Основные методы интегрирования
Оценка 4.6

Основные методы интегрирования

Оценка 4.6
Презентации учебные
pptx
математика
11 кл +1
22.10.2021
Основные методы интегрирования
В данной презентации рассмотрены основные приемы и методы интегрирования. Презентация может быть полезна для студентов СПО или ВПО технического профиля.
Основные методы интегрирования.pptx

Основные методы интегрирования

Основные методы интегрирования

Основные методы
интегрирования

ПОВТОРЕНИЕ НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

ПОВТОРЕНИЕ НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

ПОВТОРЕНИЕ

НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Рассмотрим ещё несколько примеров с непосредственным интегрированием
с применением определенных приемов

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ

Прием 1

𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙+ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙=𝟏 основное тригонометрическое тождество

𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝟐𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟐𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 = 𝟏𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝟏𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝟏𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝟏𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝟏𝟏𝒅𝒅𝒙𝒙 𝟏𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝟐𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟐𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙𝒙 𝟏𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝟏𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 = 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙+ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙+ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙+ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙+ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙+ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝟐𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙𝒙+ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟐𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙+ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙+ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝟐𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟐𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙+ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙+ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙

𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝟐𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑠𝑖𝑛 2 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥𝑥∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 𝑐𝑜𝑠 2 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑥 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟐𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑠𝑖𝑛 2 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥𝑥∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 𝑐𝑜𝑠 2 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑥 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 dx = 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 𝑐𝑜𝑠 2 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑠𝑖𝑛 2 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 =

=𝒕𝒈𝒙−𝒄𝒕𝒈𝒙+𝑪

Пример 1:

Прием 1 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ

Прием 1 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ

Прием 1

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ

𝟏𝟏+ 𝒕𝒈 𝟐 𝒕𝒕𝒈𝒈 𝒕𝒈 𝟐 𝟐𝟐 𝒕𝒈 𝟐 𝒙𝒙= 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝟏𝟏 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟐𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙𝒙 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙
𝟏+ 𝒄𝒕𝒈 𝟐 𝒙= 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙

Из этих формул можно выразить…

𝒕𝒈 𝟐 𝒕𝒕𝒈𝒈 𝒕𝒈 𝟐 𝟐𝟐 𝒕𝒈 𝟐 𝒙𝒙= 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝟏𝟏 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟐𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙𝒙 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 −𝟏𝟏
𝒄𝒕𝒈 𝟐 𝒙= 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 −𝟏

Пример 2:

𝒕𝒈 𝟐 𝒙𝒅𝒙= 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 −𝟏 𝒅𝒙= 𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 − 𝒅𝒙=

=𝒕𝒈𝒙−𝒙+𝑪

Прием 1 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ

Прием 1 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ

Прием 1

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ

Пример 3:

𝒄𝒐𝒔𝒙∙𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙𝒅𝒙=

Необходимо преобразовать произведение в сумму.
Для этого нужны формулы

𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝜶𝜶∙𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝜷𝜷= 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝜶+𝜷 +𝒄𝒐𝒔 𝜶−𝜷 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝜶+𝜷 𝜶𝜶+𝜷𝜷 𝜶+𝜷 +𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝜶−𝜷 𝜶𝜶−𝜷𝜷 𝜶−𝜷 𝒄𝒐𝒔 𝜶+𝜷 +𝒄𝒐𝒔 𝜶−𝜷
𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝜶𝜶∙𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝜷𝜷= 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 ∙ 𝒔𝒊𝒏 𝜶+𝜷 +𝒔𝒊𝒏 𝜶−𝜷 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝜶+𝜷 𝜶𝜶+𝜷𝜷 𝜶+𝜷 +𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝜶−𝜷 𝜶𝜶−𝜷𝜷 𝜶−𝜷 𝒔𝒊𝒏 𝜶+𝜷 +𝒔𝒊𝒏 𝜶−𝜷
𝒔𝒊𝒏𝜶∙𝒔𝒊𝒏𝜷= 𝟏 𝟐 ∙ 𝒔𝒊𝒏 𝜶+𝜷 +𝒔𝒊𝒏 𝜶−𝜷

При этом надо помнить свойства функций: sin(-x)= - sinx ; cos(-x) = cosx

𝒄𝒐𝒔𝒙∙𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙𝒅𝒙= 𝟏 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙∙𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙𝒅𝒙= 𝟏 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙∙𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙𝒅𝒙= 𝟏 𝟐 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝒙𝒙∙𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝟑𝟑𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙= 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙∙𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙𝒅𝒙= 𝟏 𝟐 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝒙+𝟑𝒙 +𝒄𝒐𝒔 𝒙−𝟑𝒙 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒙+𝟑𝒙 𝒙𝒙+𝟑𝟑𝒙𝒙 𝒙+𝟑𝒙 +𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒙−𝟑𝒙 𝒙𝒙−𝟑𝟑𝒙𝒙 𝒙−𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙+𝟑𝒙 +𝒄𝒐𝒔 𝒙−𝟑𝒙 dx=

