 – х – число шашек у папы. Тогда (12 – х) – х = 2. 3­й способ. Обозначим через х число шашек у папы, а через х – 2 – число шашек у сына. Тогда х + (х – 2) = 12.   4­й способ. Обозначим через х число шашек у папы, а через 12 – х – число шашек у сына. Тогда х – (12 – х) = 2. Однако наиболее приемлем в 4­м классе первый способ – уравнение решается легче. Ответ: 7 и 5. 71. Сложи из шести спичек четыре треугольника. Решение дано на рисунке. 72. В классе причесанных девочек столько же, сколько непричесанных мальчиков. Кого в классе больше, девочек или непричесанных учеников? Решение.   Очевидно,   класс   состоит   из   причесанных   девочек,   причесанных   мальчиков, непричесанных девочек и непричесанных мальчиков. Число девочек в классе есть сумма числа   причесанных   девочек   и   числа   непричесанных   девочек.   Число   непричесанных учеников есть сумма числа непричесанных мальчиков и числа непричесанных девочек. Но первые   слагаемые   этих   сумм   равны   по   условию,   а   вторые   слагаемые   совпадают   (см. рисунок). Ответ: Одинаково. 73. Сколько существует семизначных чисел, у которых каждая цифра – 1, 2 или 3? Решение. На первое место можно поставить любую из трех цифр. На второе – любую из трех цифр. Значит, первые два места можно заполнить 3 x 3 = 9 способами. В любом из этих случаев можно на третье место поставить любую из трех цифр. Поэтому всего таких чисел 9 x 3 = 27 чисел. Ответ: 27. 74. Известно, что a * b = 15. Чему равно а * (b * 3)?  Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему. Ответ: 45. 75. Пять победителей конкурса "Кто громче крикнет" получили в награду по одинаковому количеству орехов. Трое из них сразу съели по 5 орехов и увидели, что у них вместе осталось столько орехов, сколько было выдано двум другим. Сколько всего орехов было выдано всем пятерым? Решение. Трое съели 15 орехов. После этого у них осталось столько, сколько было выдано двум другим. А до этого у них было столько, сколько выдали троим. Значит, 15 орехов было выдано одному из них. Ответ: 75. 76. На верхней полке было в 7 раз больше книг, чем на нижней. Когда с верхней полки взяли 12 книг, а на нижнюю поставили еще 8 книг, то на верхней полке оказалось в три раза больше книг, чем на нижней. Сколько книг было на каждой полке первоначально? Решение. Одно из возможных уравнений составляется так:  (Стало на верхней полке) = 3 x (Стало на нижней полке) х – было на нижней полке,  7х – было на верхней полке,  7х – 12 = 3 x (х + 8). Ответ: На верхней 63, на нижней 9. 77.   В   одном   ящике   50   шариков,   а   в   другом   80.   Каждый   из   двух   игроков   по   очереди вынимает из какого­нибудь ящика любое число шариков. Выиграет тот, который возьмет последний шарик. Тебе разрешается начать игру или предоставить партнеру право первого хода. Как ты будешь играть? Решение. Суть игры в том, чтобы уравнивать число шариков в ящиках. Это можно сделать первым   ходом,   взяв   из   второго   ящика   30   шариков.   Партнер   обязательно   нарушит полученное равенство, а мы опять восстановим его. Число шариков все время убывает, и когда­нибудь игрок, уравнивающий число шариков в ящиках, доведет это равенство до 0 – 0, то есть выиграет. Ответ: Нужно начать игру, взяв из второго ящика 30 шариков и в дальнейшем каждый раз уравнивая их число. 78. Известно, что a x b = 12. Чему равно (а x 3) x b?  Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему. Ответ: 36. 79. Задача из Древней Греции. Три грации имели по одинаковому числу плодов и встретили девять муз. Каждая из граций отдала каждой из муз по одинаковому числу плодов. После этого у всех муз и граций плодов стало поровну. Сколько плодов было у каждой грации до встречи, если у муз не было ни одного плода? Решение. Минимальное число плодов, которое могла отдать грация каждой музе, равно 1. В этом случае каждая муза получила бы по три плода. Значит, у каждой музы и каждой грации в результате оказалось бы по три плода. Всего, таким образом, в задаче имелось 3 x 12 = 36 плодов. Поэтому у каждой грации первоначально имелось по 36 : 3 = 12 плодов.   Проверим полученное предположение. Если у каждой из 3 граций было по 12 плодов и если каждая грация дала каждой из 9 муз по одному плоду, то у каждой грации осталось по 3 плода, а у каждой музы стало тоже по 3 плода.   Однако  это решение не единственное. Если предположить,  что каждая  грация отдала каждой музе по 2 плода, то мы приходим к ответу 6, а если по 3 плода, то ответ будет 24. Вообще можно считать, что грация передает каждой музе по одинаковой кучке плодов, и тогда ответом будет 12, умноженное на число плодов в этой кучке. Ответ: Любое число, делящееся на 12. 80.   Ученый   Винежер   придумал   такой   способ   шифровки   текста.   Вначале   задумывается какое­нибудь   слово   (ключ   шифра).   Затем   определяются   номера   букв   этого   слова   в алфавите. А затем в шифруемом тексте каждая буква заменяется на следующую за ней в алфавите с таким сдвигом, который указывает полученный ключ. Например, зашифруем фразу "Сегодня хорошая погода" с помощью ключа "гав". Определим номера букв в ключе: Теперь сдвинем буквы в соответствии с ключом, повторяя его, сколько нужно раз: Последняя   запись   и   будет   шифром.   Объясни,   как,   зная   ключ   "гав",   прочитать   запись "Хжжтерг цсфпыда ттдсзб". Ответ: Нужно записать под данной фразой цифры 413…, а затем сдвигаться по алфавиту назад на столько букв, какова цифра под расшифровываемой буквой. 81. Известно, что a x b = 18. Чему равно (а x 2) x (b : 3)? Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему. Ответ: 12. 82. В футбольном турнире участвуют 5 команд из Москвы, Санкт­Петербурга, Великого Новгорода, Нижнего Новгорода и Екатеринбурга. Турнир проводится в два круга: каждая пара встречается один раз в одном городе, другой – в другом. Сколько матчей состоится в каждом городе? Сколько всего матчей в этом турнире? Решение.   Чтобы   понять   условие,   нужно   разобраться,   какие   игры   и   в   каких   городах проведет каждая команда. Начнем, например, с команды Москвы. Она проведет две игры с петербуржцами:   одну   в   Москве,   одну   в   Санкт­Петербурге.   Она   проведет   две   игры   с Великим   Новгородом:   одну   у   себя,   другую   в   гостях   –   и   т.   д.   Результатом   такого рассмотрения становится  рисунок, на котором изображено пять стадионов и отмечено, какие   команды   приедут   в   гости   на   эти   стадионы.   Теперь   ясно,   что   в   каждом   городе состоится по 4 матча, а всего матчей будет 5 x 4 = 20. Полезно спросить, сколько было бы матчей на каждом стадионе и сколько всего, если бы команд было 10. А самые сильные ученики могут придумать формулу n x (n – 1), обозначающую число встреч в двухкруговом турнире с n участниками. Ответ: по 4 на каждом стадионе; всего 20. 