«Обучение учащихся решению комбинаторных задач».

Слабый человек сомневается перед тем, как принять решение;

                                                                                 сильный — после.

Карл Краус

 

 «Обучение учащихся решению комбинаторных задач».

 

Я - учитель математики старшей школы. Когда беру пятые классы, то мне, конечно, хочется, чтобы ученики умели быстро и правильно решать примеры, и, конечно, задачи. Но, как правило, сталкиваюсь с тем, что решать задачи в классе умеют единицы. Для этого дети должны уметь логически мыслить, представлять ситуацию, составлять план. На мой взгляд, решению этой проблемы во многом помогают задачи комбинаторного типа.

          

    Уже ФГОС начального общего образования определяет новые требования к уровню подготовки младших школьников. Особую актуальность приобретает целенаправленное формирование у младших школьников «умения учиться» через учебный предмет. В этой связи, включение в содержание базового курса математики в начальной школе комбинаторных задач – задач, требующих осуществления перебора всех возможных вариантов или подсчёта их числа, несомненно, способствует совершенствованию приемов умственной деятельности младшего школьника, формированию у него способности комбинировать, осуществляя «поиск тех или иных преобразований».

    При решении комбинаторных задач дети учатся рассуждать четко, логично, последовательно. Особенно ярко это проявляется в рассуждении при построении графа - дерева, или «логического дерева решений».

Рассмотрение разнообразных комбинаторных задач и различных возможностей их решения (разный ход рассуждений, средства организации перебора, способы обозначения объектов) обеспечивает ученику выбор путей и средств решения в соответствии с его индивидуальными способностями.

И так что же такое комбинаторные задачи.

Область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов, называется комбинаторикой.

       Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова combinate, которое означает «соединять», «сочетать».

        Комбинаторные задачи – это задачи, требующие осуществления перебора всех возможных вариантов или подсчета их числа.

 

       Как наука комбинаторика возникла в XVI веке. В жизни привилегированных слоев тогдашнего общества большое место занимали азартные игры. В карты и кости выигрывались  и проигрывались золото и бриллианты, дворцы и имения, породистые кони и дорогие украшения. Широко были распространены всевозможные лотереи.

    Понятно, что первоначально комбинаторные задачи касались в основном азартных игр – вопросов, сколькими способами можно выбросить данное  число очков, бросая две или три кости, или сколькими способами можно получить двух королей в данной карточной игре. Эти и другие проблемы азартных игр явились движущей силой в развитии комбинаторики и развивающейся одновременно с ней теории вероятностей. Одним из первых занялся подсчетом числа различных комбинаций при игре в кости итальянский математик  Тарталья. Он составил таблицу, показывающую, сколькими способами  могут выпасть r костей. Однако при этом не учитывалось, что одна и та же  сумма очков может быть получена различными способами (например, 1+3+4 = 4+2 +2).

         Теоретическое исследование   вопросов комбинаторики  предприняли в XVII веке французские ученые Паскаль и Ферма. Исходным пунктом  их исследований  тоже были проблемы азартных игр. 

         Дальнейшее развитие комбинаторики связано с именами Якова Бернулли, Лейбница и Эйлера. Однако и у них основную роль играли приложения  к различным играм (лото, солитер и др.).

        Мы, учителя математики, знакомим своих учеников с понятием «комбинаторная задача» еще в начальной школе, продолжаем в  пятом классе.  Это необходимо для того, чтобы обучающиеся умели в дальнейшем работать с более сложными заданиями. Под комбинаторностью задачи можно понимать возможность решить ее с помощью перебора элементов конечного множества. Главным признаком задач такого порядка является вопрос к ним, который звучит как «Сколько вариантов?» или «Сколькими способами?» Решение комбинаторных задач напрямую зависит от того, понял ли решающий их смысл, сумел ли он правильно представить действие или процесс, которые были описаны в задании.

