Элективный курс «Олимпиадные математические задачи»                                9 класс

Пояснительная записка 

Программа составлена на основе анализа содержания школьных олимпиад различных уровней, а также содержания рабочей программы по математике в средней школе и учѐта индивидуальных особенностей учащихся.

В связи со спецификой, элективный курс проводится в лекционносеминарской форме.

Основными целями проведения данного элективного курса являются: расширение математических знаний учащихся, создание мотивации к углублѐнному изучению математики, знакомство их со всевозможными нестандартными приѐмами решения задач повышенного уровня сложности и задачами, нестандартно сформулированными, знакомство с дополнительной математической литературой, знакомство с понятиями, не входящими в обязательный школьный курс математики.

Программа элективного курса предусматривает формирование у учащихся устойчивого интереса к математике, развитию логического и пространственного мышления, творческих навыков. В сочетании с активными методами обучения программа предусматривает выработку навыков  самостоятельного творческого  решения поставленных проблем, способствует развитию индивидуальных способностей учащихся.

Значительное место в данном элективном курсе уделяется самостоятельной математической и творческой деятельности учащихся: решению задач и примеров, проработке теоретического материала, чтению дополнительной литературы, знакомству с жизнью и научной деятельностью выдающихся математиков и т.д.

Программа является составной частью концепции эффективного обучения математике и предполагает ежегодную корректировку.

Принципы построения элективного курса

Программа элективного курса построена в соответствии с учѐтом специфических особенностей рабочей программы по математике в 9 классе. 

Основными принципами        построения          программы          являются: систематизация, обобщение, расширение и углубление знаний и умений, приобретение новых знаний через различные формы организации учебной деятельности, интеллектуальное развитие учащихся через приобщение к различным формам и методам творческой и исследовательской деятельности, реализация межпредметных связей. Основным приоритетом является метод познания.

Основными видами занятий являются лекции-семинары.

Основная цель лекции: формирование теоретических знаний (совместная работа преподавателя и учащихся по разрешению поставленной проблемы, структурное представление рассматриваемой темы, работа по заданным алгоритмам и составлению новых). 

Цель практических занятий – освоение методов решения задач с помощью приобретѐнных теоретических знаний и нахождения оптимальных способов достижения конечной цели, разработка алгоритма решения отдельных нестандартных задач.

Цель решения нестандартных задач – интеллектуальное развитие учащихся, раскрытие индивидуальных особенностей учащихся, формирование личности будущего специалиста.

Освоение содержания данного элективного курса осуществляется в процессе математической деятельности учащихся, которая предполагает использование приѐмов и методов мышления: индукции и дедукции, обобщения и конкретизации, классификации и систематизации, абстрагирования и аналогии.

Требования к математической подготовке учащихся

Углублѐнное изучение математики предусматривает, прежде всего, более высокий уровень владения материалом, что отражено в изложенных ниже общих требованиях.

Учащиеся должны уметь: 

•      точно и грамотно формулировать изученные теоретические положения и излагать собственные рассуждения при решении задач и доказательстве теорем;

•      правильно пользоваться математической терминологией и символикой; 

•      правильно проводить логические рассуждения, формулировать утверждение, обратное данному, его контрпозиции и отрицания, приводить примеры и контрпримеры; 

•      применять теоретические сведения для обоснования рассуждений в ходе решения задач; 

•      применять изученные алгоритмы для решения соответствующих  задач;

•      применять рациональные     приѐмы       вычислений         и       тождественных преобразований; 

•      использовать наиболее употребительные эвристические приѐмы.

Знать/понимать:

•      существо    понятия      математического доказательства;   примеры доказательств;

•      существо понятия алгоритма; примеры алгоритмов;

•      как используются математические формулы, уравнения и неравенства; примеры их применения для решения математических и практических

задач;

•      как математически определѐнные функции могут описывать реальные зависимости; приводить примеры такого описания;

•      как потребности практики привели математическую науку к необходимости расширения понятия числа;

•      вероятностный характер многих закономерностей окружающего мира; примеры статистических закономерностей и выводов;

•      каким образом геометрия возникла из практических задач землемерия; примеры геометрических объектов и утверждений о них, важных для практики;

•      смысл идеализации, позволяющей решать задачи реальной действительности математическими методами, примеры ошибок, возникающих при идеализации.

Содержание

1. Функциональные уравнения (3 часа)

Понятие функционального уравнения. Примеры. Решение функциональных уравнений с использованием свойств функций, подстановок, а также разделения переменных.

2. Элементы комбинаторики (4 часа)

Правила суммы и произведения. Основные понятия комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания. Вывод соответствующих формул. Решение типовых и олимпиадных комбинаторных задач.

3. Уравнения в целых числах (8 часов)

Основные факты, необходимые при решении уравнений в целых числах: свойства факториалов, свойства точных квадратов, формулы сокращѐнного умножения, малая теорема Ферма, Великая теорема Ферма. Диофантовы уравнения первой степени с двумя неизвестными: определение, условие существования решений, формулы нахождения решений, три способа нахождения частного решения. Задача Пифагора: постановка, геометрическая интерпретация и нахождение общего решения. Отработка навыков решения диофантовых уравнений тремя способами. Решение уравнений в целых числах:

применение всевозможных изученных методов и их систематизация.

4. Выигрышные стратегии в играх (4 часа)

Решение олимпиадных задач, в которых необходимо определить выигрышную стратегию одного или двух игроков.  

5. Планиметрические задачи (8 часов)

Решение олимпиадных планиметрических задач. Применение различных нестандартных приѐмов: удвоение медианы треугольника, продолжение сторон трапеции и т.д. Дополнительные формулы для площадей фигур. Теорема Чевы-

Менелая и еѐ использование.                   

6. Метод математической индукции (4 часа)

Множество натуральных чисел. Принцип и метод математической индукции. Отработка навыков применения метода математической индукции при доказательстве различных утверждений.

7. Возвратные уравнения (4 часа)

Понятие возвратных уравнений. Примеры. Решение возвратных уравнений третьей и четвѐртой степени.

Календарно-тематическое планирование

Итого: 35 часов Литература

1.   Алфутова Н.Б. Устинов А.В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ –М.: МЦНМО, 2009 – 336 с.

2.   Бухштаб А.А. Теория чисел –М.: Просвещение, 1966 – 384 с.

3.   Виноградов И.М. Основы теории чисел –СПб.: Лань, 2004 – 176 с.

4.   Воробьёв Н.Н. Признаки делимости –М.: Наука, 1974 – 80 с., илл.

5.   Гельфонд А.О. Решение уравнений в целых числах –М.: Наука, 1983 – 64 с., илл.

6.   Калужнин Л.А. Основная теорема арифметики –М.: Наука, 1969 – 32 с., илл.

7.   Оре О. Приглашение в теорию чисел –М.: Наука. Главная редакция физикоматематической литературы, 1980 – 128 с., илл.