83. Старинная русская задача. Некто узнал, что корова на ярмарке стоит вчетверо дороже собаки и вчетверо дешевле лошади. Он взял на ярмарку 200 рублей и на все эти деньги купил собаку, двух коров и лошадь. Что почем? Решение. Самую маленькую цену – цену собаки – примем за 1 часть. Тогда цена коровы равна 4 частям, цена лошади – 16 частям, а общая цена покупки равна 1 + 8 + 16 = 25 частям. И так как 200 рублей равны 25 частям, то все цены легко определяются. Ответ: Собака стоила 8 р., корова – 32 р., лошадь – 128 р.  84. В  пакете  лежат  конфеты.  Если  раздать их  детям  по 5  конфет каждому,  то  двоим конфет не достанется. А если раздать их по 4 конфеты, то в пакете останется еще 176 штук. Сколько конфет в пакете? Решение. Одно из возможных уравнений составляется так:  Конфет при первой раздаче = Конфет при второй раздаче х – число детей х – 2 – число детей, которым досталось по 5 конфет при первой раздаче  5 (х – 2) = 4х + 176. Ответ: 920. 85. Известно, что a x b = 27. Чему равно (а : 3) x (b : 3)?  Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему. Ответ: 3. 86.   Среди   18   монет   есть   одна   фальшивая,   более   легкая.   Как   одним   взвешиванием   на чашечных весах без гирь отобрать среди этих монет 6 настоящих? Ответ: Разделив монеты на 3 группы, надо сравнить вес двух шестерок. 87.   Возьми   любое   трехзначное   число   и   припиши   к   нему   такое   же   число.   Получится шестизначное   число.   Раздели   его   на   7.   Что   получится,   раздели   на   11.   Что   получится, раздели на 13. У тебя получится то трехзначное число, с которого ты начал. Почему?  Решение. Приписав к трехзначному числу такое же число, мы умножили его на 1001. А разделив полученное число сначала на 7, потом на 11, а потом на 13, мы снова разделили его на 1001. Заметим, что эту задачу легко превратить в игру, когда один ученик пишет на листе  бумаги  трехзначное  число  и  передает  его второму,  второй  дописывает  число  до шестизначного   и   передает   его   третьему,   третий   делит   число   на   7   и   т.   д.   и,   наконец, результат возвращается первому. Ответ: 7 x 11 x 13 = 1001. 88. У мальчика в правом кармане втрое больше орехов, чем в левом. Если в оба кармана положить еще по 10 орехов, то в правом кармане их будет вдвое больше, чем в левом. Сколько орехов в каждом кармане? Решение. Одно из возможных уравнений составляется так: Будет орехов в правом кармане = 2 x (Будет орехов в левом кармане) х – имеется орехов в левом кармане  3х – имеется орехов в правом кармане  3х + 10 = 2 x (х + 10). Ответ: 10 в левом, 30 в правом. 89. Известно, что a : b = 8. Чему равно (а x 3) : b?  Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему. Ответ: 24. 90. Семь одинаковых батонов хлеба надо разделить поровну между 12 людьми. Как это сделать, разрезая каждый батон на равные части, но не разрезая ни один на 12 частей? Решение.   Можно   каждый   из   трех   батонов   разделить   на   четыре   части,   а   каждый   из остальных   четырех   батонов   разделить   на   три   части.   Получится   12   четвертушек   и   12 третьих долей батона. Каждому из 12 людей надо дать по одной четвертушке и по одной трети батона. Тем самым будет роздан весь хлеб, и притом каждый получит поровну. Это служит достаточным основанием для доказательства, что задача решена. В таком виде ее могут решить люди, не умеющие работать с дробями. Но в 4­м классе можно подтвердить результат арифметически. Заметим, что именно так работали с дробями древние египтяне, сводившие всякую задачу о дробях к задаче о долях. Ответ: см. рисунок выше. 91. В футбольном турнире участвуют 5 команд из Москвы, Санкт­Петербурга, Великого Новгорода, Нижнего Новгорода и Екатеринбурга. Турнир проводится в один круг: каждая пара встречается один раз. Сколько всего матчей в этом турнире? Матчей будет вдвое меньше, чем в двухкруговом турнире, то есть не 20, а 10. Заметим, что если бы команд было 10, то матчей было бы (10 x 9) : 2 = 45, а общая формула числа матчей при n участниках выглядит так:  Ту же задачу можно решить на чертеже, на котором отрезок обозначает матч. Отрезков, как мы видим непосредственно, десять. И, наконец, можно эту задачу театрализовать. Вызовем к доске пятерых учащихся и приколем им   нагрудные   знаки:   М.,   С­Пб.,   В.Н.,   Н.Н.   и   Е.   Шестому   ученику   дадим   нарукавную повязку   судьи   соревнования.   Договоримся   обозначать   матчи   рукопожатиями.   Сначала пожимает   руки   товарищам   москвич.   Судья   фиксирует   на   доске,   что   он   сделал   4 рукопожатия   –   4   матча.   Москвич   садится   на   место,   а   петербуржец   пожимает   руки остальным – 3 рукопожатия. И так далее. Судья подсчитывает число матчей:   4 + 3 + 2 + 1 = 10. Ответ: 10. 92. Как с помощью сосудов 4 и 7 л налить из­под водопроводного крана в чайник ровно 2 л воды? Решение. Эту задачу можно решать двумя способами. Первый   способ   состоит   из   таких   операций:   наливаем   воду   из   крана   в   меньший   сосуд, переливаем ее из меньшего сосуда в больший, выливаем воду из большего сосуда. Второй   способ   состоит   из   таких   операций:   наливаем   воду   из   крана   в   больший   сосуд, переливаем ее из большего сосуда в меньший, выливаем воду из меньшего сосуда. Надо попробовать оба способа и выбрать наиболее короткий. 1­й способ В   чайник   1   л,   после   этого   операции   повторяются.   Итого   первым   способом   можно выполнить требуемое за 10 переливаний. 2­й способ Как видно, второй способ короче на одно переливание. Заметим, что задачу можно существенно упростить, потребовав вылить в чайник 3 литра воды. 93. Старинная китайская задача. Имеются вещи. Если считать их тройками, то останется 2; если считать пятерками, то останется 3; если считать семерками, то останется 2. Сколько вещей? Решение.   Задача   решается   либо   составлением   системы,   либо   подбором.   В   4­м   классе возможен только второй путь решения. Из первого условия ясно, что число вещей может быть таким: 5, 8, 11, … .  Из второго условия ясно, что число вещей может быть таким: 8, 13, 18, … .  Из третьего условия ясно, что число вещей может быть таким: 9, 16, 23, … .  Напишем эти последовательности до получения совпадающих членов во всех трех: 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, … .  8, 13, 18, 23,… .  9, 16, 23, … . Ответ: 23. 94. Сделай рисунок симметричным: 95. Разгадай ребус: x *** Решение.   Нужно   заметить,   что   при   умножении   первого   множителя   на   8   получается трехзначное   число,   а   при   умножении   на   первую   и   на   третью   цифры   получаются четырехзначные числа. Значит, второй множитель – это 989. Остается выяснить, какое число   при   умножении   на   8   дает   трехзначное   произведение,   а   при   умножении   на   9   – четырехзначное. Это число большее, чем 111, и меньшее, чем 125. В то же время известно, что при умножении на 9 оно дает число, оканчивающееся на 9. Значит, оно оканчивается на 1. Итак, это 121. Ответ: 121 x 989 = 119669. 96. Известно, что a : b = 28. Чему равно а : (b : 2)?  Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему. Ответ: 14. 