       Комбинаторная задача может иметь ряд ограничений, которые могут быть наложены на соединения. В этом случае понадобится просчитать полностью ее решение и проверить, оказывают ли эти ограничения какое-либо влияние на соединение всех элементов. Если влияние действительно имеется, необходимо проверить, какое именно.

      В начальной школе необходимо научить решать простейшие комбинаторные задачи. Овладение простым материалом позволит научиться разбираться в более сложных заданиях. Начать решать задачи с ограничениями, которые не учитываются при рассмотрении более простого варианта. Также попытаться решать сначала те задачи, в которых нужно рассматривать меньшее количество общих элементов.

Задачи 2 класса:

1. Петя, Вася, Катя, Лиза и Миша участвуют в конкурсе чтецов. В каком порядке выступят дети, если Миша будет первым, а Катя идёт сразу за Мишей? Найди все варианты.

Ответ:

1)  Миша, Катя, Лиза, Петя, Вася

2) Миша, Катя, Лиза, Вася, Петя

3) Миша, Катя, Петя, Вася, Лиза

4) Миша, Катя, Петя, Лиза, Вася

5) Миша, Катя, Вася, Петя, Лиза

6) Миша, Катя, Вася, Лиза, Петя

 Всего 6 вариантов.

2. Как можно разместить на скамейке Настю, Таню, Мишу и Сережу, чтобы мальчики и девочки чередовались? Сколько способов получилось?

Ответ: НМТС, НСТМ, ТМНС, ТСНМ, МТСН, МНСТ, СТМН, СНМТ. 8 вариантов.

3. Из цифр 1, 7, 9, 0 составь все возможные двузначные числа (цифры не должны  повторяться). Сколько и какие из них больше 20?

70, 71, 79, 90, 91, 97.

Ответ: 6 чисел

4. Начерти отрезок АО. Поставь внутри него 3 точки, обозначь их буквами М, К, Е.

Сколько всего получится отрезков?

 

А         М             К             Е            О      

 

 

АМ, АК, АЕ, АО, МК, МЕ, МО, КЕ, КО, ЕО.

Ответ: 10

Задачи 3 класса:

1. У Вити имеется 4 вида цветной бумаги (красная, синяя, желтая и зелёная)  и 3 вида образца оригами животных (заяц, собака, голубь). Сколько вариантов одного любого животного он может сделать из любого цвета?

4 ∙ 3 = 12

Ответ: 12 различных вариантов.

2.  Шесть семей уехали отдыхать в разные города. Приехав к месту отдыха, они поговорили друг с другом по телефону. Сколько звонков было сделано?

5 + 4 + 3 + 2 +1 = 15

Ответ: 15 звонков.

3.Как можно разместить на скамейке Настю, Таню, Мишу и Сережу, чтобы мальчики и девочки чередовались? Сколько способов получилось?

Ответ: НМТС, НСТМ, ТМНС, ТСНМ, МТСН, МНСТ, СТМН, СНМТ. 8 вариантов.

 4. Из цифр 2, 7, 5, 0 составь все возможные трёхзначные числа так, чтобы цифры не повторялись. Сколько и какие из них больше 300?

507, 502, 570, 520, 705, 702, 720, 750

Ответ: 8

Задачи 4 класса:

1. Сосчитай, сколько слов содержится в заклинании волшебника, если в словах по три буквы, первая из них – Щ или Ц, второй могут быть О, Е, И, а оканчиваются слова на Р, Х, К,

 2 ∙ 3 ∙ 3 = 18

Ответ: 18

2. Из цифр 9, 7, 5, 0 составь все возможные четырёхзначные числа так, чтобы цифры не повторялись. Сколько их?

5079, 5097, 5709, 5790, 5907, 5970, 7059, 7095, 7507, 7509, 7905, 7950, 9057, 9075, 9507, 9570, 9705, 9750

Решение умножением: на первом месте может быть 3 цифры, кроме 0, но втором месте другие 3 цифры, на третьем месте только 2 цифры, на четвёртом месте – только одна оставшаяся, т.е.

