Олимпиада есептері

Математикалық олимпиада және логика Есептер жинағы шешімімен І деңгей Құрастырған: Табыс Н Астана, 2018ж 1 А B C Мазмұны І деңгей ..................................................................... ................. ІІ деңгей ..................................................................... ................ ІІІ деңгей ..................................................................... .............. Пйдаланылған әдебиеттер........................................ ..... Олимпиадалық кітаптар туралы ................................ 3 17 117 200 Соңғы бетте Құрметті жас достар! Қолыңыздағы қызықты және көңілді кітап сіздің жан досыңызға айналады. Бұл кітаптан сіз өзіңізге жаңаша білім алумен қатар, логикалық ойлау қабілетіңізді дамытуға арналған тапсырмалардан сусындай аласыз. Табыс Нұрланбек Өзіңіз туралы ақпарат Аты-жөні: . Мектебі: . Сыныбы: . 2 І деңгей 1. Жолаушының бір ешкісі, бір капустасы, бір қасқыры бар. Ол өзеннің бір жағынан екінші жағына екі орынды қайық арқылы өтуі керек. жолаушы ешкіні, капуста және қасқырды өзеннен қалай өткізді? Қасқырды ешкімен қалдыра алмайды, ал ешкіні капустамен қалдыра алмайтыны белглі болса? Шешімі: Ол үшін үшеуін де қадағалаусыз қалмауы керек. Бірінші қатынағанда жолаушы өзеннің ар жағына ешкіні апарады. Екінші қатынағанда жолаушы қасқырды алады, капуста қалады. Өзеннің ар жағына жеткен соң қасқырды қалдырып, ешкіні қайтадан өзеннің бер жағына әкеледі. Үш қатынағанда ешкіні қалдырып, капустаны өзеннің ар жағына апарады. Капустаны қалдырады да, өзі бер жаққа қайта оралады. Төрт қатынағанда ол ешкіні өзеннің ар жағына шығарады. 2. Айдынның Асқардан бойы ұзын, бірақ Жанаттан кіші. Кім ұзын? Шешімі: Жанат - ұзын 3. Менің атым Медет Менің тәтемнің бір ғана інісі бар. Менің тәтемнің інісінің аты кім? Жауабы: Медет 4. Термометр аяз болғасын – үш градус көрсетіп тұр. Осындай екі термометр неше градус көрсетеді? Жауабы: үш 5. Тік төрбұрышты бөлмеге әрбір қабырғасында үш орындық болатындай сегіз орындықты орналастыру керек. Орналастырыңдар. Жауабы: 0 0 0 3 0 0 0 0 0 6. Бөлмедегі әр бұрышта бір мысықтан және оған қарама- қарсы үш мысықтан отырса, бөлмеде неше мысық бар? Жауабы: 4 мысық 7. Үстел үстінде үш стакан шие тұр. Марат бір стакан шиені жеп қойды. Неше стакан қалды? Жауабы: үш стакан 8. Жүгіру жарысынан Асет, Марат, Талғат үш орынды алды, егер: Марат екінші орын алмаса, ал Талғат –үшінші орын алмаса, кім қандай орын алды? Жауабы: 1-Марат, 2-Асет, 3-Талғат 9. Алмас әкесімен бірге саңырауқұлақ жинады. Әкесі тапқан саңырауқұлақтың жартысынан Алмас 18 саңырауқұлаққа Ал әкесі Алмасқа қарағанда 7 артық тауыпты. саңырауқұлаққа артық жинады. Алмас әкесімен бірге қанша саңырауқұлақ жинады? Жауабы: 93 10. Көшеде екі әкесі, екі баласы, және атасы немересімен қыдырып жүр. Көшеде неше адам жүр? Жауабы: үшеу 11. Екі бала шахматты екі сағат ойнады. Олардың әрқайсысы неше сағат ойлады? Жауабы: екі сағат 12. Допты лақтырғанда, доп сол ізімен кері қайту үшін оны қалай лақтыру керек? Жауабы: жоғары 13. Қараңғы бөлмеде майшам мен керосин лампасы бар. Бірінші не жағасыз? Жауабы: шырпы 14. Суға қай кезде қолды кесіп алуға болады? Жауабы: егер оны мұз етіп қатырса 4 15. Үш литрлік және бес литрлік суды қалай өлшеуге болады? Жауабы: 3+3=6 6-5=1 3+1=4л 16. Бес гномға үш қызыл және төрт көк капюшонды көрсетеді. Қараңғыда үш қызыл және екі көк капюшонды гномдардың бастарына кигізеді. Қалған капюшондар жасырылады. Жарық жағылады. Гномдардың қайсылары өз бастарындағы капюшонның түсін таба алады? Шешімі: екі көк түсті капюшон киген гномдар таба алады. Себебі көк капюшон киген гном алдында үш қызыл және бір көк капюшон киген гномдар түрады. Ал қызыл капюшон саны үш, қалғаны көк. Сондықтан өз басындағы да көк. 17. Үш гном бар. Сол үш гномға үш қызыл және үш көк капюшонды көрсетеді. Қараңғыда үшеуіне екі қызыл және бір көк капюшонды кигізіп, қалғандарын жасырады. Гномдардың қайсысы өз басындағы капюшоның түсін таба алады? Жауабы: ешқайсысы 18. Үш оқушы үш мектептен лагерге келді. Тәрбиеші олардан кім қай мектептен келгендерін сұрады. Оған: Бейбіт: