Поделиться
Основные методы интегрирования.pptx
Основные методы
интегрирования
ПОВТОРЕНИЕ
НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Рассмотрим ещё несколько примеров с непосредственным интегрированием
с применением определенных приемов
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ
Прием 1
𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙+ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙=𝟏 основное тригонометрическое тождество
𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝟐𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟐𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 = 𝟏𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝟏𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝟏𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝟏𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝟏𝟏𝒅𝒅𝒙𝒙 𝟏𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝟐𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟐𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙𝒙 𝟏𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝟏𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 = 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙+ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙+ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙+ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙+ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙+ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝟐𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙𝒙+ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟐𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙+ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙+ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝟐𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟐𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙+ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙+ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙
𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝟐𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑠𝑖𝑛 2 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥𝑥∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 𝑐𝑜𝑠 2 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑥 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟐𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑠𝑖𝑛 2 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥𝑥∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 𝑐𝑜𝑠 2 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑥 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 dx = 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 𝑐𝑜𝑠 2 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑠𝑖𝑛 2 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 =
=𝒕𝒈𝒙−𝒄𝒕𝒈𝒙+𝑪
Пример 1:
Прием 1
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ
𝟏𝟏+ 𝒕𝒈 𝟐 𝒕𝒕𝒈𝒈 𝒕𝒈 𝟐 𝟐𝟐 𝒕𝒈 𝟐 𝒙𝒙= 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝟏𝟏 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟐𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙𝒙 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙
𝟏+ 𝒄𝒕𝒈 𝟐 𝒙= 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙
Из этих формул можно выразить…
𝒕𝒈 𝟐 𝒕𝒕𝒈𝒈 𝒕𝒈 𝟐 𝟐𝟐 𝒕𝒈 𝟐 𝒙𝒙= 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝟏𝟏 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟐𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙𝒙 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 −𝟏𝟏
𝒄𝒕𝒈 𝟐 𝒙= 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 −𝟏
Пример 2:
𝒕𝒈 𝟐 𝒙𝒅𝒙= 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 −𝟏 𝒅𝒙= 𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 − 𝒅𝒙=
=𝒕𝒈𝒙−𝒙+𝑪
Прием 1
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ
Пример 3:
𝒄𝒐𝒔𝒙∙𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙𝒅𝒙=
Необходимо преобразовать произведение в сумму.
Для этого нужны формулы
𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝜶𝜶∙𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝜷𝜷= 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝜶+𝜷 +𝒄𝒐𝒔 𝜶−𝜷 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝜶+𝜷 𝜶𝜶+𝜷𝜷 𝜶+𝜷 +𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝜶−𝜷 𝜶𝜶−𝜷𝜷 𝜶−𝜷 𝒄𝒐𝒔 𝜶+𝜷 +𝒄𝒐𝒔 𝜶−𝜷
𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝜶𝜶∙𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝜷𝜷= 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 ∙ 𝒔𝒊𝒏 𝜶+𝜷 +𝒔𝒊𝒏 𝜶−𝜷 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝜶+𝜷 𝜶𝜶+𝜷𝜷 𝜶+𝜷 +𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝜶−𝜷 𝜶𝜶−𝜷𝜷 𝜶−𝜷 𝒔𝒊𝒏 𝜶+𝜷 +𝒔𝒊𝒏 𝜶−𝜷
𝒔𝒊𝒏𝜶∙𝒔𝒊𝒏𝜷= 𝟏 𝟐 ∙ 𝒔𝒊𝒏 𝜶+𝜷 +𝒔𝒊𝒏 𝜶−𝜷
При этом надо помнить свойства функций: sin(-x)= - sinx ; cos(-x) = cosx
𝒄𝒐𝒔𝒙∙𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙𝒅𝒙= 𝟏 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙∙𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙𝒅𝒙= 𝟏 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙∙𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙𝒅𝒙= 𝟏 𝟐 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝒙𝒙∙𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝟑𝟑𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙= 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙∙𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙𝒅𝒙= 𝟏 𝟐 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝒙+𝟑𝒙 +𝒄𝒐𝒔 𝒙−𝟑𝒙 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒙+𝟑𝒙 𝒙𝒙+𝟑𝟑𝒙𝒙 𝒙+𝟑𝒙 +𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒙−𝟑𝒙 𝒙𝒙−𝟑𝟑𝒙𝒙 𝒙−𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙+𝟑𝒙 +𝒄𝒐𝒔 𝒙−𝟑𝒙 dx=