3∙3∙2∙1 = 18

Если бы в условии разрешили повторять цифры, то решение выглядело бы так: 3∙4∙4∙4 = 192 варианта (т.е. на первом месте нельзя брать 0, на всех последующих местах можно брать все цифры)

Ответ: 18 чисел.

 

    Таким образом, в начальной школе обучающиеся могут понять принцип создания выборок и научиться, в дальнейшем самостоятельно создавать их. Если задача, для которой необходимо использовать комбинаторику, состоит из комбинации нескольких более простых, рекомендуется решать ее по частям.

    Для решения комбинаторных задач  необходимо познакомится со способами решения комбинаторных задач.  

Способы решения комбинаторных задач.

1.       Перебор различных вариантов.

2.     Дерево возможных вариантов.

3.     Составление таблиц.

4.      Правило умножения.

 

1.Перебор различных вариантов.

Задача ( 5 класс).
 Какие двузначные числа можно составить из  цифр 1, 3, 4, 5?

 Решение:  

    11,  13, 14, 15,  31, 33, 34, 35, 41, 43, 44, 45, 51, , 53,  54, 55.

2.Дерево возможных вариантов.

     Самые разные комбинаторные задачи решаются с помощью составления специальных схем. Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда и название метода – дерево возможных вариантов.
Задача ( 5 класс).

Какие трехзначные числа можно составить из цифр 0, 3, 5?

Решение. Построим дерево возможных вариантов, учитывая, что 0 не может быть первой цифрой в числе.

3. Составление таблиц.

     Решить комбинаторные задачи можно с помощью таблиц. Они, как и дерево возможных вариантов, наглядно представляют решение таких задач.

 Задача ( 6 класс).
Сколько нечетных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9?

 Решение.

 Составим таблицу: слева первый столбец – первые цифры искомых чисел, вверху первая строка – вторые цифры. 

 

	1	3	5	7	9
1	11	13	15	17	19
2	21	23	25	27	29
3	31	33	35	37	39
5	51	53	55	57	59
6	61	63	65	67	69
7	71	73	75	77	79
8	81	83	85	87	89
9	91	93	95	97	99

 

Подобные задачи применяются во время подготовки к ОГЭ.

 

4.Правило умножения.

      Этот метод решения комбинаторных задач применяется, когда не требуется перечислять все возможные варианты, а нужно ответить на вопрос – сколько их существует.

 Задача .
      5 учеников участвуют в концерте. Сколькими     способами их можно         расположить в списке участников?                                          

Решение: Первым в списке может оказаться любой из 5 учеников,                              вторым в списке может быть любой из оставшихся 4  учеников, третьим – любой из оставшихся 3 учеников, четвертым – любой из оставшихся 2 учеников, пятым – последний 1 ученик.

  5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 120.                                                                     Ответ: 120

 

        Методы комбинаторики находят широкое применение в физике, химии, биологии, экономике, теории вероятностей и других областях науки. В настоящее время практически во всех учебных пособиях по теории вероятностей выделяют следующие основные методы решения комбинаторных задач: перебор всех возможных вариантов (систематический перебор, перебор с ограничениями), полный граф, дерево вариантов (граф-дерево), таблица вариантов, правила произведения и суммы. Факториал. Перестановки. Размещения. Сочетания. Формулы для подсчёта числа перестановок, размещений и сочетаний. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона.

Например: СДАМ ГИА: РЕШУ ОГЭ

Образовательный портал для подготовки к экзаменам:

Задание 9 № 132728

Коля вы­би­ра­ет трех­знач­ное число. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что оно де­лит­ся на 5.

Задание 9 № 311336

В мешке со­дер­жат­ся же­то­ны с но­ме­ра­ми от 5 до 54 включительно. Ка­ко­ва вероятность, того, что из­вле­чен­ный на­у­гад из мешка жетон со­дер­жит дву­знач­ное число?

Задание 9 № 333099

Стас вы­би­ра­ет трёхзначное число. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что оно де­лит­ся на 48.