97. Задача из "Арифметики" Л. Магницкого. Найти число, которое при делении на 2 дает в остатке 1, при делении на 3 дает в остатке 2, при делении на 4 дает в остатке 3, при делении на 5 дает в остатке 4. Решение. Прибавим к искомому числу единицу. Тогда полученная сумма будет делиться без остатка и на 2, и на 3, и на 4, и на 5. Таким свойством обладает число, делящееся на 60. Поэтому полученная нами сумма равна 60, либо 120, либо 180 и т.д.  Ответ: Число, на единицу меньшее любого числа, делящегося на 60. 98.   Найди   сумму   первых   ста   нечетных   чисел.   Великий   русский   математик   Андрей Николаевич Колмогоров решил эту задачу за одну минуту в шестилетнем возрасте. Решение. Сумма нескольких первых нечетных чисел равна их числу, умноженному на себя: 1 = 1x 1, 1 + 3 = 2 x 2, 1 + 3 + 5 = 3 x 3 и т. д. Это хорошо видно на чертеже. Ответ: 100 x 100 = 10000. 99. Известно, что a : b = 10. Чему равно (а x 3) : (b x 5)? Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему. Ответ: 6. 100. Шесть котов в шесть минут съедают шесть мышей. Сколько понадобится котов, чтобы в сто минут съесть сто мышей? Решение. Обычный ответ "100 котов" неверен. Шестерка котов, о которых говорится в задаче, в 6 минут съедает 6 мышей, то есть за каждую минуту она съедает одну мышь. Ответ: 6 котов. 102. Одна из 75 одинаковых по виду монет – фальшивая, она несколько отличается по весу от остальных. Как двумя взвешиваниями на чашечных весах определить, легче или тяжелее эта монета, чем остальные? Решение. Разделим монеты на три группы по 25 монет и сравним веса первой и второй группы, а затем – первой и третьей группы. 103. Сколько нулей на конце произведения всех натуральных чисел от 5 до 25? Решение.   Нулей   столько,   сколько   множителей   10  в   этом   произведении.   Множитель   10 состоит из множителей 2 и 5. Пятерок в данном наборе множителей меньше, чем двоек, поэтому десяток будет столько, сколько пятерок. Пятерки встречаются в числах 5, 10, 15, 20 и 25. Но в числе 25 две пятерки, значит, всего пятерок в этом произведении 6. Ответ: 6. 104. В надписи "гбжщве дгмё фсрземлсетэ", зашифрованной шифром Винежера, имеется слово "явка". Известно, что ключ состоит из четырех букв. Расшифруй надпись. Решение. Слово "явка", присутствующее в тексте, – единственное четырехбуквенное слово "дгмё". Значит, я перешло при шифровке в д, в – в г, к – в м, а – в ё. В первом случае имеем сдвиг   на   5   букв,   во   втором   –   на   1,   в   третьем   –   на   2,   в   четвертом   –   на   6   букв,   что соответствует такой расшифровке: гбжщве дгмё фсрземлсетэ 265126 5126  51265126512 Ответ: "Бывшая явка провалилась". 105. Кузнечик прыгает по прямой. Каждый прыжок вправо равен 3 дм, а каждый прыжок влево равен 5 дм. Сможет ли он попасть из точки А в точку В, лежащую вправо от А на расстоянии 1 дм? Решение. Надо, чтобы 3х – 5у, где х – число прыжков вправо, а у – число прыжков влево, было равно 1. Это получается, например, при х = 7, у = 4. Ответ: Можно сделать из А (в любом порядке) 7 прыжков вправо и 4 прыжка влево. 106. Найди сумму всех четных чисел от 4 до 50. Решение. 4 + 6 + 8 + … + 46 + 48 + 50 – это сумма двадцати четырех чисел. Пары чисел, одинаково удаленных от концов этого выражения, составляют в сумме 54 : 4 + 50 = 6 + 48 = 8 + 46, так как каждый раз первое слагаемое увеличивается на 2, а второе уменьшается на 2. Таких пар 12. Значит, общая сумма равна 54 x 12. Ответ: 648. 107. В обычном домино наибольшее значение клетки – 6 очков. В нем всего 28 косточек. Сколько будет косточек в домино, у которого наибольшее число очков – 7? Решение. Представим себе, что мы должны сделать такое домино и что нам в качестве полуфабриката выдали отдельные квадратики. Мы должны склеить эти квадратики по два в косточки домино. На одних квадратиках мы поставим по семь точек (рисунок), на других – по шесть, на третьих – по пять, на четвертых – по четыре, на пятых – по три, на шестых – по   две,   на   седьмых   –   по   одной,   а   восьмые   оставим   без   точек.   Подсчитаем,   сколько квадратиков   каждого   вида   нам   нужно   будет   подготовить   для   склеивания.   Возьмем, например, пустышки. Они понадобятся для изготовления восьми разных косточек. В этих косточках таких квадратиков будет девять. Значит, квадратиков каждого вида нужно по девять. А таких видов, как мы уже выяснили, восемь. Теперь нетрудно подсчитать, сколько понадобится квадратиков, а потом – сколько получится косточек. Ответ: 36. 108. Известно, что a : b = 30. Чему равно (а : 3) : (b : 3)?  Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему. Ответ: 30. 110. В шахматном турнире 10 шахматистов играют в один круг. Сколько будет сыграно партий? Решение. Если бы они играли в два круга, то партий было бы 90 (например, каждый играет белыми по 9 партий, и всего партий 9 x 10 = 90). А так как играется только один круг, то партий вдвое меньше. Ответ: 45. 111. Гавиал, кашалот и пеликан съели 31 рыбу. Кашалот съел рыб во столько раз больше, чем пеликан, во сколько пеликан съел больше гавиала. Сколько рыб съел каждый из них? Решение. Составим пропорцию: К : П = П : Г, откуда П x П = К x Г. Подберем такие три числа К, П и Г, которые удовлетворяют этому условию и в то же время в сумме дают 31. Это 1, 5 и 25. Ответ: Кашалот съел 25 рыб, пеликан съел 5 рыб, гавиал съел 1 рыбу. 112. Известно, что a : b = 8. Чему равно (а x 3) : (b x 3)?  Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему. Ответ: 8. 113. Как с помощью прямоугольной плитки размерами 5 x 7см начертиить на листе бумаги отрезок длиной 1 см? Решение. Во­первых, начертим отрезок достаточной длины. Во­вторых, отложим на нем три отрезка по 5 см, а затем на этом отрезке от его конца отложим два отрезка по 7 см. Получится 5 x 3 – 7 x 2 = 1 (см). 114. Трое хотят попасть из города А в деревню Б за кратчайшее время. Расстояние от А до Б – 30 км. У них есть 2 велосипеда. На велосипеде вдвоем или втроем ехать нельзя. Скорость их на велосипеде 15 км/ч, а пешком 5 км/ч. За какое время они могут попасть в Б? Решение. Важно поровну распределить время движения на двух велосипедах между тремя людьми, чтобы никто не отстал от остальных. Этого можно добиться, если первый и второй сядут на велосипеды, а третий пойдет пешком. Проехав 1/3 пути, первый должен сойти с велосипеда, оставить его на дороге и продолжить путь пешком. Второй должен проехать 2/3 пути, сойти с велосипеда, оставить его на дороге и продолжить путь пешком. Третий, дойдя до велосипеда, оставленного первым, садится на него и едет до пункта Б. Первый, пройдя 1/3 пути пешком, дойдет до велосипеда, оставленного вторым, сядет на него и доедет до Б. В результате каждый пройдет 10 км пешком, а 20 км проедет на велосипеде. Ответ: За 3 часа 20 мин.  115. Разгадай ребус:  Решение. Во­первых, ясно, что Е = 0 и А = 1: Теперь видно, что В = 5: Остальное очевидно. Ответ: 5240 + 5210 = 10450. 116. В 1 кг сплава олова и никеля содержится 40% олова. Сколько олова надо добавить в этот сплав, чтобы оно составило 50% сплава? Решение. Сначала нужно определить, сколько сейчас в сплаве никеля и сколько олова. Так как 100% – это 1 кг, то олова в сплаве 400 г, а никеля – 600 г. Чтобы олово составило половину сплава, нужно довести его до 600 г. Ответ: 200 г.  117.   