= 𝟏 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙+𝒄𝒐𝒔 −𝟐𝒙 𝒅𝒙= 𝟏 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙𝒅𝒙+ 𝟏 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙𝒅𝒙=

Используем свойство: 𝒇 𝒂𝒙±𝒃 𝒇 𝒂𝒙±𝒃 𝒇 𝒂𝒙±𝒃 𝒇𝒇 𝒂𝒙±𝒃 𝒂𝒂𝒙𝒙±𝒃𝒃 𝒂𝒙±𝒃 𝒇 𝒂𝒙±𝒃 𝒅𝒅𝒙𝒙= 𝟏 𝒂 𝟏𝟏 𝟏 𝒂 𝒂𝒂 𝟏 𝒂 ∙𝑭𝑭 𝒂𝒙±𝒃 𝒂𝒂𝒙𝒙±𝒃𝒃 𝒂𝒙±𝒃 +𝑪𝑪

= 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 ∙ 𝟏 𝟒 𝟏𝟏 𝟏 𝟒 𝟒𝟒 𝟏 𝟒 ∙𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝟒𝟒𝒙𝒙+ 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 ∙ 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 ∙𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝟐𝟐𝒙𝒙+𝑪𝑪= 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝟖 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝟒𝟒𝒙𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝟖 𝟖𝟖 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝟖 + 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝟒 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝟐𝟐𝒙𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝟒 𝟒𝟒 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝟒 +C

Прием 2 Иногда полезно добавить и тут же отнять одну и ту же величину 𝒙 𝟐 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒙…

Прием 2 Иногда полезно добавить и тут же отнять одну и ту же величину 𝒙 𝟐 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒙…

Прием 2

Иногда полезно добавить и тут же отнять одну и ту
же величину

𝒙 𝟐 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝟏𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 𝟏+ 𝒙 𝟐 dx=

Обратим внимание, что выражение стоящее
в знаменателе , есть в одной из формул
интегрирования. Но в числителе в формуле единица.

Чтобы убрать 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 в числителе, прибавим 1 и тут же отнимем.
Одну из единиц сгруппируем с 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 и
поделим почленно на знаменатель.

𝒙 𝟐 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝟏𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 𝟏+ 𝒙 𝟐 dx= 𝒙 𝟐 +𝟏−𝟏 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙= 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙− 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 = 𝒙 𝟐 +𝟏−𝟏 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙= 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙− 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 = 𝒙 𝟐 +𝟏−𝟏 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙= 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙− 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 = 𝒙 𝟐 +𝟏−𝟏 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 +𝟏𝟏−𝟏𝟏 𝒙 𝟐 +𝟏−𝟏 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝟏𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 +𝟏−𝟏 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒅𝒙𝒙= 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙− 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 = 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙− 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 = 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙− 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 = 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 +𝟏𝟏 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝟏𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒅𝒙𝒙− 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 = 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 = 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 = 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝟏𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 = 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 = 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙− 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 = 𝒙 𝟐 +𝟏−𝟏 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙= 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙− 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 =

= 𝒅𝒙− 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙− 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙− 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒅𝒙𝒙− 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝟏𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙− 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒙 𝟐 = x- arctgx + C

Метод замены переменной Это новый метод и его надо изучить

Метод замены переменной Это новый метод и его надо изучить

Метод замены переменной

Это новый метод и его надо изучить.
Он применяется когда под интегралом стоит
СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ

Вспомним, что такое сложная функция: y=f(g(x))

Примеры сложной функции:

𝑥 2 +2 3 𝑥 2 +2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +2 𝑥 2 +2 𝑥 2 +2 3 3 𝑥 2 +2 3 - степенная функция. Внутренняя функция: 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +2

1−𝑐𝑜𝑠𝑥 1−𝑐𝑜𝑠𝑥 1−𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝑥𝑥 1−𝑐𝑜𝑠𝑥 - корень квадратный. Внутренняя функция: 1−𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝑥𝑥

𝑠𝑖𝑛 3 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑠𝑖𝑛 3 3 𝑠𝑖𝑛 3 x - степенная функция. Внутренняя функция: sinx

Метод замены переменной Метод замены переменной заключается в том, что

Метод замены переменной Метод замены переменной заключается в том, что

Метод замены переменной

Метод замены переменной заключается в том, что
Надо привести подынтегральное выражение к
стандартному виду ( к формуле интегрирования).