мен 24-шы мектепте, ал Айдын 8-ші мектепте оқиды. Айдын Мен 24-ші мектепте, ал Бейбіт 30-шы мектепте оқиды. Диас: Мен 24-ші 5 Құрастырған: Маженова Жаңагүл, Байназаров Талғат мектепте, ал Бейбіт 8-ші мектепте оқиды деді. Тәрбиеші мына жауаптардан түк түсінбеді. Сосын үш оқушы айтқандарының бірі ғана дұрыс екенін мойындады, ал екеуі өтірік деді. Оқушылардың айтқандарының қайсы рас, қайсы жалған? Кім қай мектепте оқиды? Шешуі: Бейбіттің бірінші айтқанын дұрыс деп алайық, онда екіншісі өтірік. Онда, Айдын 8 метепте оқиды. Онда Айдын мен Диастың бірінші айтқаны өтірік. Онда олардың бірінші айтқандары рас болу керек. Қарама- қайшылыққа әкеледі. Енді Бейбіттің екінші айтқаны рас деп алайық. Онда Айдын 24-те оқимайды. Бейбіт 30-да оқыса, онда ол 8-де оқымайды. Бейбіт 30-да, Айдын 8-де, Диас 24-те оқиды. 19. Он екі литрлік бөшкеде квас бар, соны сегіз литрлік және үш литрлік екіге тең қалай бөлуге болады? 5 Шешімі: 12-3=9 9-3=6 6=6 20. 10 литрлік бөшкеде су бар және 7 литрлік, 2 литрлік бос ыдыстар бар. Екі ыдысқа 5 литрден суды қалай тең бөлуге болады? Шешімі: 10-7=3 7-2=5 2+3=5 21. Тоғыз литрлік және төрт литрлік екі ыдыс берілген. Осы ыдыстардың көмегімен бактан алты литр суды қалай алуға болады? (суды бакқа қайта құюға болады) Шешімі: 9-4-4=1 9-4=5 5+1=6 22. 8 л, 5 л, 3 л ыдыстар берілсін. 8 л ыдыс суға толы. Енді осы суды екі ыдысқа 4 литрден қалай тең бөлуге болады? Шешімі: 8-5=3 5-3=2 3+3=6 6-2=4 23. Ойлаған санға бірді қостым, қосындыны егіге көбейттім. Көбейтінідіні төртке бөлдім. Бөліндіден үшті азайттым. Бір шықты. Мен қандай сан ойладым? Шешімі: (((x+1)*2)/4)-3=1 x=7 6 24. Мотоцикл жүргізушісі ауылға келе жатқанда жолдан өзіне қарсы ұш жеңіл машина және бір камазды кездестірді. Ауылға неше машина бара жатыр? Жауабы: Бір ғана мотоцикл Сыныпта 35 оқушы бар. Қыздар ұлдардан үшке артық. Сыныпта ұлдар қанша , қыздар қанша? Шешімі: x+x+3=35 x=16(ұ) х+3=16+3=19(қ) Есептеңіз. 7500*8001+8001*3500 Шешімі: 25. 26. 7500*8001+8001*3500=8001*(7500+3500)=8001*10 000 30 марғұлан үш күнде жүз конверт сатып алды. Осы үш күннің бірінде ол кем дегенде отыз төрт конверт алғанын дәләлдеңдер. Шешімі: 100=33*3+1 Мектепте төрт жүз оқушы бар. Олардың ең болмағанда 27. 28. екеуі бір күнде туғанын дәлелдеңіз. Шешімі: (Дирихле принципі) 1 жылда 365, 366 күн бар. Демек, олардың ең болмағанда екеуі бір күнде туған. 6 29. Сиқырлы алма ағашында алғашында он бес банан , жиырма апельсин өсіп тұр. Егер ағаштан бір жемісті үзсек, онда дәл сондай жеміс өсіп шығады, ол егер бір уақытта екі бірдей жеміс үзсек- апельсин, ал егер бір уақытта екі әр түрлі жеміс үзсек – бана өсіп шығады. Алма ағашында бір түрдегі жемістер қалу үшін , жемістері қандай ретпен үзу керек? 30. 31. Жауабы: Талдау Қорапта 25 кг шеге бар. Табақты таразы мен массасы бір кг гирь тасты қолданып, екі рет өлшеу арқылы қалай 19 кг шеге алуға болады? Шешімі: 12+1кг=13 12/2=6 6=6 13+6=19 1,2,3 цифрларының әрқайсы қайталанбайтындай етіп құрастырылған барлық үш таңбалы сандардың қосындысын тап. Шешімі: мүмкін нұсқаларды іріктеу 2 3 1 3 2 1 3 * 2 3 32. Шаршының қабырғасын үш есе үлкейтсе, оның ауданы 1 1 2 3 2 1 неше есе үлкееді? 33. Жауабы: 9 есе Селодан қалаға дейін велосипедші 20 км/сағ жыдамдықпен, ал қайтар жолда 10 км/сағ жылдамдықпен жүріп өтті. Велосипедшінің орта жылдамдығын тап. Шешімі: (20+10)/2=15 Жұп санды үшке бөлгенде қалдық қандай болуы 34. 35. мүмкін. Жауабы: 1 және 2 Дөңгелек бойында 60 рыцарь мен өтірікшілер тұр. Өтірікшілер әрдайым өтірік айтады, Рыцарьлар әрқашан шындықты айтады. Бірақ рыцарьлар кейде қалжындайды, яғни арасында өтірік айтады. Бұлардың әрқайсысы «рыцарь мен өтіріші арасында тұрмын» дейді. Олардың арасында екі рыцарь қалжындайды. Дөңгелек бойындағы өтірікшілер санын тап? Жауабы: 20 өтірікші. Себебі, 2 өтірікші қатар тұра алмайды және 3 рыцарь қатар тұра алмайды (тек 2 рыцарь қалжыңдағанда ғана қатар тұра алады). 2 рет (ррр) бола алмайды. Тек бір (өрө) және бір (ррр) бола алады. Қалғаны (өрр). өрөрррөррөррөррөрр...өрр 20-өтірікші, 40-рыцарь. 7 36. 37. 