 

Задание 9 № 311505

В чем­пи­о­на­те по фут­бо­лу участ­ву­ют 16 команд, ко­то­рые же­ре­бьев­кой рас­пре­де­ля­ют­ся на 4 группы: A, B, C и D. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что ко­ман­да Рос­сии не по­па­да­ет в груп­пу A?

 

Делаем вывод, для того чтобы решить задачу по комбинаторике, необходимо сначала понять её смысл, то есть, представить мысленно процесс или действие, описанное в задаче.

Нужно чётко определить тип соединений в задаче, а для этого надо, составив несколько различных комбинаций, проверить, повторяются ли элементы, меняется ли их состав, важен ли порядок элементов.

Если же комбинаторная задача содержит ряд ограничений, налагающихся на соединения, то нужно понять, как влияют или не влияют эти ограничения на соединения.

В том случае, если трудно сразу определить какие-либо важные моменты задачи, то не плохо было бы попытаться разобраться в более лёгкой задаче, например в той, в которой не учитываются ограничения, если они есть в исходной задаче, или же в задаче, в которой рассматривается меньшее количество элементов, тогда проще будет понять принцип образования выборок.

 Когда комбинаторная задача состоит из различных комбинаций элементарных задач, то нужно просто разбить задачу на подзадачи.

     Решение комбинаторных задач способствует развитию вариативности мышления – направленности мыслительной деятельности на поиск различных путей решения задачи, когда на это нет специального указания.

    Включение в обучение школьников комбинаторным задачам будет способствовать как интеллектуальному развитию ребенка в целом, так и возможности « создавать полезные комбинации», что позволит в будущем решать творческие задачи. Перечень задач в приложении можно использовать дополнительно на уроках математики.

 

Хорошо сформулированная проблема — это наполовину решенная проблема.

 Чарлз Кеттеринг.

 

Никакую проблему нельзя решить на том же уровне, на котором она возникла.

Альберт Эйнштейн.

 

Существует огромная разница между знанием и пониманием: вы можете много знать о чем-то, по - настоящему не понимая этого.

Чарлз Кеттеринг.

 

ПРАВИЛА НАПИСАНИЯ СИНКВЕЙНА

1 строчка – одно слово – название стихотворения, тема, обычно существительное.

2 строчка – два слова (прилагательные или причастия). Описание темы, слова можно соединять союзами и предлогами.

3 строчка – три слова (глаголы). Действия, относящиеся к теме.

4 строчка – четыре слова – предложение. Фраза, которая показывает отношение автора к теме в 1-ой строчке.

5 строчка – одно слово – ассоциация, синоним, который повторяет суть темы в 1-ой строчке, обычно существительное.

Комбинаторика

Непредсказуемая, занимательная.

Понимать, изучать, перебирать.

Присутствует во всех областях.

Многовариантность.

 

 

 

           

 

 

Список литературы:

1.Математика. 2 класс. Моро М.И., Степанова С.В., Волкова С.И. 

М. Просвещение, 2018

2.Математика. 3 класс. Моро М.И., Степанова С.В., Волкова С.И. 

М. Просвещение, 2018

3. Математика. 4 класс. Моро М.И., Степанова С.В., Волкова С.И., 

М. Просвещение, 2017

     4. Математика. 5 класс.  Дорофеев В.Г, Шарыгин И.Ф., М. Просвещение, 2017

     5. Математика.6  класс.  Дорофеев В.Г, Шарыгин И.Ф., М. Просвещение, 2017

    6.Бунимович Е.А., Булычев В.А. Вероятность и статистика. 5-9 кл.: пособие для общеобразоват. учреждений. – 3-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2009.

   7.Интернет- ресурсы:

http://combinatorica.narod.ru/second.htm

http://olympiads.mccme.ru/lktg/2006/3/3-3ru.pdf

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                  Приложение: Задачи по комбинаторике:

1.     Найдите количество всех способов, которыми можно составить трехцветный флаг из горизонтальных полос красного, белого и синего цветов.

2.     В 6  классе в среду 5 уроков: музыка, русский язык, литература, история  и математика. Сколько можно составить вариантов расписания на день, зная точно, что  математика - последний урок?