= 𝟏 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙+𝒄𝒐𝒔 −𝟐𝒙 𝒅𝒙= 𝟏 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙𝒅𝒙+ 𝟏 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙𝒅𝒙=
Используем свойство: 𝒇 𝒂𝒙±𝒃 𝒇 𝒂𝒙±𝒃 𝒇 𝒂𝒙±𝒃 𝒇𝒇 𝒂𝒙±𝒃 𝒂𝒂𝒙𝒙±𝒃𝒃 𝒂𝒙±𝒃 𝒇 𝒂𝒙±𝒃 𝒅𝒅𝒙𝒙= 𝟏 𝒂 𝟏𝟏 𝟏 𝒂 𝒂𝒂 𝟏 𝒂 ∙𝑭𝑭 𝒂𝒙±𝒃 𝒂𝒂𝒙𝒙±𝒃𝒃 𝒂𝒙±𝒃 +𝑪𝑪
= 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 ∙ 𝟏 𝟒 𝟏𝟏 𝟏 𝟒 𝟒𝟒 𝟏 𝟒 ∙𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝟒𝟒𝒙𝒙+ 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 ∙ 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 ∙𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝟐𝟐𝒙𝒙+𝑪𝑪= 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝟖 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝟒𝟒𝒙𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝟖 𝟖𝟖 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝟖 + 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝟒 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝟐𝟐𝒙𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝟒 𝟒𝟒 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝟒 +C
Прием 2
Иногда полезно добавить и тут же отнять одну и ту
же величину
𝒙 𝟐 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝟏𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 𝟏+ 𝒙 𝟐 dx=
Обратим внимание, что выражение стоящее
в знаменателе , есть в одной из формул
интегрирования. Но в числителе в формуле единица.
Чтобы убрать 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 в числителе, прибавим 1 и тут же отнимем.
Одну из единиц сгруппируем с 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 и
поделим почленно на знаменатель.
𝒙 𝟐 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝟏𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 𝟏+ 𝒙 𝟐 dx= 𝒙 𝟐 +𝟏−𝟏 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙= 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙− 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 = 𝒙 𝟐 +𝟏−𝟏 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙= 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙− 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 = 𝒙 𝟐 +𝟏−𝟏 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙= 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙− 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 = 𝒙 𝟐 +𝟏−𝟏 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 +𝟏𝟏−𝟏𝟏 𝒙 𝟐 +𝟏−𝟏 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝟏𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 +𝟏−𝟏 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒅𝒙𝒙= 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙− 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 = 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙− 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 = 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙− 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 = 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 +𝟏𝟏 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝟏𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒅𝒙𝒙− 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 = 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 = 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 = 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝟏𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 = 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 = 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙− 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 = 𝒙 𝟐 +𝟏−𝟏 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙= 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙− 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 =
= 𝒅𝒙− 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙− 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙− 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒅𝒙𝒙− 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝟏𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙− 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 = x- arctgx + C
Метод замены переменной
Это новый метод и его надо изучить.
Он применяется когда под интегралом стоит
СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ
Вспомним, что такое сложная функция: y=f(g(x))
Примеры сложной функции:
𝑥 2 +2 3 𝑥 2 +2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +2 𝑥 2 +2 𝑥 2 +2 3 3 𝑥 2 +2 3 - степенная функция. Внутренняя функция: 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +2
1−𝑐𝑜𝑠𝑥 1−𝑐𝑜𝑠𝑥 1−𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝑥𝑥 1−𝑐𝑜𝑠𝑥 - корень квадратный. Внутренняя функция: 1−𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝑥𝑥
𝑠𝑖𝑛 3 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑠𝑖𝑛 3 3 𝑠𝑖𝑛 3 x - степенная функция. Внутренняя функция: sinx
Метод замены переменной
Метод замены переменной заключается в том, что
Надо привести подынтегральное выражение к
стандартному виду ( к формуле интегрирования).