38. Дөңгелек бойында он бес бала тұр. Әрбір қыздың оң жағында бір ұл тұр. Ұлдардың жартысының оң жағында бір ұлдан тұр, ал қалған ұлдардың жартысының оң жағында бір қыздан тұр. Неше қыз? Неше ұл бар? Шешімі: Әр қыздың оң жағында ұл тұрғандықтан, қыздар мен ұлдардың жұптары бар (қ,ұ). Бірақ ұлдардың жартысының оң жағында ұлдар тұрғандықтан, дөңгелек бойында ҚҰҰ болуы керек. Ал қалған ұлдардың жартысының оң жағында қыздар болуы керек. 5-қыз, 10-ұл. Арман черновикте есеп шығарып, оны дәптерге көшірді. Бірақ жақшаларды қалай қойғанын ұмытты. Оның есінде қалғаны мынау 6*8+20:4-2=40. Арманға жақшаларды қоюға көмектесіңіз. Жауабы: 6*(8+20):4-2=40 Суретші Худабеднов бір айда 42 картина салды. Олардың 17-сінде орман, 9-нда өзен, ал 13-нде орманда, өзенде салынған. Қалған картинкаларда түсініксіз суреттер бар. Қанша түсініксіз суреттер бар? Жауабы: Эйлер-Венн диаграммасы. (29-17)-13=33 42- 33=9 39. Егер фигураның периметрі 32 см екені белгілі болса, онда осы фигураның ауданын табыңыз. Жауабы: 16жағы бар. 32:16=2. Кішкентай квадраттың бір қабырқасының ұзындығы - 2см. Кішкене квадрат ауданы: S=2*2=4 Үлкен квадрат ауданы одан екі есе үлкен S=4*4=16 Kішкене квадраттар -8. S=8*4=32 S=32+16=48 Мұғалім оқушыларға 415327 және 8373 сандарының көбейтіндісін табуды берді. Жәнібек есепті бірінші орындап, жауабы 328363624 деді. -Бұл қате, -деді Алишер -Неге, сен әлі шығарған жоқсын ғой, -деп Жәнібек ашуланды. -Сонда да оның қате екенін көріп тұрмын, -деді Алишер. Кімдікі дұрыс? Шешімі: Жәнібек дұрыс айтты. 1)Соңғы цифралардың көбейтіндісі бірге аяқталуы керек. 2)Екі тақ санның көбейтіндісі тақ санға аяқталуы керек. Отбасыда төрт бала бар. Олардың жастары: 5, 8, 13, 15. Балалардың аттары: Жәнібек, Райхан, Салтанат,Жанат. Қыздардың біреуі бала- бақшаға барады. Жәнібектен үлкен,Райханның жасына Жанаттың жасын қоссаң, үшке бөлінеді. Жанат кім? Қыз ба, ұл ма? 40. 41. 8 42. 43. 44. Жауабы: (5+13)=18:3 Райхан > Жәнібек. Райхан он үште, Жанат бесте. Ең кішкентайы бесте, ол-Жанат, демек ол балабақшаға барады. Жанат-қыз. Әділ тақтаға екі сан жазды. Мейрамбек олардың қосындасын қасына жазды. Жәнібек тақтадағы үш санын қосты. Егер Мейрамбектің жазған саны бес болса, Жәнібек тапқпн қоынды нешеге тең? Жауабы: 5+5+10=20 8*8 кестесінде он жеті клетканы бояп, және осы боялған клеткалар қатар тұратындай етіп орналастыруға бола ма? Жауабы: жоқ. Кестені 2*2 болатын 16 квадратқа бөлейік . Онда осы екі клетканың біреуі боялған болады, олар көршілес болады. Туристік агенство «Дуремар» Карабасқа «Қиялилар әлеміне» үш билетті, яңни екі үлкен адамға және бір балаға арналған билеттерді -3543 теңгеге береміз деді. Балаларға арналған билет үлкен адамдарға арналған билеттен бес жүз теңгеге арзан. Карабас олардың өзін алдап тұрғанын қалай түсінді? Егер баланың билетінің құны үлкендердікімен бірдей болса, онда билеттің құны 3543+500=4043 болатын еді. Бірақ 4043 үшке бөлінбейді. 2) х-үлкен адамның билетінің құны. 3x-500=3543 3x=3543+500 X=4043/3 Теңдеудің натурал шешімі жоқ. Жауабы: Жауабы: Үш таңбалы санның соңғы екі цифрларының орындарын ауыстырып, алғашқы үш таңбалы санға қосты. Одан 195... деп басталатын төрт таңбалы сан шықты. Онд алғашқы үш таңбалы сан шықты. Онда алғашқы үш таңбалы санның соңғы цифрі қандай сандар болуы мүмкін? cba + cab ------ 195 * Екі бірдей санның қосындысынан (c+c) жұп сан шығу керек. Cондықтан b және a сандарының қосындысы 10-нан үлкен, яғни 14-ке тең. Сондықтан а цифрі 5-тен кіші бола алмайды. Демек а цифрінің орнына 5-тен 9-ға дейінгі сандарды қоюға болады. А қаласынан В қаласына Печкин жолға шықты. Ал Матроскин керісінше В қаласынан А қаласына шықты. Олар кездскесін, Печкин қайтадан кері жүрді, ал Матроскин сол жүрген жолымен жүре берді. Печкин А қаласына Матроскиннен 30 минутқа ерте келеді және оның 1) 45. 46. 9 47. жылдамдығы Матроскиннің жылдамдығынан 6 есе көп еді. В қаласынан А қаласына дейін Матроскин қанша уақыт жіберді? Жауабы: Кездескенге дейін Печкин Матроскиннің жүрген жолынан 6 есе артық жол жүрді. Печкин А қаласына қайта оралғанға дейін Матроскин кездескеенше дейін жүрген жолындай жол жүрді. Демек, Матроскинге 30минут ішінде әлі жүрген жолының бесеуіндей жүру керек. 