Для этого надо:

1. Определить сложную функцию f(g(x))

2. Обозначить внутреннюю функцию новой
переменной t=g(x)

3. Найти дифференциал новой переменной t:
𝒅𝒅𝒕𝒕= 𝒈 / 𝒈𝒈 𝒈 / / 𝒈 / 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 dx

4. Заменить все выражения с переменной х,
включая дифференциал dx , на выражения
через переменную t

5. Найти интеграл непосредственным
интегрированием и вернуться к подстановке, т.е. к переменной х

Метод замены переменной Пример 1 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟑 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟑 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟑 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟑 𝒙 𝟐 +𝟏 𝒙…

Метод замены переменной Пример 1 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟑 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟑 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟑 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟑 𝒙 𝟐 +𝟏 𝒙…

Метод замены переменной

Пример 1

𝒙 𝟐 +𝟏 𝟑 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟑 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟑 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟑 𝒙 𝟐 +𝟏 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 +𝟏𝟏 𝒙 𝟐 +𝟏 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟑 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟑 𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙= 𝒕= 𝒙 𝟐 +𝟏 𝒅𝒕= 𝒙 𝟐 +𝟏 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=𝟐𝒙𝒅𝒙 , 𝒅𝒕 𝟐 =𝒙𝒅𝒙 𝒕= 𝒙 𝟐 +𝟏 𝒅𝒕= 𝒙 𝟐 +𝟏 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=𝟐𝒙𝒅𝒙 , 𝒅𝒕 𝟐 =𝒙𝒅𝒙 𝒕𝒕= 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 +𝟏𝟏 𝒕= 𝒙 𝟐 +𝟏 𝒅𝒕= 𝒙 𝟐 +𝟏 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=𝟐𝒙𝒅𝒙 , 𝒅𝒕 𝟐 =𝒙𝒅𝒙 𝒅𝒅𝒕𝒕= 𝒙 𝟐 +𝟏 / 𝒙 𝟐 +𝟏 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 +𝟏𝟏 𝒙 𝟐 +𝟏 𝒙 𝟐 +𝟏 / / 𝒙 𝟐 +𝟏 / 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒕= 𝒙 𝟐 +𝟏 𝒅𝒕= 𝒙 𝟐 +𝟏 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=𝟐𝒙𝒅𝒙 , 𝒅𝒕 𝟐 =𝒙𝒅𝒙 𝒅𝒅𝒕𝒕=𝟐𝟐𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙 , 𝒅𝒕 𝟐 𝒅𝒅𝒕𝒕 𝒅𝒕 𝟐 𝟐𝟐 𝒅𝒕 𝟐 =𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒕= 𝒙 𝟐 +𝟏 𝒅𝒕= 𝒙 𝟐 +𝟏 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=𝟐𝒙𝒅𝒙 , 𝒅𝒕 𝟐 =𝒙𝒅𝒙 𝒕= 𝒙 𝟐 +𝟏 𝒅𝒕= 𝒙 𝟐 +𝟏 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=𝟐𝒙𝒅𝒙 , 𝒅𝒕 𝟐 =𝒙𝒅𝒙 =

= 𝒕 𝟑 𝒕 𝟑 𝒕 𝟑 𝒕 𝟑 𝒕𝒕 𝒕 𝟑 𝟑𝟑 𝒕 𝟑 𝒕 𝟑 ∙ 𝒅𝒕 𝟐 𝒅𝒅𝒕𝒕 𝒅𝒕 𝟐 𝟐𝟐 𝒅𝒕 𝟐 = 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 ∙ 𝒕 𝟑 𝒅𝒕= 𝟏 𝟐 𝒕 𝟑 𝒅𝒕= 𝟏 𝟐 𝒕 𝟑 𝒅𝒕= 𝟏 𝟐 𝒕 𝟑 𝒕𝒕 𝒕 𝟑 𝟑𝟑 𝒕 𝟑 𝒅𝒅𝒕𝒕= 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 𝒕 𝟑 𝒅𝒕= 𝟏 𝟐 ∙ 𝒕 𝟒 𝟒 𝒕 𝟒 𝒕𝒕 𝒕 𝟒 𝟒𝟒 𝒕 𝟒 𝒕 𝟒 𝟒 𝟒𝟒 𝒕 𝟒 𝟒 +𝑪𝑪= 𝒕 𝟒 𝟖 𝒕 𝟒 𝒕𝒕 𝒕 𝟒 𝟒𝟒 𝒕 𝟒 𝒕 𝟒 𝟖 𝟖𝟖 𝒕 𝟒 𝟖 +𝑪𝑪=