Двое   путников   одновременно   вышли   из   пунктв   А   в   пункт   В.   Первый   половину времени,   затраченного   им   на   переход,   шел   со   скоростью   5   км/час,   а   затем   пошел   со скоростью 4 км/час. Второй же первую половину пути прошел со скоростью 4 км/час, а затем пошел со скоростью 5 км/час. Кто из них раньше пришел в пункт В? Решение.   Для   обоих   путников   одинаково   пройденное   расстояние.   Первый   половину времени   шел   со   скоростью   5   км/ч,   а   значит,   он   с   большей   скоростью   прошел   больше половины пути. Второй же ровно половину пути прошел с большей скоростью, значит, первый потратил времени меньше. Ответ: Первый. 118. 1 кг грибов имел влажность 99%. Его подсушили до 98% влажности. Сколько теперь весят эти грибы? Решение. Очень трудно предугадать ответ этой задачи. Советую попробовать сделать это в классе. Дети будут называть числа, близкие к 1 кг. А между тем, во время подсушивания испарялась вода, а сухое вещество, которого было и осталось 10 г, из 1% превратилось в 2%. Так что масса грибов уменьшилась вдвое. Ответ: 500 г. 119. В шахматы играют 20 человек, без ничьих, на выбывание. Сколько будет сыграно партий? Решение. Это еще одна форма соревнований: проигравший одну партию сразу выбывает. Должно выбыть 19 человек, значит, партий должно быть столько, сколько человек должно выбыть. Ответ: 19. 120. У меня остановились стенные часы, а никаких других часов у меня нет. Я пошел к другу, часы которого ходят верно, поиграл с ним в шахматы и, придя домой, смог верно поставить свои часы. Как мне удалось это сделать? Решение. Я завел свои часы и запомнил, сколько времени они показывают. Придя к другу и уходя от него, я оба раза посмотрел на его часы, а поэтому я знал, сколько времени я пробыл у него и во сколько от него ушел. Придя домой, я определил по своим часам, сколько времени я отсутствовал, а вычтя из этого времени то время, которое пробыл у друга, определил, сколько времени я потратил на путь к нему и от него. Разделив это время пополам и прибавив его к последнему показанию часов друга, я определил время прибытия к себе домой. (Например, пусть я поставил свои часы на 12.00, придя к лругу, увидел, что на его часах 16.00, уходя от него увидел на его часах 17.00, а придя домой, увидел, что мои часы показывают 13.30. Тогда я определяю, что отсутствовал 1,5 часа, из них ровно час был у друга, значит, на дорогу в оба конца потратил полчаса, а на путь от друга домой – 15 минут. Я ставлю свои часы на 17.15.) 121. Как с помощью сосудов 3 и 7 л налить из­под водопроводного крана в чайник ровно 2 л воды? Решение. 122. В 1 кг сплава олова и никеля содержится 50% олова. Сколько никеля надо добавить в этот сплав, чтобы он составил 60% сплава? Решение. Сначала нужно определить, сколько сейчас в сплаве никеля и сколько олова. Так как 100% – это 1 кг, то олова в сплаве 500 г и никеля – 500 г. Чтобы никель составил 60% сплава, нужно сделать так, чтобы 500 г олова составляли 40% сплава, то есть чтобы в сплаве было 1250 г. Ответ: 250 Нестандартные задачи на уроках математики в 4­м классе 123. Сорок учеников выстроены в прямоугольник по 10 человек в каждой шеренге и по 4 в каждой   колонне.   В   каждой   шеренге   выбран   самый   низенький   ученик,   а   затем   из   4 отобранных выбран самый высокий. Им оказался ученик Андреев. Затем в каждой колонне был выбран самый высокий ученик и среди 10 отобранных выбран самый низенький. Им оказался ученик Петров. Кто выше, Андреев или Петров? Решение. Пусть в той же колонне, что Андреев и в той же шеренге, что Петров, стоит Сергеев. Тогда он выше Андреева и ниже Петрова, то есть Петров выше Андреева.  Ответ: Петров. 124. В 1 стакане 20% молока, а остальное – вода, в другом таком же стакане 80% молока, а остальное – вода. Сколько процентов молока будет в кастрюле, если в нее выльют оба эти стакана? Решение. Включение в условие стакана дает учителю возможность считать стакан равным, например,   0,2   л   или   не   оперировать   определенным   объемом   (в   зависимости   от   силы учащихся). Существенно здесь лишь то, что молоко из первого стакана будет составлять не 20%, а 10% всего объема, а молоко из второго стакана будет составлять не 80%, а 40% всего объема. Значит, всего молока в кастрюле окажется 10% + 40%. Ответ: 50%. 125. В клетках квадрата 3х3 были записаны натуральные числа так, что суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой диагонали были одинаковыми. Некоторые числа стерли. Остались 24 в нижнем правом углу, 15 в центре и 9 правее 15. Восстановите стертые числа. Решение. Обозначим через а число в правом верхнем углу: Так как суммы цифр во всех столбцах, строках и диагоналях одинаковы, то каждая из них равна а + 33. Значит, в левом нижнем углу стоит число 18: Поставим число b левее числа 15: Так как сумма в левом столбце равна сумме во второй строке, то есть равна 24 + b, то в верхнем левом углу стоит число 6: У нас заполнилась диагональ, по которой можно найти сумму чисел в каждой строке, в каждом столбце и каждой диагонали. Эта сумма равна 6 + 15 + 24 = 45. Теперь можно заполнить и все остальные клетки. Ответ: 126.   Выписаны   подряд   все   числа   от   1   до   60,   без   пробелов   между   цифрами: 123456789101112…585960. Надо вычеркнуть 100 цифр, чтобы оставшееся число оказалось наименьшим. Решение. Всего выписано 111 цифр (9 – на однозначные числа и еще 102 на 51 двузначное число). Значит, после вычеркивания 100 цифр останется 11­значное число. Чтобы оно было самым маленьким, нужно поставить в нем на первое место 1, а на последующие – нули. Однако нулей в нашей записи всего 6. Если мы выпишем их все, то за последним нулем цифр уже не останется. Попробуем оставить нули только от чисел 10, 20, 30, 40 и 50. Тогда у   нас   получится   такое   число:   10000051525354555657585960.   От   него   можно   оставить после 100000 еще 5 цифр. Так как нуль поставить нельзя, поставим самую маленькую из возможных   –   1,   вычеркнув   первую   пятерку   после   пяти   нулей: 1000001525354555657585960.  Теперь   можно  вычеркнуть   еще   две   пятерки   и   все   цифры между 4 и последним нулем, оставляя следующие за ними цифры: 10000012340. Ответ: 10000012340. 127. Фразу "Страшнее кошки зверя нет" зашифруй кодом Виженера с помощью шифра "дева". Решение.  Страшнее кошки зверя нет 56315631 56315 63156 315 Ответ: Цшубэузё пфыло несд узу. 128.   Сколько   разломов   надо   сделать,   чтобы   разломать   эту   шоколадку   на   отдельные квадратики? Решение. Вначале можно попробовать конкретные пути. В каждом случае будет получаться одно и то же: 23 разлома. И наконец, надо объяснить, что каждый разлом добавляет новый кусок. После первого разлома будет два куска, после второго три и так далее. Так как из одного куска нужно получить 24, то разломов будет 23. Ответ: 23. 