Ньютон биномының тұрмыста қолданылуы (11 сынып,математика)

Шекер Ермағанбетова атындағы № 246 орта мектеп

Ғылыми жобаның тақырыбы:
Ньютон биномының тұрмыста қолданылуы

11 сынып оқушысы Ержан Ардақ
Жетекшісі: Туралиева Камар
Секциясы: Математика

Зерттеу мақсаты: Санды үшбұрыштарға жеткілікті мысал пайдаланып, Паскаль үшбұрышының қасиеттерінің қолданылуына болжамды мысалдар келтіру арқылы дәлелдеу.Паскаль үшбұрышының қасиеттерін пайдаланып оның «ерекше үшбұрыш» екендігін ашып көрсету.Болжам: Егер Паскаль үшбұрышындағы сандардың ерекше қасиеттері бар болса, онда осы үшбұрышты «ғажайып» үшбұрыш деп атауға болады.

Зерттеу кезеңдері:

1 кезең. Паскаль үшбұрышының құрамына кіретін сандар қасиеттерін анықтау.Паскаль үшбұрышы жөнінде математиктер немесе ғалымдардың тұжырымын анықтау. Ғалымдарының айтқан ойларын үшбұрыш туралы алғашқы мәліметтерді ғылыми әдебиеттерден және энциклопедияларда жинақтау.
2 кезең. Паскаль үшбұрышындағы сандар қасиеттерінің қолданылуын анықтау. Мектеп бағдарламасында Ньютон биномының формуласын пайдаланылуын анықтап алып, оларға сипаттама беру.Үшбұрыш сандарының қасиеттерінің ең «ғажайып» екендігін дәлелдеу. Паскаль үшбұрышының тағы қандай қасиеттері бар екенін іздестіру.
3 кезең. Зерттеу қорытындысын және тұжырымды қалыптастыру. Ньютон биномы формуласындағы коэффициенттер арқылы кесте құруға болатынын көрсетіп, талдау жасау.Паскаль үшбұрышының мысалдарда қолданылуын үйрену.
4 кезең. Жоғары сыныпта жіктелетін екі мүшенің қосындысының формулаларындағы коэффициенттер «Ғажайып үшбұрыш» құрайтынын көрсету. Қорытынды мен нәтижелерін қалыптастырамыз

Зерттеу барысында ашылған жаңалықтар:

1) Паскаль үшбұрышының шығу тарихының жалпы заңдылықтары талданды.
2) Нақты мысалдар арқылы Паскаль үшбұрышы құрастырылып, сызылған.
3) Паскаль үшбұрышы жөніндегі ғалымдар еңбегі қарастырылып, коэффициенттер арқылы «Ғажайып үшбұрыш» екендігі көрсетіліп, талданды.

Зерттеудің нәтижесі

Паскаль үшбұрышын қарапайым жолмен құрастыру арқылы келешекте «Ғажайып үшбұрыш» түрлерін алуға болатынын меңгеріп, терең тануға мүмкіндік береді.
Зерттеу нәтижесі кейінгі, қазіргі ұрпақтың технология факультетін таңдап, соның ішінде математика пәнін білуге жол ашады. Себебі қазіргі оқушылар екі санның натурал дәрежелерін қарастырғанда, коэффициенттері кесте құрайтындығын біле бермейді. Менің мақсатым сол коэффициенттер үшбұрыш құрайтынын анықтау, ал күтілмек нәтижем коэффициенттер арқылы «Ғажайып үшбұрыш» сызуға болатынын, қиындықсыз меңгеруге бағыт бағдар жолын көрсету.

КіріспеЗерттеудің көкейкестілігі

Бүгінгі математика тарихында Ньютон биномы тақырыбы саяси даму үстінде келе жатыр.Ежелгі ғалымдар алғаш рет математикадағы белгілі бір әдемі сандар қатарын Паскаль үшбұрышы деп атады. Блез Паскаль француз математигі және18 ғасырдағы философ, оның «Арифметикалық үшбұрыш» атты еңбегі жарық көрді. 1529 жылы Паскаль үшбұрышы осы кітаптың сыртқы мұқабасына басылды. Қытай математигі ЧжуШицзенің 1303 жылғы «Төрт элементтің айнасы» кітабында үшбұрыш бейнеленген және суреттелген.Омар Хайям философ және жазушы ғана емес, ол математик.1100жыл бұрын үшбұрыштың бар екенін,ол қытай мен үнділерден бұрын білген.
Паскаль үшбұрышы математикадағы бірден-бір әйгілі және әсем сандар кестесі 1665 жылға дейін жазба шыққанша белгілі болған.
Паскаль үшбұрышы – бұл үшбұрыш түрінде берілген шексіз сандар қатары.