= 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟒 𝟖 +𝑪

Функция 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟑 𝒙 𝟐 +𝟏 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 +𝟏𝟏 𝒙 𝟐 +𝟏 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟑 - степенная сложная.
Внутренняя функция 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 +𝟏𝟏.
Оббозначим её за t= 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 +𝟏𝟏.
Тогда сама функция примет вид 𝒕 𝟑 𝒕𝒕 𝒕 𝟑 𝟑𝟑 𝒕 𝟑

Но! В подынтегральном выражении есть
ещё дифференциал dx.
Надо найти дифференциал dt.
Для этого используем формулу дифференциала : df= 𝑓 / 𝑓𝑓 𝑓 / / 𝑓 / dx
Тогда: 𝒅𝒅𝒕𝒕= 𝒙 𝟐 +𝟏 / 𝒙 𝟐 +𝟏 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 +𝟏𝟏 𝒙 𝟐 +𝟏 𝒙 𝟐 +𝟏 / / 𝒙 𝟐 +𝟏 / 𝒅𝒅𝒙𝒙, dt=2xdx,
Выразим xdx, так как это выражение есть в
интеграле 𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙= 𝒅𝒕 𝟐 𝒅𝒅𝒕𝒕 𝒅𝒕 𝟐 𝟐𝟐 𝒅𝒕 𝟐

Все подготовительные
этапы замены
выполняют вот таком виде

Возвращаемся к
переменной х

Метод замены переменной Пример 2 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟏𝟏−𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝒙𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 =…

Метод замены переменной Пример 2 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟏𝟏−𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝒙𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 =…

Метод замены переменной

Пример 2

𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟏𝟏−𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝒙𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 = 𝒕=𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒕= 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝒕=𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒕= 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝒕𝒕=𝟏𝟏−𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝒙𝒙 𝒕=𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒕= 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝒅𝒅𝒕𝒕= 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 / 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟏𝟏−𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝒙𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 / / 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 / 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒕=𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒕= 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝒅𝒅𝒕𝒕=𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒕=𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒕= 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝒕=𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒕= 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 = 𝒅𝒕 𝒕 𝒅𝒕 𝒕 𝒅𝒕 𝒕 𝒅𝒕 𝒕 𝒅𝒅𝒕𝒕 𝒅𝒕 𝒕 𝒕 𝒕 𝒕𝒕 𝒕 𝒅𝒕 𝒕 𝒅𝒕 𝒕 =𝟐𝟐 𝒕 𝒕 𝒕𝒕 𝒕 +𝐂𝐂=𝟐𝟐 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟏𝟏−𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝒙𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 +𝐂𝐂