129. Имелось 10 мешков с одинаковыми монетами. Злоумышленник заменил один мешок мешком с фальшивыми монетами. Известно, что хорошая монета весит 10 г, а фальшивая 11 г. Как с помощью одного взвешивания на весах с гирями установить, в каком именно мешке монеты фальшивые? Решение. Надо перенумеровать мешки. Затем надо взять из первого мешка одну монету, из второго – две, из третьего – три и так далее до десятого, из которого надо взять десять монет. Все эти монеты вместе надо взвесить. Если бы все монеты были настоящими, то все взятые монеты весили бы 10 + 20 + 30 + … + 90 + 100 = 550 г. Но они будут весить больше на столько граммов, сколько среди них фальшивых монет. А число фальшивых монет равно номеру мешка, из которого они взяты. (Например, если монеты весят 556 г, то фальшивых монет 6 и все они из одного мешка. А 6 монет мы брали из шестого мешка.) 130. В трех кучках 22, 14 и 12 орехов. Требуется уравнять число орехов во всех этих кучках, причем можно перекладывать из одной кучки в другую столько орехов, сколько в ней уже имеется (удваивать число орехов в кучке). Как это сделать? Решение. В результате распределение орехов должно быть таким: 16, 16, 16.  Поэтому предпоследнее распределение должно быть таким: 16, 24, 8.   Перед   этим   распределение   орехов   может   быть   более   разнообразным.   Но   нас   должно заинтересовать такое, в котором есть хоть одна кучка с 22 или с 14 или с 12 орехами. Это может выглядеть так: 12, 20, 16.  Если теперь не трогать кучку в 12 орехов, то перед этим возможны такие распределения: 12, 10, 26, или 12, 28, 8.  Второе распределение можно получить из первоначального.  Ответ: Возможен следующий путь решения: 22, 14, 12 – 8, 28, 12 – 16, 20, 12 – 16, 8, 24 – 16, 16, 16. 131. В 1 стакане 20% молока, а остальное – вода, в другом таком же стакане 30% молока, а остальное – вода. Сколько процентов молока будет в кастрюле, если в нее выльют оба эти стакана?. Решение. Включение в условие стакана дает учителю возможность считать стакан равным, например,   0,2   л   или   не   оперировать   определенным   объемом   (в   зависимости   от   силы учащихся). Существенно здесь лишь то, что молоко из первого стакана будет составлять не 20%, а 10% всего объема, а молоко из второго стакана будет составлять не 30%, а 15% всего объема. Значит, всего молока в кастрюле окажется 10% + 15%. Ответ: 25%. 132. Из какой точки земного шара надо выйти, чтобы, пройдя 100 км на юг, затем 100 км на восток, а потом еще 100 км на север, снова оказаться в точке отправления? Ответ: Во­первых, это Северный полюс. Но, кроме того, это бесконечное множество точек, лежащих невдалеке от Южного полюса и отвечающих следующему условию: если пройти из такой точки на юг, то окажешься на параллели, длина которой равна 100 : n км, где n – любое натуральное число. 133. 3 м ткани стоят 200 р. Сколько стоят 4,5 м этой ткани? Решение. Задача не решается сведением к единице, так как, отвечая на вопрос, сколько стоит один метр, придется делить 200 на 3. Так что лучше решать задачу составлением пропорции. Полезно для этого записать кратко задачу так: 3 м – 200 р.  4,5 м – х р. Теперь пропорция рождается автоматически.  Если все же учитель не хочет составлять пропорцию, он может предложить такое решение: 1) Сколько стоят 9 м? 200 х 3 = 600 (р.).  2) Сколько стоят 4,5 м? 600 : 2 = 300 (р.). Возможно и иное решение, так как 4,5 м = 3 м + 1,5 м, а 1,5 м стоят 200 : 2 = 100 (р.). Ответ: 300 р. 134. Сумма любых трех стоящих рядом чисел в этой таблице равна 15. Заполните пустые клетки таблицы: 6               4             Решение. Расставим буквы в пустые клетки таблицы: 6 a b c d e f g 4 h i j k l m Так как по условию 6 + a + b = a + b + c, то с = 6. Таким же образом равна 6 каждая из букв, стоящая через 2 после с. Это f, h, k. Так же доказывается, что каждая буква стоящая через две до и после 4, равна 4. Это е, b, j, m. Наконец, из условия 6 + a + b = 15 получаем, что а = 5. То же значение имеют все буквы, стоящие через две после а.  Ответ:  6 5 4 6 5 4 6 5 4 6 5 4 6 5 4 135. Разгадай ребус: Решение. Так как А х А оканчивается на Е, не равное А, то А не может равняться 0, 1, 5 и 6. Так как при этом Е не равно 9, то А не может равняться  3 и 7. Значит, А может равняться только 2, 4, 8 или 9. Но В х A оканчивается на В, поэтому А не равно 2, не равно 4 и не равно 8. Значит, А = 9 и В = 5. После этого выясняется, что Е = 1, Ч = 2. Остается найти   Д.   Учитывая,   что   Д   должно   быть   не   больше   4,   проверяем   две   оставшиеся возможности: Д = 3 и Д = 4. Ответ: 459 х 459 = 210681. 136. Сколько нулей на конце произведения всех натуральных чисел от 1 до 100? Решение. Нулей столько, сколько имеется пар простых множителей 2 и 5. Двоек очень много – они присутствуют во всех четных числах. А пятерок меньше – они имеются только в числах, делящихся на 5. Таких чисел двадцать: 5, 10, 15, 20, 25, …, 95, 100. Но в четырех из них по две пятерки: 25 = 5 х 5, 50 = 2 х 5 х 5, 75 = 3 х 5 х 5, 100 = 2 х 2 х 5 х 5. Так что всего пятерок в произведении 20 + 4 = 24. Ответ: 24 нуля. 137.   Сколькими   способами   можно   расставить   на   полке   томики   стихов   Пушкина, Лермонтова,   Некрасова,   Маршака   и   Барто,   чтобы   Пушкин   стоял   на   первом   месте,   а Маршак и Барто стояли рядом? Решение. Соединим томики Маршака и Барто в одну связку. Поставив на первое место томик Пушкина, на следующие три места мы можем поставить в любом порядке томик Лермонтова, томик Некрасова и связку. Это можно сделать шестью способами. А так как томики   Маршака   и   Барто   можно   соединить   двумя   способами,   то   способов   расставить книги вдвое больше. Ответ: 12. 138. Муравей сидит на передней грани куба в точак А и желает попасть на верхнюю грань в точку В. Как узнать, по какому кратчайшему пути должен он ползти? Решение. Если бы события происходили в одной плоскости, ответ был бы прост: ползти по прямой.   Поэтому   нужно   распрямить   развертку   куба   и   определить   возможный   путь.   В случае на нашем рисунке это путь АСВ. Ответ: Распрямить развертку куба и провести прямую линию из точки А в точку В. 139. В ящике 35 шариков. Каждый из двух играющих по очереди вынимает из ящика любое число   шариков   от   1   до   5.   Выигрывает   взявший   последний   шарик.   Кто   выиграет   при правильной игре, начинающий или второй игрок? Решение. Выигрывает тот, кто возьмет 35­й шарик, следовательно, тот, кто возьмет 29­й шарик, 23­й, 19­й, 13­й, 7­й, 2­й шарик. Ответ: Выигрывает начинающий, если он возьмет 2 шарика и затем будет дополнять до 6 число шариков, взятых партнером.  140. 2001 год начался с понедельника. А с каких еще дней недели может начинаться век? Решение. Нужно принять во внимание следующие факты. 1)   В   невисокосном   году   365   дней,   то   есть   52   полные   недели   и   еще   1   день,   так   что невисокосный год сдвигает календарь на один день недели.  2) В високосном году 366 дней, то есть 52 полные недели и еще 2 дня, так что високосный год сдвигает календарь на два дня недели.   