Для этого надо:
1. Определить сложную функцию f(g(x))
2. Обозначить внутреннюю функцию новой
переменной t=g(x)
3. Найти дифференциал новой переменной t:
𝒅𝒅𝒕𝒕= 𝒈 / 𝒈𝒈 𝒈 / / 𝒈 / 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 dx
4. Заменить все выражения с переменной х,
включая дифференциал dx , на выражения
через переменную t
5. Найти интеграл непосредственным
интегрированием и вернуться к подстановке, т.е. к переменной х
Метод замены переменной
Пример 1
𝒙 𝟐 +𝟏 𝟑 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟑 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟑 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟑 𝒙 𝟐 +𝟏 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 +𝟏𝟏 𝒙 𝟐 +𝟏 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟑 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟑 𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙= 𝒕= 𝒙 𝟐 +𝟏 𝒅𝒕= 𝒙 𝟐 +𝟏 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=𝟐𝒙𝒅𝒙 , 𝒅𝒕 𝟐 =𝒙𝒅𝒙 𝒕= 𝒙 𝟐 +𝟏 𝒅𝒕= 𝒙 𝟐 +𝟏 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=𝟐𝒙𝒅𝒙 , 𝒅𝒕 𝟐 =𝒙𝒅𝒙 𝒕𝒕= 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 +𝟏𝟏 𝒕= 𝒙 𝟐 +𝟏 𝒅𝒕= 𝒙 𝟐 +𝟏 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=𝟐𝒙𝒅𝒙 , 𝒅𝒕 𝟐 =𝒙𝒅𝒙 𝒅𝒅𝒕𝒕= 𝒙 𝟐 +𝟏 / 𝒙 𝟐 +𝟏 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 +𝟏𝟏 𝒙 𝟐 +𝟏 𝒙 𝟐 +𝟏 / / 𝒙 𝟐 +𝟏 / 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒕= 𝒙 𝟐 +𝟏 𝒅𝒕= 𝒙 𝟐 +𝟏 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=𝟐𝒙𝒅𝒙 , 𝒅𝒕 𝟐 =𝒙𝒅𝒙 𝒅𝒅𝒕𝒕=𝟐𝟐𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙 , 𝒅𝒕 𝟐 𝒅𝒅𝒕𝒕 𝒅𝒕 𝟐 𝟐𝟐 𝒅𝒕 𝟐 =𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒕= 𝒙 𝟐 +𝟏 𝒅𝒕= 𝒙 𝟐 +𝟏 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=𝟐𝒙𝒅𝒙 , 𝒅𝒕 𝟐 =𝒙𝒅𝒙 𝒕= 𝒙 𝟐 +𝟏 𝒅𝒕= 𝒙 𝟐 +𝟏 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=𝟐𝒙𝒅𝒙 , 𝒅𝒕 𝟐 =𝒙𝒅𝒙 =
= 𝒕 𝟑 𝒕 𝟑 𝒕 𝟑 𝒕 𝟑 𝒕𝒕 𝒕 𝟑 𝟑𝟑 𝒕 𝟑 𝒕 𝟑 ∙ 𝒅𝒕 𝟐 𝒅𝒅𝒕𝒕 𝒅𝒕 𝟐 𝟐𝟐 𝒅𝒕 𝟐 = 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 ∙ 𝒕 𝟑 𝒅𝒕= 𝟏 𝟐 𝒕 𝟑 𝒅𝒕= 𝟏 𝟐 𝒕 𝟑 𝒅𝒕= 𝟏 𝟐 𝒕 𝟑 𝒕𝒕 𝒕 𝟑 𝟑𝟑 𝒕 𝟑 𝒅𝒅𝒕𝒕= 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 𝒕 𝟑 𝒅𝒕= 𝟏 𝟐 ∙ 𝒕 𝟒 𝟒 𝒕 𝟒 𝒕𝒕 𝒕 𝟒 𝟒𝟒 𝒕 𝟒 𝒕 𝟒 𝟒 𝟒𝟒 𝒕 𝟒 𝟒 +𝑪𝑪= 𝒕 𝟒 𝟖 𝒕 𝟒 𝒕𝒕 𝒕 𝟒 𝟒𝟒 𝒕 𝟒 𝒕 𝟒 𝟖 𝟖𝟖 𝒕 𝟒 𝟖 +𝑪𝑪=
= 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟒 𝟖 +𝑪
Функция 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟑 𝒙 𝟐 +𝟏 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 +𝟏𝟏 𝒙 𝟐 +𝟏 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟑 - степенная сложная.
Внутренняя функция 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 +𝟏𝟏.
Оббозначим её за t= 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 +𝟏𝟏.
Тогда сама функция примет вид 𝒕 𝟑 𝒕𝒕 𝒕 𝟑 𝟑𝟑 𝒕 𝟑
Но! В подынтегральном выражении есть
ещё дифференциал dx.
Надо найти дифференциал dt.
Для этого используем формулу дифференциала : df= 𝑓 / 𝑓𝑓 𝑓 / / 𝑓 / dx
Тогда: 𝒅𝒅𝒕𝒕= 𝒙 𝟐 +𝟏 / 𝒙 𝟐 +𝟏 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 +𝟏𝟏 𝒙 𝟐 +𝟏 𝒙 𝟐 +𝟏 / / 𝒙 𝟐 +𝟏 / 𝒅𝒅𝒙𝒙, dt=2xdx,
Выразим xdx, так как это выражение есть в
интеграле 𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙= 𝒅𝒕 𝟐 𝒅𝒅𝒕𝒕 𝒅𝒕 𝟐 𝟐𝟐 𝒅𝒕 𝟐
Все подготовительные
этапы замены
выполняют вот таком виде
Возвращаемся к
переменной х
Метод замены переменной
Пример 2
𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟏𝟏−𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝒙𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 = 𝒕=𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒕= 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝒕=𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒕= 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝒕𝒕=𝟏𝟏−𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝒙𝒙 𝒕=𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒕= 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝒅𝒅𝒕𝒕= 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 / 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟏𝟏−𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝒙𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 / / 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 / 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒕=𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒕= 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝒅𝒅𝒕𝒕=𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒕=𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒕= 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝒕=𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒕= 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 = 𝒅𝒕 𝒕 𝒅𝒕 𝒕 𝒅𝒕 𝒕 𝒅𝒕 𝒕 𝒅𝒅𝒕𝒕 𝒅𝒕 𝒕 𝒕 𝒕 𝒕𝒕 𝒕 𝒅𝒕 𝒕 𝒅𝒕 𝒕 =𝟐𝟐 𝒕 𝒕 𝒕𝒕 𝒕 +𝐂𝐂=𝟐𝟐 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟏𝟏−𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝒙𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 +𝐂𝐂
Пример 3