3.     Проказница мартышка, осел, козел, да косолапый мишка  затеяли сыграть квартет…  Сколькими способами можно рассадить этих четырех музыкантов в  один ряд?

4.     Сколько нужно конвертов, чтобы девочки Лера (Л.), Таня (Т.), Надя (Н.) и Вера (В.) обменялись письмами?

5.     У Артема  дома есть три поручения: помыть посуду, вынести мусор и погулять с собакой. Сколько дней он может выполнять эти поручения в разном порядке?

6.     Каждый из 5-ти друзей может получить за контрольную по математике  любую отметку от 2 до 5. Сколько существует вариантов получения ими отметок? Выпишите все эти варианты.

7.     В нашем классе 8 человек. Нам нужно выбрать старосту класса и его заместителя. Сколько возможно вариантов выбора старосты и его заместителя. 

8.     У Васи есть 2 пары обуви, 2-е брюк и три рубашки. Сколько у него вариантов одеться по-разному?

9.     Имеется батон, черный хлеб, сыр, колбаса и джем. Сколько видов бутербродов можно приготовить?

10. На тарелке лежат 5 груш и 4 яблока. Сколькими способами можно выбрать   один плод?

11. На тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать пару плодов, состоящую из яблока и апельсина?

12. Учащиеся 6 класса решили обменяться фотографиями. Сколько фотографий для этого потребуется, если в классе 8 человек?

13. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 5, 9, 0, 6?

14. Из города А в город В ведут две дороги, из города В в город С – три дороги, из города С до пристани – две дороги. Туристы хотят проехать из города А через города В и С к пристани. Сколькими способами они могут выбрать маршрут?

15. Из пункта А в пункт В можно попасть десятью путями, а из пункта В в пункт С – девятью путями. Сколько имеется маршрутов из пункта А в пункт С через пункт В?

16. В кафе имеются три первых блюда, пять вторых блюд и два третьих. Сколькими способами посетитель кафе может выбрать обед, состоящий из первого, второго и третьего блюд?

17. Сколько различных пятизначных чисел, делящихся на 10 можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4? Каждую цифру можно использовать в записи только один раз.

18. Сколько пятизначных чисел, делящихся на три, можно составить из цифр 3, 4, 6, 7, 9 если каждое число не содержит одинаковых цифр?

19. Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 4, 5, 6, 7, 8, 9 так, чтобы каждое из них начиналось с комбинации «567»?

20. Сколько чётных положительных пятизначных чисел можно получить из цифр 1, 2, 3, 4?

21. Сколько трёхзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и 5? Андрей зашел в магазин, чтобы купить майки. В магазине оказались майки четырех цветов: белые, голубые, красные, черные. Сколько вариантов покупки есть у Андрея, если он хочет купить две майки?

22. В классе три человека хорошо поют, двое других играют на гитаре, а еще один умеет показывать фокусы. Сколькими способами можно составить концертную бригаду из певца, гитариста и фокусника?

23. Наташа сшила кукле десять разных платьев, а Даша сшила своему мишке трое штанишек и четыре футболки. Как вы думаете, у кого больше разных нарядов – у куклы или у мишки?

24. Для начинки пирогов у Наташи есть капуста, яйца, зелень лук и клубничное варенье. Сколько различных начинок можно приготовить из этих продуктов? При этом не надо забывать, что пироги должны быть вкусными. Вряд ли кто из вас захочет съесть пирог с начинкой из капусты с клубничным вареньем. Служитель зоопарка должен дать зайцу два различных овоща. Сколькими различными способами он может это сделать, если у него есть морковь, свекла и капуста?

25. В алфавите племени УАУА имеются всего две буквы – «а» и «у». Сколько различных слов по три буквы в каждом можно составить, используя алфавит этого племени?

26. На завтрак Вова может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а запить их он может кофе, соком или кефиром.Сколько различных вариантов завтрака может выбрать Вова?

Скачано с www.znanio.ru