3)   Високосными   в   нашем   григорианском   календаре   (календаре   "по   новому   стилю") считается любой год, номер которого делится на 4, кроме тех лет, номера которых делятся на 100, но не делятся на 400, то есть, например, годы 2000, 2004 и 2400 – високосные, а годы 2100 и 2200 – невисокосные).  4) В первом веке третьего тысячелетия, а также во втором и в третьем его веке будет по 24 високосных года, а в четвертом веке будет 25 високосных лет.    5) Первый век третьего тысячелетия сдвинет календарь на 124 дня недели, то есть на 5 дней. То же будет и во втором и в третьем веке. А четвертый век (2301–2400 гг.) сдвинет календарь на 6 дней.  Значит, 2101 год начнется с субботы, 2201 – с четверга, 2301 – со вторника, 2401 – с понедельника,   так   же,   как   и   2001   год.   И   в   дальнейшем   каждые   400   лет   все   будет повторяться. Ответ: Век может начинаться с понедельника, вторника, четверга и субботы.  141. 7,5 м ткани стоят 200 р. Сколько стоят 4,5 м этой ткани?  Решение. Задача не решается сведением к единице, так как, отвечая на вопрос, сколько стоит один метр, придется делить 200 на 7,5. Так что лучше решать задачу составлением пропорции. Полезно для этого записать кратко задачу так: 7,5 м – 200 р.  4,5 м – х р. Теперь пропорция рождается автоматически.  Если все же учитель не хочет составлять пропорцию, он может предложить такое решение: 3) Сколько стоят 22,5 м? 200 х 3 = 600 (р.).  4) Сколько стоят 4,5 м? 600 : 5 = 120 (р.). Ответ: 120 р. 142. В ящике находится 20 носков черного цвета и 10 носков синего цвета. Все носки одного размера и фасона. Сколько нужно вынуть носков, не глядя, чтобы образовалась пара одноцветных носков? Решение. Можно случайно вытянуть первый носок одного цвета, а второй – другого, так что два вытянутых носка могут не образовать пары. Но уже третий носок будет в пару с одним из двух первых. Ответ: Не более трех. 143. Десяток яиц стоит 16 р. 52 к. Сколько стоят 15 таких яиц?  Решение. Задача не решается сведением к единице, так как, отвечая на вопрос, сколько стоит одно яйцо, придется делить 1652 к. на 15. Так что лучше решать задачу составлением пропорции. Полезно для этого записать кратко задачу так: 10 яиц – 1652 к.  15 яиц – х к. Теперь пропорция рождается автоматически.  Если все же учитель не хочет составлять пропорцию, он может предложить такое решение: 1) Сколько стоят 30 яиц?  2) Сколько стоят 15 яиц? Возможно и иное решение, так как 15 яиц = 10 яиц + 5 яиц, 5 яиц стоят 8 р. 26 к. Ответ: 24 р. 78 к. 144. В ящике находится 10 пар черных перчаток и 5 пар синих одного размера и фасона. Сколько   нужно   вынуть   перчаток,   не   глядя,   чтобы   образовалась   пара   одноцветных перчаток? Решение. Можно случайно вытянуть первые десять черных перчаток с левой (или правой) руки, а потом еще 5 синих перчаток с одной руки, так что никакие две из этих 15 перчаток могут   не   образовать   пары.   Но   уже   шестнадцатая   перчатка   будет   в   пару   с   одной   из пятнадцати первых. Ответ: Не более шестнадцати. 145. Коля поймал за 5 дней 512 мухи. Каждый день он отлавливал столько мух, сколько во все предыдущие дни вместе. Сколько мух поймал он за каждый из этих дней? Решение. За последний день он поймал столько мух, сколько в первые 4 дня, то есть половину всех мух. На четвертый день – половину мух, пойманных за 4 дня. И так далее. Ответ: На пятый день – 256, на четвертый – 128, на третий – 64, во второй – 32, в первый – 32.  146. Брошены два игральных кубика. Какая сумма очков на их верхних гранях наиболее вероятна? Решение. Возможны суммы от 2 до 12. В таблице показано, как могут получаться эти суммы: Как видно, наибольшим числом способов получается сумма 7 – шестью способами. Это и есть наиболее вероятный результат бросания кубиков. Я не советую учителю пускаться в объяснения о том, что такое вероятность. Пусть дети просто услышат это слово в данном конкретном случае. Ответ: 7. 147. Разгадай ребус:  Решение. Так как Е + Е оканчивается на Е, то Е = 0. Очевидно, что А может равняться только 1. Поэтому В > 4. При том В – число четное, так что В равно 6 или 8. Если В = 6, то имеем: С – число четное, поэтому С = 8, но тогда получается: Это невозможно, так как Д подобрать нельзя. Остается В = 8:  Теперь для С остается выбор: С = 4 или С = 9. Проверка показывает, что подходит только первый вариант. Далее все просто. Ответ: 8790 + 8790 = 17580. 148. Составь не меньше 10 разных сумм из чисел от 1 до 5, чтобы никакое число не входило в эту сумму два раза. Решение. Самое маленькое значение такой суммы 3 (это 1 + 2), а самое большое 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, так что задача имеет решение.  Ответ: Это, например, 1 + 2, 1 + 3, 1 + 4, 1 + 5, 2 + 5, 3 + 5, 4 + 5, 1 + 4 + 5, 2 + 4 + 5, 3 + 4 + 5. 149. Фразу "ълр егсащз з пёф шин дфпыыл зссз" расшифруй кодом Виженера с помощью шифра "вега". Решение. ълр егсащз з пёф шин дфпыыл зссз  364 136413 6 413 641 36413 6 4136 Ответ: "Чем дальше в лес, тем больше дров". 150. Составь не меньше 10 разных произведений из чисел от 1 до 5, чтобы никакое число не входило в это произведение два раза. Ответ: 1 х 2, 1 х 3, 1 х 4, 1 х 5, 2 х 5, 3 х 5, 4 х 5, 2 х 4 х 5, 3 х 4 х 5, 2 х 3 х 4 х 5. 151. Два поезда одинаковой длины идут навстречу друг другу. Скорость первого поезда 36 км/ч, скорость второго 45 км/ч. Пассажир, сидящий во втором поезде, заметил, что первый поезд шел мимо него 6 секунд. Какова длина каждого поезда? Решение. Если бы первый поезд стоял на месте, то пассажир второго поезда ехал бы мимо него со скоростью 45 км/ч. А так как первый поезд ехал навстречу со скоростью 36 км/ч, то пассажир второго поезда ехал мимо него со скоростью 36+45 = 81 (км/ч). Следовательно, путь длиной в поезд он проделал со скоростью 81 км/ч за 6 секунд, то есть за 1/600 часа. Умножив это время на скорость, мы получим ответ. Ответ: 135 м. 152. Разгадай ребус:  Решение. Для решения удобно переписать ребус так: Сразу видно, что С = 1 и что D = 0: Значит, А = 5: Теперь все ясно. Ответ: 10761 – 5610 = 5151. 153.   Задача   Л.   Эйлера.   Крестьянка   принесла   на   рынок   некоторое   число   яиц.   Первому покупателю она продала половину того, что имела, и еще пол­яйца; второму – половину того, что у нее осталось, и еще пол­яйца; третьему – половину нового остатка и еще пол­ яйца; четвертому – половину того, что осталось, и еще пол­яйца. После этого у нее ничего не осталось. Сколько яиц было у нее вначале? Решение. Если задача не получается, ее надо рисовать.   Что было у крестьянки перед встречей с четвертым покупателем? Что­то, половина чего была продана, после чего осталось пол­яйца. Но, значит, пол­яйца были второй половиной того, что у нее было. Значит, перед встречей с четвертым покупателем у крестьянки было одно яйцо. Нарисуем его в виде одной клетки.  Перед встречей с третьим покупателем у нее было это яйцо и те пол­яйца, которые она продала третьему, и все это составляло половину того, что она имела. Значит, пририсуем пол­яйца и удвоим полученное – эти три яйца были у крестьянки перед встречей с третьим покупателем.  