Зерттеу жұмысының мақсаты мен міндеттері:

Жұмыстың басты мақсаты – қазіргі математикадағы екі мүшенің қосындысының квадраты және кубының жіктелуіндегі коэффициенттер «Ғажайып үшбұрыш» құрайтынын ашып көрсету.
Осы басты мақсатты айқындау үшін жұмысқа төмендегідей міндеттер қойылды:- Паскаль үшбұрышының пайда болуын пайымдау;
- Паскаль үшбұрышының құрастыру жолдарын анық көрсету;
- Паскаль үшбұрышын «Ғажайып үшбұрыш» екенін саралап анықтау.

Паскаль үшбұрышының пайда болу тарихы.

Әріптер арқылы өрнектелген екі санның қосындысы немесе айырмасы бином деп аталады (латынша «би» - екі, «ном» - мүше). Дәрежеленетін биномды осы күні Ньютон биномы дейді. Жайылып жазылған Ньютон биномының әрбір мүшесінде өзіне лайықты коэффициент жолын айтады. Бір дәрежелі биномның коэффициенттері
1 және 1, екі дәрежелі биномдыкі 1, 2, 1, үш дәрежелі биномдыкі 1, 3, 3, 1, төрт дәрежелі биномдыкі 1, 4, 6, 4, 1 болады. Жоғары дәрежелі биномдардың да коэффициенттері осылардың ережесімен шығады. Бином коэффициенттерін төмендегідей үш бұрышты кескінде көрсетуге болады:

(а+в)²=а²+2ав+а²
(а+в)³=а³+3а²в+3ав²+в³ белгілі.
Егер осы екі мүшенің қосындысын кез келген натурал дәрежеге шығару формуласы қажет болса, онда оны жоғарыдағы формулалардың көмегімен қорытып шығаруға болады.
Ал ең қызығы кез келген екі мүшенің натурал дәрежесін шығаруда Паскаль үшбұрышын қолдану өте пайдалы
Мысалы: 1-Өрнек өз дәрежесін кемітеді, ал 2-өрнек дәрежесін арттырады және дәреже көрсеткіштен 1 мүше артық болады.

«Паскаль үшбұрышы өте қарапайым, оны тіпті 10 жастағы бала да анықтап, түсіне алады. Сондай-ақ, кейбір көзқарастар бойынша бір-бірімен байланыспайтын математикалық әртүрлі аспекті мен құндылықтарын байланыстырды. Паскаль осы үшбұрышын ерекше қасиеттері барлық математикалық жүйенің ішінде ерекше деп санауға мүмкіндік береді», - Мартин Гарднер «Математикалық новеллалар»

ЕҢ ҒАЖАЙЫП ҚАСИЕТТЕРІ

Әрбір қатар тұрған екі санның қосындысы сол сандардың астындағы санға тең.Үшбұрышты шексіз жалғастыра беруге болады.

1 - қасиет: Кестедегі кез келген А саны вертикаль қатардағы өзінің алдындағы тұрған сандардың қосындысына тең, ең жоғарыдан бастап сол жағында тұрған А санына дейін.
2 - қасиет. Паскаль үшбұрышының әрбір саны, алдыңғы диагональ-дың сандарының қосындысына тең болады

Сонымен біз Паскаль үшбұрышы және оның түрлерімен таныстық.
Бұл сандар кестесі бұрыннан құрылған және жақсы мысалдар арқылы таныстырылған.
Ал соңғы белгі арқылы қарастырылған үшбұрышты «таңбалы үшбұрыш» деп атадық.
Паскаль үшбұрышына енетін сандар түрлі қасиеттерге ие.
Паскаль үшбұрышы математика және физика саласындағы түрлі есептерді шешуде қолданылады.
Паскаль үшбұрышы компьютерлік бағдарды құрудың негізі болып табылады. Бүгінгі күні Паскаль бағдарламаларының күрделенген түрі есеп шешуде әсіресе информатика пәнінде қолданылады.
Барлық бағыттар даму мен толықтыруға көмек тигізеді.

Осы жұмыс барысында төмендегідей зерттеу кезеңдерін қолдандым:

1) Жұмыстың бірінші кезеңінде Паскаль үшбұрышы төңірегінде авторлардың дәріптеу жолдарын талдадым.
2) Мектеп программасындағы екі мүшенің квадраты формулаларын анықтап, оларды пайдаланып сипаттама бердім.
3) Паскаль үшбұрышының кесте арқылы анықтап, сызбаларын пайдаланып талдау жасадым.
4) Паскаль үшбұрышының сызбаларын пайдаланып, «Ғажайып үшбұрыш» екендігін анықтадым.
«қызықты ғажайып үшбұрыш» құрастыруға болатынын саралап, талдау арқылы жан-жақты меңгеруге мүмкіндік алады, ой-өрісі дамиды. Паскаль үшбұрышының барлық мүмкін жағдайларын зерттеу жұмысында толық құрастырып талдадым.

(х+а)²¹биномының жіктелуінің басынан және соңынан есептегенде үшінші мүшелерінің коэффициентін табыңдар.   А. 210; В. 312; С. 420; D. 225.