Олимпиадные задания

Задачи олимпиады по математике. Муниципальный этап 2010–2011 уч. г. 7 класс 7.1.  Две   машины   едут   по   трассе   скоростью   80 км/ч   и   с   интервалом   10 м.   У   знака ограничения скорости машины мгновенно снижают скорость до 60 км/ч. С каким интервалом они будут двигаться после знака ограничения? 7.3. 7.2. Из   прямоугольника   размером   811   клеток   требуется   по   линиям   сетки   вырезать несколько квадратов так, чтобы не было одинаковых квадратов. Какое наибольшее число квадратов можно вырезать? В   шестизначном   числе   зачеркнули   одну   цифру   и   получили   пятизначное.   Из исходного числа вычли это пятизначное число и получили 654321. Найдите исходное число. а) Имеется 9 палочек длины 1, 2, …, 9. Можно ли из них сложить равносторонний треугольник?   (Палочки   нельзя   ломать,   их   можно   прикладывать   концами   друг   к другу; требуется использовать все палочки.) б) Аналогичная задача, если имеется 10 палочек длины 1, 2, …, 10. 7.4. 7.5. Даны натуральные числа a и  b. Обязательно ли они оканчиваются на одну и ту же  оканчиваются на одну и ту же ba 2 ab 2  и  цифру, если известно, что: а) числа  цифру; б) числа  ba 3 ab 3  и   оканчиваются на одну и ту же цифру? Задачи олимпиады по математике. Муниципальный этап 2010–2011 уч. г. 8 класс 8.1.  Две   машины   едут   по   трассе   скоростью   80 км/ч   и   с   интервалом   10 м.   У   знака ограничения скорости машины мгновенно снижают скорость до 60 км/ч. С каким интервалом они будут двигаться после знака ограничения? В   шестизначном   числе   зачеркнули   одну   цифру   и   получили   пятизначное.   Из исходного числа вычли это пятизначное число и получили 654321. Найдите исходное число. 8.2. 8.3. Дан треугольник  ABC.  Точка   M  лежит на стороне  BC. Известно, что  AB  =  BM  и  AM = MC, угол B равен 100. Найдите остальные углы треугольника ABC. 8.4. Какое наибольшее число ладей можно разместить на шахматной доске так, чтобы для каждой ладьи либо её горизонталь, либо её вертикаль (либо и та, и другая) были свободны от других ладей? а)  Даны натуральные числа  a  и  b. Обязательно ли они имеют одинаковые остатки при делении на 10, если известно, что числа   имеют одинаковые остатки при делении на 10 ? ba 3 ab 3   и    8.5.             б) Даны натуральные числа a, b и с. Известно, что у чисел 2a + b, 2b + c и 2c + a остатки при делении на 10 одинаковые. Докажите, что у чисел a, b и с остатки при делении на 10 тоже одинаковые. Задачи олимпиады по математике. Муниципальный этап 2010–2011 уч. г. 9 класс 9.1.  Число  a  является   корнем   уравнения     2 x  x  100  0 .   Найдите   значение a 4  201 a . 9.2. Дан треугольник  ABC  , точка  M  лежит на стороне  BC. Известно, что  AB  =  BM  и   AM = MC, угол B равен 100. Найдите остальные углы треугольника ABC. 9.3. Имеется   6   палочек   длины   11,   12,   13,   14,   15,   16.  Можно   ли   из   них   сложить равнобедренный   тупоугольный   треугольник?   (Палочки   нельзя   ломать,   их   можно прикладывать концами друг к другу; требуется использовать все палочки.) 9.4. Какое наибольшее число ладей можно разместить на шахматной доске так, чтобы для каждой ладьи либо её горизонталь, либо её вертикаль (либо и та, и другая) были свободны от других ладей? 9.5. Квадрат простого числа р увеличили на 160 и получили квадрат натурального числа. Найдите р. Задачи олимпиады по математике. Муниципальный этап 2010–2011 уч. г. 10 класс 10.1. Число  a  является   корнем   уравнения     2 x  x  100  0 .   Найдите   значение a 4  201 a . 10.2. Дан треугольник АВС. На сторонах АВ, ВС и АС взяты точки С 1 , А 1  и В 1   соответственно, так что  ли все три точки А 1 , В1, С1  являются серединами сторон, если известно, что  серединами сторон являются по меньшей мере: а) две из них?  б) одна из них?  C A B 1 1 1 A B C 1 1 1 , A   Ð Обязательно  . B Ð Ð B C A 1 1 1 Ð   C , Ð Ð 10.3. Можно   ли   из   25   натуральных   чисел   1,   2,   …,   25     выбрать   9   различных   чисел   и расположить их по кругу так, чтобы сумма квадратов любых трех подряд идущих чисел делилась на 10 ? 10.4. Квадрат простого числа р увеличили на 160 и получили квадрат натурального числа. Найдите р. 10.5. У   квадратного   трехчлена   .2   известна   сумма   коэффициентов   Чему равна сумма коэффициентов  а) многочлена 4­й степени (P(х))2 cba (после возведения в квадрат и приведения подобных членов)?  б) многочлена 20­й степени (P(х))10? xP )(  2 ax bx   c Задачи олимпиады по математике. Муниципальный этап 2010–2011 уч. г. 11 класс 11.2. Решите уравнение  11.1. Найдите  число корней уравнения   x 1 x 11.3. Дан прямоугольный параллелепипед  cos( 2 x x ) пространстве. Докажите, что MA 2   1  x a  в зависимости от значения  а . . ABCDA DCB 111 1   2 2 MC MC 1  2 MA 1  и произвольная точка М в .2 MB MD 1 2 MB 1 MD    2 2 11.4. У   квадратного   трехчлена   .2   известна   сумма   коэффициентов   Чему равна сумма коэффициентов  а) многочлена 4­й степени (P(х))2 cba (после возведения в квадрат и приведения подобных членов)?  б) многочлена 20­й степени (P(х))10? xP )(  2 ax  bx  c 11.5. Из 25 натуральных чисел 1, 2, …, 25 требуется выбрать несколько различных чисел и расположить их по кругу так, чтобы сумма квадратов любых трех подряд идущих чисел делилась на 10. Можно ли выбрать а) 8 чисел?; б) 9 чисел?