Аналогично, пририсовав к трем яйцам пол­яйца и удвоив полученное, будем иметь семь яиц, имевшиеся у нее перед встречей со вторым покупателем.  Проделав еще раз эту операцию, узнаем, сколько было у нее яиц в самом начале. Ответ: 15 яиц. Заметим, что полученный ответ следует проверить:  1­му покупателю продано 15 : 2 + 0,5 = 8 яиц, после чего осталось 7 яиц,  2­му покупателю продано 7 : 2 + 0,5 = 4 яйца, после чего осталось 3 яйца,  3­му покупателю продано 3 : 2 + 0,5 = 2 яйца, после чего осталось 1 яйцо,  4­му покупателю продано 1 : 2 + 0,5 = 1 яйцо, после чего не осталось ничего. 154. Алеша, Боря, Витя и Гена сыграли между собой по одной партии в шахматы. Первые три мальчика все партии между собой сыграли вничью. Как распределились между ними места в этом соревновании, если Боря занял более высокое место, чем Витя, но менее высокое, чем Алеша? Решение. Это задача со специфическим сюжетом – о турнире. Конечно, можно решить ее устно: результаты Алеши, Бори и Вити различны из­за того, что они по­разному сыграли с Геной. Значит, Алеша выиграл у Гены, Боря сыграл с Геной вничью, а Витя проиграл Гене. После   этого   уже   можно   подсчитать,   сколько   очков   набрал   каждый   и   определить   их порядок в итоге соревнования. Однако, ясно, что результаты надо как­то записывать. И очень полезно показать, как делается это в спортивных соревнованиях: познакомить детей со способом записи турнира в виде турнирной таблицы. Для наших четырех шахматистов турнирная таблица выглядит так: В течение турнира таблица заполняется. Если, например, Гена выиграл у Бори, то это отмечается в таблице так: А то, что Алеша с Борей сыграли вничью, отмечается в таблице так: В   предпоследнем   столбце   записывают,   сколько   очков   набрал   каждый.   В   последнем записывают, какое место занял каждый участник. Запишем условия задачи в нашу таблицу: Теперь учтем, что Алеша набрал очков больше, чем Боря, а Боря больше, чем Витя. Это произошло потому, что они по­разному сыграли с Геной. Так как существует всего три возможности: выиграть партию, сделать ничью или проиграть, то, значит, Алеша выиграл у Гены,   Боря   сделал   с   ним   ничью,   а   Витя   проиграл.   Занесем   эти   данные   в   таблицу   и подсчитаем очки и места: Ответ: Первое место занял Алеша, второе и третье поделили Боря и Гена, четвертое место занял Витя. 155. Имеется много жетонов стоимостью в 3 рубля и два жетона по 5 рублей. Можно ли из этих жетонов составить любую сумму, большую 7 рублей? Решение. Сумму в 8 рублей составляем как 3 + 5, в 9 – как 3 + 3 + 3, в 10 – как 5 + 5. Прибавляя   к   этим   суммам   нужное   число   трехрублевых   жетонов,   мы   получим   любую сумму, большую 10. Например, чтобы получить сумму 121, сообразим, что 121 при делении на 3 дает такой же остаток, как 10, а значит, 121 можно получить, прибавив к 5 + 5 нужное число 3­рублевых жетонов. Число этих жетонов определяем так: (121 – 10) : 3 = 37. Ответ: Да. 156. Разгадай ребус:  Решение. Так как ХА х У = ХА, то У = 1. Так как Х – П = Х, то П = 0. Имеем: Так как А х А оканчивается на А, причем А не равно 1, то А = 5 или А = 6. Если А = 5, то: Вариант А = 6 легко опровергается проверкой. Ответ: 157. Задача Л.Н.Толстого. Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого.   Половину   дня   артель   косила   большой   луг.   После   этого   артель   разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая   же   половина   косила   малый   луг,   на   котором   к   вечеру   еще   остался   участок, скошенный на другой день одним косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели? Решение. Если задача не получается, ее надо рисовать.   Нарисуем два луга, один больше другого вдвое.    Разделим большой луг на две части. Первая часть – это работа всей артели в первые полдня. Вторая часть – работа половины артели во вторую половину дня. Значит, первая часть большого луга вдвое больше второй.  Меньший луг тоже разделим на две части. Первая часть меньшего луга равна второй части большого луга, так как ее выкосила такая же группа косцов. Значит, первая часть меньшего луга равна 1/3 большого луга. 1/3 меньшего луга = 1/6 большого луга. Вторую часть меньшего луга косил один косец целый день. Значит, большой луг один косец косил бы 6 дней. Значит, две трети большого луга один косец косил бы 4 дня. А так как вся артель косила две трети большого луга полдня, то артель состояла из 8 косцов. Ответ: 8 косцов. 158. Поезд прошел мост длиной в 200 м за 1 мин. Длина самого поезда 800 м. Мост какой длины прошел бы этот поезд за 2 мин, если бы двигался с той же скоростью? Решение. Важно понять, что движение поезда через мост состоит из двух этапов. Вначале тепловоз въезжает на мост и проезжает весь мост. На этом этапе тепловоз (а значит, и весь поезд) проходит расстояние, равное длине моста. Но когда тепловоз съезжает с моста, поезд еще находится на мосту. Начинается второй этап движения по мосту, когда тепловоз стягивает   с   моста   последний   вагон.   На   этом   этапе   тепловоз   (а   значит,   и   весь   поезд) проезжает   расстояние,   равное   длине   поезда.   Определим   сначала   скорость   поезда.   Его тепловоз за 1 минуту прошел по мосту 200 м, а потом еще 800 м (пока не был вывезен с моста последний вагон). Значит, за 1 минуту поезд проходит 1 км, то есть скорость его равна 1 км/мин. За 2 минуты поезд пройдет 2 км, причем последние 800 м его тепловоз будет вывозить с моста последний вагон, а первые 1 км 200 м тепловоз будет ехать по мосту. Ответ: 1200 м. 159. Поезд длиной 750 м шел мимо переезда 30 секунд. Какова скорость поезда?  Решение.   Паровоз   продвинулся   за   30   секунд   на   750   м.   Разделив   этот   путь   на   время движения – на 30 секунд, получим скорость. Ответ: 25 м/сек. 160.   В   шахматном   турнире   участвовали   4   шахматиста:   Андреев,   занявший   1­е   место, Борисов,   занявший   2­е   место,   Власов,   занявший   3­е   место,   и   Гордеев.   Известно,   что Андреев с Гордеевым сыграли вничью. Установите результаты остальных пяти партий. Решение задачи аналогично решению задачи 154. 161. Сколько оборотов сделает зубчатое колесо с 16 зубцами, сли сцепленное с ним колесо с 40 зубцами сделает 32 оборота? Решение. За полный оборот большого колеса через точку сцепления пройдет 40 зубцов, а за 32 его оборота – 40 х 32 = = 1280 зубцов. Но это значит, что малое колесо сделает   1280 : 16 оборотов. Ответ: 80 оборотов. 162. Поезд длиной 750 м шел по мосту 2 мин. Какова скорость поезда, если длина моста 1 км? Решение.   Паровоз   продвинулся   за   2   минуты   на   1750   м.   Разделив   этот   путь   на   время движения, получим скорость. Ответ: 875 м/мин. 163. В этом примере пропущены два одинаковых числа. Какие числа пропущены? (385 – ____ + 8) х (____ : 385 + 9). Решение. В первой скобке пропущенное число должно быть не больше 385, на во второй скобке – не меньше 385.  Ответ: 385. 164. Коля ездит из дома в школу на трамвае. От дома до школы ходят трамваи двух маршрутов: № 1 и № 2. Каждый из них приходит на остановку около дома Коли через каждые 4 минуты. Оказалось, что Коля гораздо чаще попадает на трамвай № 1, чем на № 2. Почему это возможно? Решение.   