Олимпиада по математике для 9 класса

Олимпиада по математике для  9  класса. Задание 1.  Сколькими нулями оканчивается число, полученное при перемножении всех  чисел от 1 до 100? Задание   2. Чему   равен   острый   угол   между   биссектрисами   острых   углов прямоугольного треугольника? Задание 3. Упростите выражение     2  à 22 4 à  2 à  : 8 à 12 à   2  à  à    2 2 . Задание 4. Можно ли представить дробь 2/7 в виде суммы двух дробей, числители которых равны 1, а знаменатели — различные целые числа? Задание 5. Сократите дробь  2 2 3 a 3 a   4 2 ab ab   2 2 b b  и вычислите её значение при  a b 9 11 . Критерии оценивания работы Баллы Правильность (ошибочность) решения. 7 6 5 Полное верное решение. Верное решение, но имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение. Решение   в   целом   верное.   Однако   решение   содержит   ошибки, либо пропущены случаи, не влияющие на логику рассуждений.  3­4 Верно рассмотрен один из существенных случаев.  2 1 0 0 Доказаны   вспомогательные   утверждения,   помогающие   в решении задачи. Рассмотрены   отдельные   случаи   при   отсутствии   правильного решения. Решение неверное, продвижения отсутствуют. Решение отсутствует. Ответы для 9 класса      1)24 2)45о 3)12 4)Можно, например, 2/7=1/4+1/28. 5)­10 Олимпиада по математике для  10 класса. Задание1. Решите уравнение (x­2)(x­3)(x+4)(x+5) = 1320.  Задание 2. Лист бумаги разрезали на 5 частей, некоторые из этих частей  разрезали на 5 частей, и т. д. Может ли за некоторое число разрезаний  получиться 2006 листка бумаги?  Задание 3. Пусть:       Вычислить:   ba  2 a b  2 3 . 2 a  2  b 2  5 ab . 2 3 b 2 2 a Задание 4. Между какими соседними целыми числами заключено значение  выражения  1  13  5 1   3 7 1   ... 5 21 1  19 Задание 5.  Доказать:     cba  3 2    ab  bc 3  ac ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Каждое задание оценивается в 2 балла, если приведено подробное, логически  выдержанное решение. В остальных случаях баллы снижаются. Если указан  только ответ, то ставится 0,5 балла. Ответы для 10класса 1)­8;6 2) Замечаем, что при каждом разрезании из одного листка получаем пять, т. е.  число листков увеличивается на 4. Следовательно, из исходного листа может  получиться число листков вида 1 + 4n, где n € N, т. е. это число при делении  на 4 дает остаток 1. Но 2006 = 4•501 + 2. Следовательно, 2006 листков  получиться не может. 3)  47 66 4) Между 1 и 2 Олимпиада по математике для  11 класса. Задание1. Решите уравнение (x­2)(x­3)(x+4)(x+5) = 1320. Задание2. Решить уравнение:  23  х  5  5 х Задание3. Решить   уравнение: ( tgx + 1)  = 0       Задание4. Докажите, что произведение четырех последовательных целых  чисел, сложенное с единицей, есть точный квадрат. Задание 5. Доказать:     cba  3 2    ab  bc 3  ac ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Каждое задание оценивается в 2 балла, если приведено подробное, логически  выдержанное решение. В остальных случаях баллы снижаются. Если указан  только ответ, то ставится 0,5 балла. Ответы для 11 класса 1)­8;6. 2)  77  10 57 3) х =   + , n 4) Пусть это 4 последовательных числа: n, n + 1, n + 2, n  + 3. Тогда n (n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = ( 2   + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1 = (n2  + 3n)2 + 2(n2  + 3n) + 1 = (n2 +  3n + 1)2. 5)