30:5=6 мин. Демек, Матроскин Печкинге кездескенше дейін 6 мин жүрген Онда 6+6*6=42мин. Жаңа үй салып жатқан Бобер Бобтың 6 бөренесі бар. Олардың әрқайсысын 6-ға бөлу керек. Ол өзінің өткір тістерімен бөренені бір жерден кесу үшін 1 минут уақытын жібереді. Барлық жұмысқа оның қанша уақыты кетеді? Шешімі: Бөренелердің біреуін 6-ға бөлу үшін 5 рет кесу керек. 1бөренеге- 5минут, 6*5=30 минут. 48. 49. 10 011 + 100 110 010 өрнегінен 0 мен 1 ді ауыстыруға рұқсат етіледі. Солай неше алмастыру жасап, 18-ге бөлінетін санды шығаруға болады. Жауабы: 2 алмастыру Отбасында анасы, әкесі және 4 баласы бар. Балалардың орташа бойы 120 см, ал ата-аналарының орташа бойы 174 см. Барлық отбасы мүшелерінің орташа бойы неше см? Шешімі: 120*4=480 174*2=348 4+2=6 (480+348)/6=138 Кесіндіге аралары 1 см, 2 см, 3 см, 4 см, 5 см, 6 см, 7 см, 8 см болатындай ең аз неше нүкте белгілеуге болады? Жауабы: (5 нүкте) А В С D Е АВ=ВС=1 см СD=DE=3 см Ондық цифрлары бірліктер цифрларынан үлкен болатын см 50. 51. 52. 53. қанша екі таңбалы сан бар? Жауабы: 45 сан Кесіндінің әрқайсысында 4 нүктеден болатындай етіп, екі кесіндіде қанша нүктені орналастыруға болады? Шешімі: Екі кесіндіні қиылыстырып, ортасына бір нүктені қоямыз. Қалғандары сәйкесінше. 7 нүкте қоюға болады. Есептеңіз. 99-97+95-93+91-92+...+7-5+3-1 =? Шешімі: 1 мен 99 сандарының арасында 50 тақ сан. Тақ сандардың айрымын екі-екіден алсақ, 25 жұп бар. Айырымы 2-ге тең. 25*2=50 54. 1-ден 81-ге дейінгі барлық натурал 10 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62. мүмкін? сандардың көбейтіндісі қандай цифрға аяқталады? Шешімі: 0-ге, себебі кез келген санды 0 цифрымен аяқталатын санға көбейткенде, 0-ге аяқталатын сан шығады. 4 қарындаш пен 3 жалпы дәптер 54 тг, 2 қарындаш пен 2 жалпы дәптер 34 тг тұрады. 8 қарындаш пен 7 дәптер қанша тг тұрады? 4қ+3жд=54 2қ+2жд=34 жүйе құрып, 1 қарындаш пен 1 жалпы дәптердің құнын тауып аламыз. 1к- 3тг, 1жд-14 8к-24тг, 7жд-98тг Шахмат турниріне 7 адам қатысты. Әркім әрқайсымен бір партиядан ойнады. Барлық ойналған партиялар саны қанша? Шешімі: 6+5+4+3+2+1=21 партия Шешімі: Тақ цифрлардың көмегімен жазылған қанша екі таңбалы сан бар? Жауабы: 1,3,5,7,9 цифрлары арқылы 20 сан Үш метрлік 60 бөренелерді жарты метрден кесу керек болса, оларды неше рет кесу керек? Шешімі: 3/0,5=6 бөлік 6 бөлікті алу үшін бөренені 5 рет кесеміз. 60*5=300 рет Үйдің 1-ші қабатынан 3-ші қабатына көтерілу үшін 52 баспалдақты басып өту керек. Осы үйдің 1-ші қабатынан 6- шы қабатына көтерілі үшін қанша баспалдақты басып өту керек? Шешімі: 52:2=26 26+26+26+52=130 б Бір жылда ең көп дегенде неше жексенбі болуы Жауабы: 53 Әкесі 27 жаста болғанда баласы 3 жаста болды. Ал казір баласының жасы әкесінің жасынан 3 есе кем. әрқайсының жасы нешеде? Жауабы: 36;12 Дүкенде 5 әртүрлі кесе және 3 әртүрлі тәрелке бар. Неше әдіспен 1тәрелке мен 1 кесені сатып алуға болады? Шешімі: 5*3=15 Дүкенде 4 әртүрлі қасық, 5 әртүрлі кесе, 3 әртүрлі тәрелке бар. Неше әдіспен 1тәрелке, 1 қасық және 1 кесені сатып алуға болады? Шешімі: 4*5*3=60 11 63. 64. 65. Ғажайып елде А,Б,В деген 3 қала бар. А қаласынан Б қаласына 6 жол, ал Б қаласынан В қаласына 4 жол апарады. Неше тәсілмен А қаласынан В қаласына жетуге болады? Шешімі: 6*4=24 Тиынды 3 рет лақтырады. Оның тізбектелген әртүрлі цифр және елтаңба жағы қанша рет түседі? Жауабы: 23 1 кг, 2 кг, 3 кг, ....., 53 кг, 54 кг гиртастарын салмақтары бірдей болатын үш үйіндіге бөл. Шешімі: Гаусс әдісі: 1+2+3+...+52+53+54=27*55=1485 1485/3=495 66. 1 кг, 2 кг, 3 кг, ....., 53 кг, 54 кг, 55 кг гиртастарын 67. 68. 69. 70. 71. 72. салмақтары бірдей болатын бес үйіндіге бөл. Шешімі: 27*56+28=1540 1540:5=308кг (5 үйінді) 555555 саны 3 пен 5-ке бөлінеді ме? Шешімі: бөлінеді, себебі: 1)5-ке аяқталады – 5-ке бөлінеді, 2)цифрларының қосындысы 3-ке бөлінеді – 3-ке бөлінеді Бір елде 20 қала бар. Оның әрқайсысы бір-бірімен ауебайланыста жұмыс жасайды. Бұл елде неше әуебайланыс бар? Шешімі: 19+18+17+....