Это   может   быть,   если   разрыв   между   прибытием   трамваев   на   остановку   не одинаков.  Например, представим себе такое расписание Время прибытия Маршрут 8.00           №1  8.01          №2  8.04           №1  8.05           №2  8.08       №1 При таком расписании Коля будет чаще попадать на трамвай № 1. 165. Поезд длиной 750 м обгоняет поезд длиной 1 км за 10 мин. Какова скорость короткого поезда, если скорость длинного 60 км/ч?  Решение. За 10 минут произошло следующее. Паровоз короткого поезда проехал мимо длинного поезда, а затем весь короткий поезд проехал мимо паровоза длинного поезда, то есть паровоз короткого поезда проехал суммарную длину обоих поездов со скоростью, равной разности скоростей этих поездов. Поэтому можно вначале найти суммарную длину обоих поездов, затем разделить ее на время (на 10 минут), а затем к полученной скорости прибавить скорость второго поезда. Ответ: 70500 м/ч. 166. У Васи по математике вдвое больше пятерок, чем четверок. Сколько у него четверок и пятерок, если всего их 12? Ответ: 3 четверки и 6 пятерок. 167. Поезд длиной 750 м проходит мимо такого же встречного поезда за 1 мин. Какова скорость первого поезда, если скорость второго 60 км/час?  Решение. За 1 минуту происходит следующее. Паровоз короткого поезда проезжает мимо длинного поезда, а затем весь короткий поезд проезжает мимо паровоза длинного поезда, то   есть   паровоз   короткого   поезда   проезжает   суммарную   длину   обоих   поездов   со скоростью,   равной   сумме   скоростей   этих   поездов.   Поэтому   можно   вначале   найти суммарную длину обоих поездов (1500 м), затем разделить ее на время (на 1 минуту), а затем от полученной скорости 1500 м/мин отнять скорость второго поезда (60 км/час, или 1000 м/мин). Ответ: 500 м/мин. 168.   На   острове   живут   правдивые   люди   и   лжецы.   Как   одним   вопросом   у   первого встреченного островитянина узнать, ведет ли данная дорога в город? Ответ: Вопрос: "Что бы Вы мне ответили, если бы я спросил Вас, ведет ли эта дорога в город?" 169. В турнире играли 6 шахматистов, по одной партии каждый с каждым. Андреев набрал 4 очка и занял 1­е место, Бунин занял 2­е место, Воронов и Гусев разделили 3­4­е места, Дымов занял 5­е место, а Егоров, занявший 6­е места, выиграл у Гусева. 5 партий турнира закончились вничью, причем Бунин сделал только одну ничью. Восстановить результаты всех партий. Решение задачи аналогично решению задач 154 и 160, но еще более сложно. 170. Андрей, Борис, Вадим и Геннадий заняли первые четыре места в соревновании по перетягиванию каната. На вопрос корреспондента, какое место занял каждый из них, было получено три ответа:  1) Андрей – первое, Борис – второе,  2) Андрей – второе, Геннадий – третье,  3) Вадим – второе, Геннадий – четвертое. В каждом из этих ответов одна часть правдива, а вторая ложна. Кто занял какое место?  Решение.   Приходится   анализировать   варианты.   Это   можно   делать   по­разному.   Можно выяснить, возможно ли, чтобы в первом ответе первая часть была правдой, а вторая ложью и так далее. Однако удобнее проверить, возможно ли, чтобы тот или иной мальчик занял то или иное место. Чаще всего в ответах упоминаются Андрей и Геннадий. С любого из них и нужно начать. Начнем, например, с Андрея. Именно рассмотрим, мог ли Андрей занять первое место, мог ли второе, мог ли третье, мог ли четвертое.  Пусть Андрей занял первое место. Тогда в первом ответе первая часть – правда, а значит, вторая часть – неправда, то есть Борис – не второй (но и не первый, так как первый – Андрей), а третий или четвертый. Во втором ответе первая часть – неправда, так как Андрей – не второй, а первый. Значит, во втором ответе вторая часть – правда, откуда получается,   что   Геннадий   –   третий.   Поэтому   Борис   –   не   третий,   а   четвертый,   и   мы получаем такое распределение:  Андрей – первый, Вадим – второй, Геннадий – третий, Борис – четвертый. Осталось с этой точки   зрения   просмотреть   третий   ответ.   "Вадим   –   второй"   –   правда,   "Геннадий   – четвертый" – неправда. Все сходится.   Но, быть может, Андрей мог быть и вторым? Нет, так как тогда первый ответ был бы полностью ложным.  Не мог быть Андрей и третьим, так как тогда полностью ложен второй ответ.   Не мог быть Андрей и четвертым, что доказать несколько труднее – нужно сопоставлять разные ответы. Из первого следует, что Борис – второй, из второго – что Геннадий – третий, но тогда полностью лжив третий ответ. Ответ: Андрей – первый, Вадим – второй, Геннадий – третий, Борис – четвертый. 171. Какой цифрой оканчивается выражение  23 х 24 х 25 + 321321 : 13? Решение. Первое слагаемое оканчивается нулем, а второе семеркой. Ответ: 7.  172. Доказать, что число людей, сделавших нечетное число рукопожатий, не может быть нечетным. Решение.   Общее   число   рукопожатий,   сделанных   всеми   людьми,   четно.   И   если   бы сделавших нечетное число рукопожатий было нечетно, то это правило было бы нарушено. Полезно пригласить к доске трех человек и попросить их несколько раз пожать друг другу руки. Выясняется, что при каждом рукопожатии число рукопожатий, сделанных каждым, увеличивается на 2, так что оно всегда четно.  173. В краже дырки от бублика подозреваются четверо: А, Б, В и Г. На допросе они сказали: А: Это сделал Б. Б: Это сделал Г. В: Это сделал не я. Г: Б лжет, что это сделал я. Правду сказал только один из них. Кто совершил кражу? Решение. Нужно несколько упростить заявление Г и составить таблицу их заявлений: Заявитель                                                  Заявление А                                                 Это Б  Б                                                 Это Г  В                                                    Это  не В  Г                                      Это не Г                                                   А теперь посмотрим, сколько ответов окажутся правдивыми и сколько ложными в каждом из возможных случаев.   Случай первый. Кражу совершил А. Тогда заявления А и Б ложны, а заявления В и Г правдивы, что не согласуется с условием "правду сказал только один".  Случай второй. Кражу совершил Б. Тогда заявления А, В и Г правдивы, что не согласуется с условием "правду сказал только один".   Случай  третий.  Кражу  совершил   В.  Тогда  заявления  А,  Б  и  В  ложны,   а  заявление   Г правдиво, что согласуется с условием "правду сказал только один".  Случай четвертый. Кражу совершил Г. Тогда заявления А и Г ложны, а заявления Б и В правдивы, что не согласуется с условием "правду сказал только один". Ответ: Кражу совершил В. 175. Пусть запись а г b обозначает наименьшее из чисел a + b и 2b. Решите уравнение х г 3 = 5 г х. Решение.   Эту   задачу   нужно   дать   непосредственно   за   предыдущей   тем   детям,   которые предыдущей задачей заинтересовались. Запись х г 3 обозначает то же, что и запись х Е 3 в предыдущей задаче. Поэтому и решение и ответ в этой задаче те же. Ответ: х = 5.г.