𝒙 𝟑 𝒅𝒙 𝟑− 𝒙 𝟒 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 𝟑− 𝒙 𝟒 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 𝟑− 𝒙 𝟒 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 𝟑− 𝒙 𝟒 𝒙 𝟑 𝒙𝒙 𝒙 𝟑 𝟑𝟑 𝒙 𝟑 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 𝟑− 𝒙 𝟒 𝟑𝟑− 𝒙 𝟒 𝒙𝒙 𝒙 𝟒 𝟒𝟒 𝒙 𝟒 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 𝟑− 𝒙 𝟒 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 𝟑− 𝒙 𝟒 = 𝒕=𝟑− 𝒙 𝟒 𝒅𝒕= 𝟑− 𝒙 𝟒 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=−𝟒 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 , 𝒙 𝟑 𝒅𝒙=− 𝒅𝒕 𝟒 𝒕=𝟑− 𝒙 𝟒 𝒅𝒕= 𝟑− 𝒙 𝟒 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=−𝟒 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 , 𝒙 𝟑 𝒅𝒙=− 𝒅𝒕 𝟒 𝒕𝒕=𝟑𝟑− 𝒙 𝟒 𝒙𝒙 𝒙 𝟒 𝟒𝟒 𝒙 𝟒 𝒕=𝟑− 𝒙 𝟒 𝒅𝒕= 𝟑− 𝒙 𝟒 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=−𝟒 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 , 𝒙 𝟑 𝒅𝒙=− 𝒅𝒕 𝟒 𝒅𝒅𝒕𝒕= 𝟑− 𝒙 𝟒 / 𝟑− 𝒙 𝟒 𝟑𝟑− 𝒙 𝟒 𝒙𝒙 𝒙 𝟒 𝟒𝟒 𝒙 𝟒 𝟑− 𝒙 𝟒 𝟑− 𝒙 𝟒 / / 𝟑− 𝒙 𝟒 / 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒕=𝟑− 𝒙 𝟒 𝒅𝒕= 𝟑− 𝒙 𝟒 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=−𝟒 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 , 𝒙 𝟑 𝒅𝒙=− 𝒅𝒕 𝟒 𝒅𝒅𝒕𝒕=−𝟒𝟒 𝒙 𝟑 𝒙𝒙 𝒙 𝟑 𝟑𝟑 𝒙 𝟑 𝒅𝒅𝒙𝒙 , 𝒙 𝟑 𝒙𝒙 𝒙 𝟑 𝟑𝟑 𝒙 𝟑 𝒅𝒅𝒙𝒙=− 𝒅𝒕 𝟒 𝒅𝒅𝒕𝒕 𝒅𝒕 𝟒 𝟒𝟒 𝒅𝒕 𝟒 𝒕=𝟑− 𝒙 𝟒 𝒅𝒕= 𝟑− 𝒙 𝟒 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=−𝟒 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 , 𝒙 𝟑 𝒅𝒙=− 𝒅𝒕 𝟒 𝒕=𝟑− 𝒙 𝟒 𝒅𝒕= 𝟑− 𝒙 𝟒 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=−𝟒 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 , 𝒙 𝟑 𝒅𝒙=− 𝒅𝒕 𝟒 = −𝒅𝒙 𝟒𝒕 −𝒅𝒙 𝟒𝒕 −𝒅𝒙 𝟒𝒕 −𝒅𝒙 𝟒𝒕 −𝒅𝒅𝒙𝒙 −𝒅𝒙 𝟒𝒕 𝟒𝟒𝒕𝒕 −𝒅𝒙 𝟒𝒕 −𝒅𝒙 𝟒𝒕 =− 𝟏 𝟒 𝟏𝟏 𝟏 𝟒 𝟒𝟒 𝟏 𝟒 𝒅𝒕 𝒕 =− 𝟏 𝟒 𝒅𝒕 𝒕 =− 𝟏 𝟒 𝒅𝒕 𝒕 =− 𝟏 𝟒 𝒅𝒕 𝒕 𝒅𝒅𝒕𝒕 𝒅𝒕 𝒕 𝒕𝒕 𝒅𝒕 𝒕 =− 𝟏 𝟒 𝟏𝟏 𝟏 𝟒 𝟒𝟒 𝟏 𝟒 𝒅𝒕 𝒕 =− 𝟏 𝟒 ∙𝐥𝐥𝐧𝐧𝐱𝐱+𝐂𝐂=
=− 𝟏 𝟒 𝟏𝟏 𝟏 𝟒 𝟒𝟒 𝟏 𝟒 ∙ 𝐥𝐧 𝟑− 𝒙 𝟒 𝐥𝐥𝐧𝐧 𝐥𝐧 𝟑− 𝒙 𝟒 𝟑− 𝒙 𝟒 𝟑𝟑− 𝒙 𝟒 𝒙𝒙 𝒙 𝟒 𝟒𝟒 𝒙 𝟒 𝟑− 𝒙 𝟒 𝐥𝐧 𝟑− 𝒙 𝟒 +C
Метод замены переменной
Пример 4
𝒄𝒐𝒔 𝟓 𝒙∙𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙= 𝒕=𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒕= 𝒄𝒐𝒔𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=−𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙, −𝒅𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 = 𝒕 𝟓 −𝒅𝒕 =
=− 𝒕 𝟓 𝒅𝒕=− 𝒕 𝟔 𝟔 +𝑪=− 𝒄𝒐𝒔 𝟔 𝒙 𝟔 +𝑪
Пример 5
𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒆 𝟐𝒙 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒆 𝟐𝒙 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒆 𝟐𝒙 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒆 𝟐𝒙 𝒆 𝒙 𝒆𝒆 𝒆 𝒙 𝒙𝒙 𝒆 𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒆 𝟐𝒙 𝟏𝟏+ 𝒆 𝟐𝒙 𝒆𝒆 𝒆 𝟐𝒙 𝟐𝟐𝒙𝒙 𝒆 𝟐𝒙 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒆 𝟐𝒙 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒆 𝟐𝒙 = 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒆 𝒙 𝟐 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒆 𝒙 𝟐 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒆 𝒙 𝟐 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒆 𝒙 𝟐 𝒆 𝒙 𝒆𝒆 𝒆 𝒙 𝒙𝒙 𝒆 𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒆 𝒙 𝟐 𝟏𝟏+ 𝒆 𝒙 𝟐 𝒆 𝒙 𝒆 𝒙 𝒆𝒆 𝒆 𝒙 𝒙𝒙 𝒆 𝒙 𝒆 𝒙 𝒆 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒆 𝒙 𝟐 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒆 𝒙 𝟐 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒆 𝒙 𝟐 = 𝒕= 𝒆 𝒙 𝒅𝒕= 𝒆 𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝒕= 𝒆 𝒙 𝒅𝒕= 𝒆 𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝒕𝒕= 𝒆 𝒙 𝒆𝒆 𝒆 𝒙 𝒙𝒙 𝒆 𝒙 𝒕= 𝒆 𝒙 𝒅𝒕= 𝒆 𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒅𝒕𝒕= 𝒆 𝒙 / 𝒆 𝒙 𝒆 𝒙 𝒆𝒆 𝒆 𝒙 𝒙𝒙 𝒆 𝒙 𝒆 𝒙 𝒆 𝒙 / / 𝒆 𝒙 / 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒕= 𝒆 𝒙 𝒅𝒕= 𝒆 𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒅𝒕𝒕= 𝒆 𝒙 𝒆𝒆 𝒆 𝒙 𝒙𝒙 𝒆 𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒕= 𝒆 𝒙 𝒅𝒕= 𝒆 𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝒕= 𝒆 𝒙 𝒅𝒕= 𝒆 𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒅𝒕 𝟏+ 𝒕 𝟐 𝒅𝒕 𝟏+ 𝒕 𝟐 𝒅𝒕 𝟏+ 𝒕 𝟐 𝒅𝒕 𝟏+ 𝒕 𝟐 𝒅𝒅𝒕𝒕 𝒅𝒕 𝟏+ 𝒕 𝟐 𝟏𝟏+ 𝒕 𝟐 𝒕𝒕 𝒕 𝟐 𝟐𝟐 𝒕 𝟐 𝒅𝒕 𝟏+ 𝒕 𝟐 𝒅𝒕 𝟏+ 𝒕 𝟐 =𝐚𝐚𝐫𝐫𝐜𝐜𝐭𝐭𝐠𝐠𝐭𝐭+𝐂𝐂=
=𝒂𝒂𝒓𝒓𝒄𝒄𝒕𝒕𝒈𝒈 𝒆 𝒙 𝒆𝒆 𝒆 𝒙 𝒙𝒙 𝒆 𝒙 +𝐂𝐂
Продолжите решения самостоятельно
Пример 6
𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟓 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙= 𝒕=𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= _______________ 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟓 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙= 𝒕=𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= _______________ 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟓 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙= 𝒕=𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= _______________ 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟓 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟑𝟑+𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟓 𝟓𝟓 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟓 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙= 𝒕=𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= _______________ 𝒕=𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= _______________ 𝒕𝒕=𝟑𝟑+𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙 𝒕=𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= _______________ 𝒅𝒅𝒕𝒕= 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟑𝟑+𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 / / 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒕=𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= _______________ 𝒅𝒅𝒕𝒕= _______________ 𝒕=𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= _______________ 𝒕=𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= _______________ 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟓 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙= 𝒕=𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= _______________ =…