+3+2+1=190 Поштада 5 әртүрлі конверт және 4 әртүрлі марка сатылады. Неше тәсілмен 1 конверт пен 1 марка сатып алуға болады? Шешімі: 5*4=20 Егер кез келген хатты кез келген курьерге бере алатын болсақ, әртүрлі 6 хатты 3 курьер арқылы поштаға неше тәсілмен жіберуге болады? Шешімі: 3*3*3*3*3*3=729 Тақтада 7 зат есім, 5 етістік, 2 сын есім жазылып тұр. Сөйлем құрау үшін әр сөз табынан бір сөзден алу керек. Мұны неше тәслмен жүзеге асыруға болады? Шешімі: 7*5*2=70 10 оқушы олимпиадада 35 есеп шығарды. Олардың арасында тек бір есеп, тек екі есеп, тек үш есеп шығарған оқушылар бар. Солардың ішінде бес есеп шығарған оқушы бар екенін дәлелдеңіз. Шешімі: Дирихле принципі: Егер n клеткаға n+1 қоян отырғызсақ, бір клеткада кем дегенде 2 қоян бар болады. 1. 12 73. 74. қоян рөлі 2. клетка рөлі 3. отырғызу реті 4. жауабы 1+2+3=6 35-6=29 (есеп) 10-3=7 (оқушы) 1. есептер саны 2. оқушылар саны 3. шығарған есептер санына қарай 4. a=bc+r 29=7*4+1 5 жас мамандардың барлығына жалақыға 1500 тг берілді. Олар ақшаны бөліп, әрқайсы өзіне 320 тг тұратын кітап сатып алғысы келеді. Біреуінің сатып ала алмайтынын дәлелдеңіз. Шешімі: 1500/320=4 1. мамандар саны 2. кітаптар саны 3. кітаптардың санына қарай 4. 1500=320*4+220 Дөңгелек үстел басында 100 адам отыр. Ер адамдар әйел адамдардан артық. Дөңгелек бойымен бір-біріне қарама-қарсы отырған екі адамның ер адам екендігін дәлелдеңіз. Шешімі: 1. адам саны 2. 50 жұп 3. жұптары бойынша отырғызу 4. ер адам көп болғасын 1 клеткада 2 ер адам отырады. Отырған бес адамның ішінде таныс саны бірдей 2-ден кем емес адамдар бар екенін дәлелдеңіз. Шешімі: 1. адамдар саны 2. таныс саны (0, 1, 2, 3, 4) 3. бірдей таныс санына қарай 4. 2-ден кем емес танысы бар адамдар бар. Сыныптағы 43 оқушының дәптерлерінің түстері 6 түсті. Солардың ішінде бірдей түсті дәптерлері бар 8 оқушы табылатынын дәлелдеңіз. Шешімі: 1. оқушылар 2. түстер саны 3. түсіне қарай 4. 75. 76. 77. 78. 79. 43=7*6+1 7+1=8 13 Екі жас коллекционердің әрқайсында 20 маркадан және 10 значоктан бар. Бір маркаға бір марка, бір значокқа бір значок беруді олар шынайы айырбас деп атайды. Онда екі коллекционер бір-бірімен неше тәсілмен шынайы айырбас жасай алады? Шешімі: 20*20=400 10*10=100 400+100=500 Сөреде 5 кітап тұр. Жинақ – бір немес бірнеше кітаптардан тұра алатын болса, кітаптарды неше тәсілмен жинақтарға бөлуге болады? Шешімі:5+5*4+5*4*3+5*4*3*2+5*4*3*2*1=325 Неше тәсілмен 14 адамды жұпқа бөлуге болады? Шешімі: (1;13) бұл бір жұпты алған соң, 12 адам қалды. (1;11) екінші жұпты алған соң, 10 адам қалды. ......... 13*11*9*7*5*3*1=135 135 13 80. Қатар тұрған үш натурал сандардың көбе»тіндісі 6-ға бөлінетінін дәлелдеңіз. Шешімі: Бұл үш сан арасында 2-ге және 3-ке бөлінетін сан бар. Демек, үшеуінің көбейтіндісі 6-ға бөлінеді. Мысалы: 11, 12, 13 немесе 14, 15, 16 т.б. 15 бала 100 жаңғақ терді. Ішінде 2 баланың терген жаңғақтар санының тең екендігін дәлелдеңіз. 81. деп алайық. Шешімі: (Кері жору) Әрқайсының терген жаңғақ саны әртүрлі Онда 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14=105 Ал бізде жаңғақ саны – 100. Бұл есепке қайшы келеді. Демек, кем дегенде екі баоа бірдей жаңғақ тергені дәлелденді. Марал 96 парақты қалың дәптер сатып алып, оның әрбір бетін 1-ден 192-ге дейін рет-ретімен түгелдей нөмірлеп шықты. Марал қалың дәптердің арасынан 25 парақты жыртып алды және сол парақтар беттерінде жазылған 50 санды бір-біріне қосты. Осы сандардың қосындысы 1990-ға тең болуы мүмкін бе? Шешімі: Жоқ. 25 парақ – 50 бет – 50 сан Жұп – ж Тақ – т ж + т = т, т + ж = т жт жт жт .... жт тж тж тж .... тж Мұндай жұптар бізде 25. Ал 25 тақ сандарды қоссақ, тақ сан шығуы керек. Ал 1990 – жұп сан. 14 Ең алғашқы 36 жай сандардан маниялық квадрат 82. 83. құрастыруға бола ма? 84. Шешімі: Жоқ, оның арасында 2 саны бар. Егер квадрат құрсақ, 2 тұрған жолдың және бағандағы сандардың қосындысы тақ болады., ал қалған жолдар мен бағандардағы сандардың қосындысы жұп болады. Ж 2 Т Ж Ж Ж т ж Ж ж ж ж Шахмат тақтасын 1*2 доминосымен а1 және һ8 клеткалары ғана бос қалатындай етіп жабуға болады ма? Шешімі: Жоқ. қ – қара клетка, а – ақ клетка Егер а1 және һ8 клеткаларын алып тастасақ, онда екі қара клетканы алып тастаймыз. Ал домино шахмат тақтасында бір қара, бір ақ клетканы жабады. Егер екі қара клетканы алып тастасақ, қара клеткалар ақ клеткалардан аз болады. Сондықтан домино шахмат тақтасын жаба алмайды. қ 8 а 7 қ 6 а 5 қ 4 а 3 қ 2 қ а қ а қ а қ а 1 a b c d e f g h 14 85. 