Определенный интеграл и его геометрический смысл

Одним из самых распространенных умений для реальной жизни является
нахождение площади плоских фигур.

Вспомним площади некоторых фигур (щелчком мыши)

Фигуры бывают разные. Их можно разбить на части.
Хорошо когда у фигуры стороны- прямые линии.

А как найти площадь такой фигуры?

Особенность этой фигуры в том, что
Одна из её сторон кривая линия.

Но две стороны
параллельные друг другу

Такие фигуры называются
криволинейными трапециями.

Задача: Найти площадь плоской фигуры

Это легко было бы сделать, если
эта фигура имела ровные стороны.

Разобьем фигуру на части,
которые представляют собой
прямоугольники одинаковой
ширины Δх

Площади этих прямоугольников
можно найти и сложить.
Тогда получим число почти как
площадь фигуры.
Но сверху есть зазоры, которые
имеют тоже площадь.

Чем меньше эти зазоры, тем точнее получим значение площади. А это возможно
Только если прямоугольников будет как можно больше, т.е.Δх→0

Найдем сумму площадей
прямоугольников:
𝑆 пр 𝑆𝑆 𝑆 пр пр 𝑆 пр =f 𝑎 𝑎𝑎 𝑎 ∙∆𝑥𝑥+𝑓𝑓 𝑥 1 𝑥 1 𝑥𝑥 𝑥 1 1 𝑥 1 𝑥 1 ∙∆𝑥𝑥+…+𝑓𝑓 𝑥 𝑘 𝑥 𝑘 𝑥𝑥 𝑥 𝑘 𝑘𝑘 𝑥 𝑘 𝑥 𝑘 ∙∆𝑥𝑥+…+𝑓𝑓 𝑏 𝑏𝑏 𝑏 ∙∆𝑥𝑥= 𝑥=𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑘 ∆𝑥 𝑥𝑥=𝑎𝑎 𝑥=𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑘 ∆𝑥 𝑏𝑏 𝑥=𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑘 ∆𝑥 𝑓𝑓 𝑥 𝑘 𝑥 𝑘 𝑥𝑥 𝑥 𝑘 𝑘𝑘 𝑥 𝑘 𝑥 𝑘 ∆𝑥𝑥 𝑥=𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑘 ∆𝑥

И эта сумма стремится к значению площади фигуры, хочет её достигнуть,
А значит площадь фигуры является пределом:
𝑆 ф 𝑆𝑆 𝑆 ф ф 𝑆 ф = lim ∆𝑥→0 𝑆 пр lim ∆𝑥→0 lim lim ∆𝑥→0 ∆𝑥𝑥→0 lim ∆𝑥→0 lim ∆𝑥→0 𝑆 пр 𝑆 пр 𝑆𝑆 𝑆 пр пр 𝑆 пр lim ∆𝑥→0 𝑆 пр , 𝑺𝑺 пр→ 𝑺 ф 𝑺𝑺 𝑺 ф ф 𝑺 ф (1)

С другой стороны сумма площадей прямоугольников стремится к числу,
представляющее собой совокупность площадей 𝑓𝑓 𝑥 𝑘 𝑥 𝑘 𝑥𝑥 𝑥 𝑘 𝑘𝑘 𝑥 𝑘 𝑥 𝑘 ∆𝑥𝑥 при изменении
аргумента от a до b, причем ∆𝑥𝑥=dx.
А совокупность ранее была названа как ИНТЕГРАЛ, т.е. 𝑺𝑺 пр→ 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒂𝒂 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒃𝒃 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒇𝒇 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 dx (2)

Из (1) и (2) следует, что если 𝑺𝑺 пр стремится к двум величинам, значит
они между собой равны : 𝑺 ф 𝑺𝑺 𝑺 ф ф 𝑺 ф = 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒂𝒂 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒃𝒃 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒇𝒇 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 dx

Выражение 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒂𝒂 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒃𝒃 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒇𝒇 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 dx называют определенный интеграл, так как
точны указаны пределы изменения аргумента.

Вывод: Площадь криволинейной трапеции равна определенному интегралу:
𝑺 кр.тр. 𝑺𝑺 𝑺 кр.тр. кр.тр. 𝑺 кр.тр. = 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒂𝒂 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒃𝒃 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒇𝒇 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 dx

Так как с помощью интегралов находят первообразные, то и определенный
интеграл так же будет равен первообразной, но не функции, а определенному
числу. Дадим определение:

a- называют нижний предел; b – верхний предел

Принцип работы по формуле:
1.Найти первообразную как и ранее для неопределенного интеграла
(все методы и формулы сохраняются)
2.Теперь не надо прибавлять постоянную С. Вместо неё ставим вертикальную
черту и пишем вверху и внизу пределы интегрирования.
3. Затем подставляем вместо переменной х в первообразную сначало
Верхний предел, минус, подставляем нижний предел.
4.Выполняем вычисления, записываем ответ