Пример 7
𝒂𝒄𝒓𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝒂𝒄𝒓𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝒂𝒄𝒓𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝒂𝒄𝒓𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝒂𝒄𝒓𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒂𝒂𝒄𝒄𝒓𝒓𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒂𝒄𝒓𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝟐𝟐 𝒂𝒄𝒓𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒂𝒄𝒓𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝟏− 𝒙 𝟐 𝟏− 𝒙 𝟐 𝟏𝟏− 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 𝟏− 𝒙 𝟐 𝒂𝒄𝒓𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝒂𝒄𝒓𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 = 𝒕=𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=… 𝒕=𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=… 𝒕𝒕=𝒂𝒂𝒓𝒓𝒄𝒄𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙 𝒕=𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=… 𝒅𝒅𝒕𝒕= 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒂𝒂𝒓𝒓𝒄𝒄𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 / / 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒕=𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=… 𝒅𝒅𝒕𝒕=… 𝒕=𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=… 𝒕=𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=… = … … … … …
Пример 8
𝑙𝑛 3 𝑥𝑑𝑥 𝑥 = 𝑡= ln 𝑥 𝑑𝑡= ln 𝑥 / 𝑑𝑥 𝑑𝑡=… =… 𝑙𝑛 3 𝑥𝑑𝑥 𝑥 = 𝑡= ln 𝑥 𝑑𝑡= ln 𝑥 / 𝑑𝑥 𝑑𝑡=… =… 𝑙𝑛 3 𝑥𝑑𝑥 𝑥 = 𝑡= ln 𝑥 𝑑𝑡= ln 𝑥 / 𝑑𝑥 𝑑𝑡=… =… 𝑙𝑛 3 𝑥𝑑𝑥 𝑥 𝑙𝑛 3 𝑙𝑙𝑛𝑛 𝑙𝑛 3 3 𝑙𝑛 3 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑙𝑛 3 𝑥𝑑𝑥 𝑥 𝑥𝑥 𝑙𝑛 3 𝑥𝑑𝑥 𝑥 = 𝑡= ln 𝑥 𝑑𝑡= ln 𝑥 / 𝑑𝑥 𝑑𝑡=… 𝑡= ln 𝑥 𝑑𝑡= ln 𝑥 / 𝑑𝑥 𝑑𝑡=… 𝑡𝑡= ln 𝑥 ln ln 𝑥 𝑥𝑥 ln 𝑥 𝑡= ln 𝑥 𝑑𝑡= ln 𝑥 / 𝑑𝑥 𝑑𝑡=… 𝑑𝑑𝑡𝑡= ln 𝑥 / ln 𝑥 ln 𝑥 ln ln 𝑥 𝑥𝑥 ln 𝑥 ln 𝑥 ln 𝑥 / / ln 𝑥 / 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑡= ln 𝑥 𝑑𝑡= ln 𝑥 / 𝑑𝑥 𝑑𝑡=… 𝑑𝑑𝑡𝑡=… 𝑡= ln 𝑥 𝑑𝑡= ln 𝑥 / 𝑑𝑥 𝑑𝑡=… 𝑡= ln 𝑥 𝑑𝑡= ln 𝑥 / 𝑑𝑥 𝑑𝑡=… =… 𝑙𝑛 3 𝑥𝑑𝑥 𝑥 = 𝑡= ln 𝑥 𝑑𝑡= ln 𝑥 / 𝑑𝑥 𝑑𝑡=… =…
Подведем итоги!
Повторили приемы
непосредственного интегрирования
Узнали новые приемы
непосредственного интегрирования
Изучили новые методы интегрирования:
МЕТОД ПОДСТАНОВКИ
Рассмотрели и решили примеры на метод подстановки
До новых встреч!!!
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