86. 87. Ауылда 100 адам тұрады. Әр күн сайын олар үш-үштен ауылды күзетуге шығады. Біраз уақыт өткен соң, олар бір- бірімен бір рет ғана күзетке шыққан болуы мүмкін бе? Шешімі: Жоқ. Бір адамды алсақ ол екі адаммен күзетке шығады. Онда қалғандарын жұптарға бөлейік: (1+1) – жұптар саны - 49. 1+ (1+1) + (1+1)+ (1+1)+ (1+1)+...+ (1+1)+ (1+1)+1=100 Бір адам 49жұппен күзетке кезек-кезек шығады, сонда 1 адам артық қалады. Ол адаммен күзетке шығу үшін үшінші бір адам керек. Оны 49 жұптың арасынан ғана ала аламыз. 49 жұптың арасынан бір адамды алсақ, онда ол күзетке екінші рет шығатын болады. 15 Дөңгелек бойына тоғыз сан жазылған: төрт рет 1 саны және бес рет 0 саны жазылды. Әр секунд сайын бұл сандарға мынадай операциялар қолданылады: -әрбір көрші тұрған сандар әртүрлі болса, олардың арасына 0 саны қойылады. -әрбір көрші тұрған сандар бірдей болса, арасына 1 саны жазылады. Сосын бұрынғы жазылған сандарды өшіріп тасталынады. Біраз уақыт өткен соң, дөңгелек бойындағы сандар бірдей болуы мүмкін бе? Шешімі: Жоқ. Себебі, бірдей сандарды алу үшін 1 мен 0 сандары кезектесуі керек. Ал бұл есеп шарты бойынша мүмкін емес. Қорапта 101 тиын бар. Оның ішінде 50 тиын жалған және олар шынай тиындардан салмағы бойынша 1 граммға ғана айырмашылығы бар (артық немесе кем екені белгісіз). Алмат бір тиынды алып, табақты таразыны бір рет ғана қолданып, оның жалған немесе шынайы тиын екенін білгісі келеді? Алмат тиынның қандай екенін біле ала ма? Шешімі: Ия. Алмат ол тиынды 101 тиын арасынан алып тастаса, 100 тиын қалады. 100 тиынды 50-ден екіге бөліп, табақты таразының екі жағына салғанда олардың салмақтарының айрмашылығы: - жұп санға айырмашылық болса, онда Алматтың алып тастаған тиыны - шынайы, - тақ санға айырмашылық болса, онда Алматтың алып тастаған тиыны – жалған. Үш шегіртке түзу сызық бойында чехарда ойынын ойнап жатыр. Ойын шарты бойынша біреуі екіншісінің үстінен секіреді, бірақ қатарынан екеуінің үстінен секіре алмайды. 1991 рет секірістен кейін олар бастапқы орындарына орала ала ма? 88. 15 Шешімі: Жоқ. Үш шеіртке – А, В, С. АВС АСВ ВСА ВАС САВ СВА Секіру – ауысу 1) жалпы саны – тақ 2) әр түрінің саны тең емес 3) ауысу саны – жұп Демек, секіру саны жұп сан болу керек. Ал 1991 – тақ сан. Есептеңіз. 2010 + 2010 + 2010 + 2010 + 2010 2010 + 2010 + 2010 Футбол командасында 11 адам. Осы ойыншылардың ішінен бір капитан және оның орынбасарын қанша тәсілмен таңдап алуға болады? Капитан ретінде 11 ойыншы бола алады. Капитанды таңдағасын қалған 10 ойыншы оның орынбасары бола алады. 11*10=110 Жауабы: 1,2,3 цифрлары бір ретғана кездесетін неше үш таңбалы сан бар? Шешімі:3!=1*2*3=6 Қанша тәсілмен бір қатарға қызыл, көк, жасыл, сары шарларды орналастыруға болады? Шешімі: 4!= 1*2*3*4=24 Автобус А қаласынан В қаласына 40км/сағ жылдамдықпен барды. В қаласынан А қаласына 60 км/сағ жылдамдықпен барды. Автобустың орташа жылдамдығы қанша? Жауабы.: 48 км/сағ 3728954106 санының цифрларынан 3 цифрді өшіріп және қалған цифрлардың орнын сақтап, ең кіші санды табыңыз. Шешімі: 3,7,9 деген цифрларды алып тастасақ. 2854106 шығады. 89. 90. 91. 92. 93. 94. 95. 3 кәмпит және 2 шоколад 29 теңге тұрады. 4 кәмпит және 1 шоколад 27 теңге тұрады. 1 кәмпит қанша теңге тұрады? 1 шоколад қанша теңге тұрады? Жауабы: 1 кәмпит-5тг, 1 шоколад-7тг Глобуста 17 параллель және 24 мередиана сызылған. Глобустың беті неше бөлікке бөлінген? Шешімі: 18*24=432 5-ке бөлгенде қалдығы 4, 7-ге бөлгенде қалдығы 6, 9-ға бөлгенде қалдығы 8-ге тең болатын ең кіші натурал санды тап. 96. 97. 16 98. Шешімі: Егер бұл сан 1-ге үлкен болса, ол 5,7,9-ға да бөлінетін болады. 5,7,9- дың ең кіші ортақ еселігі:315. 