Пример: 2 3 2𝑥𝑑𝑥=2∙ 𝑥 2 2 3 2 = 𝑥 2 3 2 = 3 2 − 2 2 =9−4=5 2 2 3 2𝑥𝑑𝑥=2∙ 𝑥 2 2 3 2 = 𝑥 2 3 2 = 3 2 − 2 2 =9−4=5 3 2 3 2𝑥𝑑𝑥=2∙ 𝑥 2 2 3 2 = 𝑥 2 3 2 = 3 2 − 2 2 =9−4=5 2𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥=2∙ 𝑥 2 2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 𝑥 2 2 2 𝑥 2 2 3 2 = 𝑥 2 3 2 = 3 2 − 2 2 =9−4=5 3 2 3 3 2 2 3 2 = 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 3 2 3 2 3 3 2 2 3 2 3 2 = 3 2 3 3 2 2 3 2 − 2 2 2 2 2 2 2 2 =9−4=5 3 2 = 𝑥 2 3 2 = 3 2 − 2 2 =9−4=5 2 3 2𝑥𝑑𝑥=2∙ 𝑥 2 2 3 2 = 𝑥 2 3 2 = 3 2 − 2 2 =9−4=5

Пример 1

Вычислить интеграл −2 3 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 , −2 −2 3 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 , 3 −2 3 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 , 𝑓𝑓 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 , −2 3 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ,

если график функции y=f(x) изображен на рисунке

Решение:
Опираясь на геометрический смысл
определенного интеграла, найдем площадь
Полученной фигуры, разбив её на части

0 4 𝑑𝑥 2 𝑥 0 0 4 𝑑𝑥 2 𝑥 4 0 4 𝑑𝑥 2 𝑥 𝑑𝑥 2 𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑥 2 𝑥 2 𝑥 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 𝑑𝑥 2 𝑥 0 4 𝑑𝑥 2 𝑥 = 1 2 1 1 2 2 1 2 ∙ 0 4 𝑑𝑥 𝑥 0 0 4 𝑑𝑥 𝑥 4 0 4 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 0 4 𝑑𝑥 𝑥 = 1 2 1 1 2 2 1 2 ∙2 𝑥 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 4 0 4 0 4 4 0 0 4 0 4 0 = 4 4 4 4 − 0 0 0 0 =2−0=2

0 𝜋 4 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 0 0 𝜋 4 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝜋 4 𝜋𝜋 𝜋 4 4 𝜋 4 0 𝜋 4 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 𝑐𝑜𝑠 2 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 0 𝜋 4 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 =tgx 𝜋 4 0 𝜋 4 0 𝜋 4 𝜋𝜋 𝜋 4 4 𝜋 4 𝜋 4 0 0 𝜋 4 0 𝜋 4 0 =tg 𝜋 4 𝜋𝜋 𝜋 4 4 𝜋 4 −tg0=1−0=1

1 2 1−5𝑥 2 𝑑𝑥=− 1 5 1 1 2 1−5𝑥 2 𝑑𝑥=− 1 5 2 1 2 1−5𝑥 2 𝑑𝑥=− 1 5 1−5𝑥 2 1−5𝑥 1−5𝑥𝑥 1−5𝑥 1−5𝑥 2 2 1−5𝑥 2 𝑑𝑑𝑥𝑥=− 1 5 1 1 5 5 1 5 1 2 1−5𝑥 2 𝑑𝑥=− 1 5 ∙ 1−5𝑥 3 3 1−5𝑥 3 1−5𝑥 1−5𝑥𝑥 1−5𝑥 1−5𝑥 3 3 1−5𝑥 3 1−5𝑥 3 3 3 1−5𝑥 3 3 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 = 1−5𝑥 3 15 1−5𝑥 3 1−5𝑥 1−5𝑥𝑥 1−5𝑥 1−5𝑥 3 3 1−5𝑥 3 1−5𝑥 3 15 15 1−5𝑥 3 15 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 = 1−5∙2 3 15 1−5∙2 3 1−5∙2 1−5∙2 1−5∙2 1−5∙2 3 3 1−5∙2 3 1−5∙2 3 15 15 1−5∙2 3 15 − 1−5∙1 3 15 1−5∙1 3 1−5∙1 1−5∙1 1−5∙1 1−5∙1 3 3 1−5∙1 3 1−5∙1 3 15 15 1−5∙1 3 15 =

= 1−10 3 15 1−10 3 1−10 1−10 1−10 1−10 3 3 1−10 3 1−10 3 15 15 1−10 3 15 − 1−5 3 15 1−5 3 1−5 1−5 1−5 1−5 3 3 1−5 3 1−5 3 15 15 1−5 3 15 = 729 15 729 729 15 15 729 15 − −64 15 −64 −64 15 15 −64 15 = 793 15 793 793 15 15 793 15 =52 13 15 13 13 15 15 13 15

0 1 𝑒 3𝑥 0 0 1 𝑒 3𝑥 1 0 1 𝑒 3𝑥 𝑒 3𝑥 𝑒𝑒 𝑒 3𝑥 3𝑥𝑥 𝑒 3𝑥 0 1 𝑒 3𝑥 dx= 1 3 1 1 3 3 1 3 ∙ 𝑒 3𝑥 𝑒𝑒 𝑒 3𝑥 3𝑥𝑥 𝑒 3𝑥 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 = 𝑒 3 3 𝑒 3 𝑒𝑒 𝑒 3 3 𝑒 3 𝑒 3 3 3 𝑒 3 3 − 𝑒 0 3 𝑒 0 𝑒𝑒 𝑒 0 0 𝑒 0 𝑒 0 3 3 𝑒 0 3 = 𝑒 3 −1 3 𝑒 3 𝑒𝑒 𝑒 3 3 𝑒 3 −1 𝑒 3 −1 3 3 𝑒 3 −1 3