1-ді алып тастасақ 314 шығады.. Би мектебінде 60 ер бала мен 20 қыз бала бар. Әр апта сайын мектепке 3 қыз бала келіп,2 ер бала мектепті тастап кетеді. Ер балалар мен қыз балалардың сандары теңескенде мектепте барлығы қанша оқушы болады? Жауабы: 88 бала Цифрларының көбейтіндісі 132-ге тең болатын натурал сан бар ма? Жауабыңды дәлелде. Шешімі: Ондай сан жоқ. 132-нің бөлгіштерінің арасында 11 деген сан бар. 17 Велосипедші тауға 12 км/сағ жылдамдықпен шықты, ал таудан сол жолмен 20 км/сағ жылдамдықпен түсті. Таудан түскен кезде тауға шыққанға қарағанда 16 минут аз жұмсады. Тауға шығатын жолдың ұзындығы неге тең? 99. 100. Жауабы: 8 км 17 +7 (702) 976-70-68, Серікбайға xабарласасыз заказ бойынша Бұл кітаппен қалай жұмыс жасаймыз? «Керек – дерек» – Жаңа тақырыпқа қысқаша түсініктеме. «Миға шабуыл» – Тақырыпқа сәйкес ойлау жылдамдығы мен талдау жасау қабілетін дамытуға арналған әртүрлі жаттығулар. «Қиын есепке оңай жол» - Жаңа тақырыпқа арналған әртүрлі деңгейдегі есептерге тиімді әрі нақты тәсілдермен талдау жасай отырып, есептің шешу барысы толық түсіндірілген. Баланың дербес оқып-үйренуіне арналған. «Миға жаттығу» - Осы тақырыпқа арналған есептер жинағы. Есептердің талдау жасау жолдары мен толық шешу барысы ата-аналар мен мұғалімдерге арналған арнайы кітапта. Бұл кітаптар туралы 18 19 БІЗДІҢ КІТАПТАР 20 Математикалық олимпиада және логика кітабынан 1 сабақ үлгі №5 тақырып Еселік Керек - дерек Бөліктердің қосындысы Еселікке байланысты есептерді көп жағдайда теңдеу құру арқылы шығару тиімдірек. Бірақ бір айнымалысы бар күрделі теңдеулерді шығарып көрмеген бастауыш сыныптың балапандары үшін, өте қиын тақырыптардың бірі болуы мүмкін. Сол қиындықтан шығудың тиімді тәсілдерінің бірі – кесінді көмегі арқылы, 21 арифметикалық тәсілмен есептеу. Еселікке байланысты есептерді шығарудың негізгі алгаритмы: (1) Есеп шартын мұқият оқы, ең кіші санды тауып, сол (2) Есеп шарты бойынша екі санның арасындағы (3) санды бір бөлік ретінде қарастырамыз. байланысты кесінді арқылы өрнектейміз. Сызба бойынша қанша бөлік бар және қанша артық сан бар екенін қарастырып, бір бөліктің сәйкес мәнін табамыз. Табылған бөліктің мәні бойынша, белгісіз екі санды табамыз. (4) Екі сан арасындағы байланыс: Екісанныңқосындысы÷(үлкенбөлік+кішібөлік)=бірбөлік(кішісан) бірбөлік×үлкенбөлік=үлкенсан Екісанныңқоындысы−кішісан=үлкенсан Миға шабуыл Төмендегі сөйлемдердің ақиқатына «» белгісін, жалғанына «» белгісін қойыңыз. (1) (2) (3) Егер А саны Б санының 3 есесіндей болса, онда Б саны бір бөлігін, А саны 3 бөлігін құрайды. Егер А саны Б санының 3 есесіндей болса, онда Б саны бір бөлігін, А және Б санының қосындысы 4 бөлікке бөлінеді. Егер А саны Б санының 4 есесіндей болса, онда Б саны бір бөлігін, А және Б санының қосындысы 5 бөлікке бөлінеді. Қиын есепке оңай жол !!! 22 Мысал 1 Асан мен Болатта барлығы 100 тг бар. Егер Болаттың ақшасы Асанның ақшасынан 4 есе артық болса, онда екеуінің әрқайсысында қанша теңгеден болған? Шешуі: Еселікке байланысты есептерді шығаруда бөліктерді кесінді арқылы өрнектеу нақты әрі тиімді. Ақшасы аз адамды бір бөлік, ал ақшасы көп адамды қанша есе артық болса, сонша бөлік ретінде қарастырамыз. Яғни, төмендегі суреттегідей Асанның ақшасын бір бөлік кесінді арқылы, Болаттың ақшасын 4 бөлік кесінді арқылы өрнектейміз, барығы 4+1=5 бөлік 100 тг құрайтындықтан, 100÷(4+1)=20тг(Асан),20тг×4=80тг(Болат) болады. Асан Бола т Барлығы Жауабы: Асанда 20 тг, ал Болатта 80тг бар. Мысал 2 Екі дүкенде барлығы 160 кг алма бар. Бірінші дүкенде екінші дүкенге қарағанда 2 есе және 10 кг артық. Екі дүкенде қанша килограммнан алма болған? Шешуі: ІІ дүкендегі алманы бір бөлік десек, онда І дүкенде екі бөлік және 10 кг көп. Егер барлығынан 10 кг алып тастасақ, І дүкенде ІІ дүкенге қарағанда 2 есе артық болады. Яғни, 2+1 =3 бөлік 160 кг – 10 кг = 150 кг, б 150кг÷(2+1)=50кг(ІІдүкен),50кг×2+10кг=110кг(Ідүкен) ІІ І Жауабы: І дүкенде 110 кг, ал ІІ дүкенде 50 кг алма бар. 10 кг артық Барлығы 160 кг Мысал 3 Қоян мен тауықтың жалпы саны 180. Егер қоян тауықтардың 3 есесінен 20-ға кем болса, онда қанша тауық бар? қанша қоян бар? Қоян Тауы қ 20 кем 23 Барлығы 180 Шешуі: Егер тауық санына 20-ны қоссақ, онда қоян санынан дәл 3 есе артық болады. Яғни, қоян мен тауықтың жалпы саны 180+20=200 , ал бөліктерінің саны 1+3=4 бөлік. (1) 4 бөлікке тең қоян мен тауық саны: 180+20=200 (2) Тауық пен қоян бөліктерінің саны: 1+3=4 (3) Қоянның саны: 200÷(3+1)=50 (4) Тауықтың саны: 50×3−20=130 Жауабы: 50 қоян және 130 тауық бар. Мысал 4 Жеміс бағында Алма, Өрік және Шабдалы ағаштарынан барлығы 490 жеміс ағашы бар. Өрік Алма ағашының 2 есесінен 40 ағашқа артық, ал Шабдалы Алма ағашының 2 есесінен 50 ағашқа кем. Жеміс бағында Алма, Өрік және Шабдалы ағаштарынан қанша түптен болған? Алма Өрік Шабдал ы 40 артық 50 кем Барлығы 490 Шешуі: Алма ағашын бір бөлік деп аламыз, егер өрік санынан 40-ты алып тастасақ, тура екі бөлік (алмадан 2 есе артық) болады, ал шабдалы санына 50-ды қоссақ, тура екі бөлік (алмадан 2 есе артық) болады. Яғни, барлық ағаш саны 490−40+50=500 , бөліктерінің саны 1+2+2=5бөлік. (1) Барлық ағаштардың бөлік саны: 1+2+2=5 (2) Барлық ағаш саны: 490−40+50=500 (3) Алма ағашының саны: 500÷(1+2+2)=100 (4) Өрік ағашының саны: 100×2+40=240 (5) Шабдалы ағашының саны: 100×2−50=150 Жауабы: Жеміс бағында 100 алма, 240 өрік және 150 шабдалы ағашы бар. 24 Мысал 5 Қалалық олимпиада қорытындысын айтқан кезде бір мұғалім былай деді: «олимпиадаға 5 сыныптан 4 сыныпқа қарағанда үш есе көп оқушы қатысты». Екінші мұғалім айтты: «5 сынып оқушылары 4 сынып оқушыларына қарағанда 180 оқушыға артық болды». Олимпиадаға 4 сыныптан неше оқушы қатысқан? 5 сынып 4 сынып 180 артық Шешуі: 4 сынып оқушыларын бір бөлік, ал 5 сынып оқушыларын 3 бөлік ретінде қарастырамыз. 5 сыныпта 4 сыныппен салыстырғанда 180 оқушы және осыған сәйкес 3−1=2бөлік артық. (1) Бөліктерінің айырмасы: 3−1=2бөлік (2) Екі оқушы сыныптағы айырмасы: 5сынып−4сынып=180 (3) 4 сыныптағы оқушы саны: 180÷(3−1)=90 (4) 5 сыныптағы оқушы саны: 90×3=270 Жауабы: 4 сыныпта 90 оқушы бар. Мысал 6 Асанда 500 теңге, ал Маратта 300 теңге бар. Марат Асанға қанша теңге бергеннен кейін, Асанның ақшасы Мараттың ақшасынан 3 есе артық болады? Асанда 500 тг Маратта 300 тг ? тг (Мараттың берген ақшасы) 3 бөлік 1 бөлік 25 Шешуі: Екеуінде барлығы 500тг+300тг=800тг бар. Марат біраз ақшасын Асанға бергеннен кейін, Асанда тура 3 есе артық болады. Яғни, Асанда 3 бөлік, Маратта 1 бөлік барлығы 4 бөлік болады. (1) Асан мен Мараттағы жалпы ақша: 500тг+300тг=800тг . (2) Жалпы бөлік саны: 1+3=4бөлік . (3) Маратта қалған ақша: 800тг÷(3+1)=200тг. (4) Мараттың Асанға берген ақшасы: 300тг–200тг=100тг. Миға жаттығу 1) Тік төртбұрыштың периметрі 48м. Егер оның ұзындығы енінен 3 есе артық болса, онда тік төртбұрыштың ауданын тап. 2) Бірінші балада 50тг, ал екінші балада 70 тг бар. Екінші балада 3 есе артық болу үшін, бірінші бала қанша теңгесін екінші балаға беру қажет? 3) Асан мен інісінде барлығы 100 тг бар. Егер Асанда інісіне қарағанда 2 есесінен 20 теңге аз болса, Асан мен інісінде қанша теңгеден болған? 4)Тіктөртбұрыштың бір қабырғасы екіншісінен 4 есе кіші. Егер тіктөртбұрыштың периметрі 70 м болса, онда тіктөртбұрыштың ауданын тап. 5)А және Б сыныпта барлығы 372 оқушы бар. А сыныптағы оқушылар саны Б сыныбының 2 есесінен 36-ға артық. Әр сыныпта қанша оқушыдан болған? 6)А және Б сыныпта барлығы 380 оқушы бар. А сыныптағы оқушылар саны Б сыныбының 2 есесінен 80-ке артық. Әр сыныпта қанша оқушыдан болған? 7)Екі сынып бірігіп 4 сағатта 5200 алма жинады. Әр сағатта бірінші сынып екінші сыныпқа қарағанда 3 есесінен 100 алма артық жинады. Бірінші және екінші сынып әр сағатта қанша алмадан жинаған? 8)Ақ қоян мен қара қоянда барлығы 160 сәбіз бар. Ақ қоян 20 сәбізін жеді, ал қара қоян 10 сәбіз әкеліп қосқаннан кейін, ақ қоянда қара қояннан 5 есе артық сәбіз болды. Бастапқыда әр қайсысында қанша сәбізден болған? 26 9) №73 мектеп лицейінде 360 оқушы математика, ағылшын тілі және шахматтан түрлі деңгейдегі жарыстардан жүлделі орындар алған. Шахматтан ағылшын тіліне қарағанда 2 есе артық, ал математикадан ағылшын тіліне қарағанда 3 есе артық бала орын алған. Үш пәннің әр қайсысынан қанша бала орын алған? 10) Жеміс саябағында Алма, Шабдалы және Өрік ағаштарынан барлығы 216 ағаш отырғызылған. Шабдалы алма ағашынан 3 есе артық, ал өрік ағашы алма ағашынан 4 есе артық. Жеміс саябағында әрбір жеміс ағашынан қанша түптен болған? 27 Кітаптар туралы ақпарат 28