Пример 3

𝒙 𝟑 𝒅𝒙 𝟑− 𝒙 𝟒 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 𝟑− 𝒙 𝟒 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 𝟑− 𝒙 𝟒 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 𝟑− 𝒙 𝟒 𝒙 𝟑 𝒙𝒙 𝒙 𝟑 𝟑𝟑 𝒙 𝟑 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 𝟑− 𝒙 𝟒 𝟑𝟑− 𝒙 𝟒 𝒙𝒙 𝒙 𝟒 𝟒𝟒 𝒙 𝟒 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 𝟑− 𝒙 𝟒 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 𝟑− 𝒙 𝟒 = 𝒕=𝟑− 𝒙 𝟒 𝒅𝒕= 𝟑− 𝒙 𝟒 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=−𝟒 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 , 𝒙 𝟑 𝒅𝒙=− 𝒅𝒕 𝟒 𝒕=𝟑− 𝒙 𝟒 𝒅𝒕= 𝟑− 𝒙 𝟒 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=−𝟒 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 , 𝒙 𝟑 𝒅𝒙=− 𝒅𝒕 𝟒 𝒕𝒕=𝟑𝟑− 𝒙 𝟒 𝒙𝒙 𝒙 𝟒 𝟒𝟒 𝒙 𝟒 𝒕=𝟑− 𝒙 𝟒 𝒅𝒕= 𝟑− 𝒙 𝟒 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=−𝟒 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 , 𝒙 𝟑 𝒅𝒙=− 𝒅𝒕 𝟒 𝒅𝒅𝒕𝒕= 𝟑− 𝒙 𝟒 / 𝟑− 𝒙 𝟒 𝟑𝟑− 𝒙 𝟒 𝒙𝒙 𝒙 𝟒 𝟒𝟒 𝒙 𝟒 𝟑− 𝒙 𝟒 𝟑− 𝒙 𝟒 / / 𝟑− 𝒙 𝟒 / 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒕=𝟑− 𝒙 𝟒 𝒅𝒕= 𝟑− 𝒙 𝟒 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=−𝟒 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 , 𝒙 𝟑 𝒅𝒙=− 𝒅𝒕 𝟒 𝒅𝒅𝒕𝒕=−𝟒𝟒 𝒙 𝟑 𝒙𝒙 𝒙 𝟑 𝟑𝟑 𝒙 𝟑 𝒅𝒅𝒙𝒙 , 𝒙 𝟑 𝒙𝒙 𝒙 𝟑 𝟑𝟑 𝒙 𝟑 𝒅𝒅𝒙𝒙=− 𝒅𝒕 𝟒 𝒅𝒅𝒕𝒕 𝒅𝒕 𝟒 𝟒𝟒 𝒅𝒕 𝟒 𝒕=𝟑− 𝒙 𝟒 𝒅𝒕= 𝟑− 𝒙 𝟒 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=−𝟒 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 , 𝒙 𝟑 𝒅𝒙=− 𝒅𝒕 𝟒 𝒕=𝟑− 𝒙 𝟒 𝒅𝒕= 𝟑− 𝒙 𝟒 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=−𝟒 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 , 𝒙 𝟑 𝒅𝒙=− 𝒅𝒕 𝟒 = −𝒅𝒙 𝟒𝒕 −𝒅𝒙 𝟒𝒕 −𝒅𝒙 𝟒𝒕 −𝒅𝒙 𝟒𝒕 −𝒅𝒅𝒙𝒙 −𝒅𝒙 𝟒𝒕 𝟒𝟒𝒕𝒕 −𝒅𝒙 𝟒𝒕 −𝒅𝒙 𝟒𝒕 =− 𝟏 𝟒 𝟏𝟏 𝟏 𝟒 𝟒𝟒 𝟏 𝟒 𝒅𝒕 𝒕 =− 𝟏 𝟒 𝒅𝒕 𝒕 =− 𝟏 𝟒 𝒅𝒕 𝒕 =− 𝟏 𝟒 𝒅𝒕 𝒕 𝒅𝒅𝒕𝒕 𝒅𝒕 𝒕 𝒕𝒕 𝒅𝒕 𝒕 =− 𝟏 𝟒 𝟏𝟏 𝟏 𝟒 𝟒𝟒 𝟏 𝟒 𝒅𝒕 𝒕 =− 𝟏 𝟒 ∙𝐥𝐥𝐧𝐧𝐱𝐱+𝐂𝐂=

=− 𝟏 𝟒 𝟏𝟏 𝟏 𝟒 𝟒𝟒 𝟏 𝟒 ∙ 𝐥𝐧 𝟑− 𝒙 𝟒 𝐥𝐥𝐧𝐧 𝐥𝐧 𝟑− 𝒙 𝟒 𝟑− 𝒙 𝟒 𝟑𝟑− 𝒙 𝟒 𝒙𝒙 𝒙 𝟒 𝟒𝟒 𝒙 𝟒 𝟑− 𝒙 𝟒 𝐥𝐧 𝟑− 𝒙 𝟒 +C

Метод замены переменной Пример 4 𝒄𝒐𝒔 𝟓 𝒙∙𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙= 𝒕=𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒕= 𝒄𝒐𝒔𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=−𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙, −𝒅𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 = 𝒕 𝟓 −𝒅𝒕 = =− 𝒕 𝟓 𝒅𝒕=− 𝒕…

Метод замены переменной Пример 4 𝒄𝒐𝒔 𝟓 𝒙∙𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙= 𝒕=𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒕= 𝒄𝒐𝒔𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=−𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙, −𝒅𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 = 𝒕 𝟓 −𝒅𝒕 = =− 𝒕 𝟓 𝒅𝒕=− 𝒕…

Метод замены переменной

Пример 4

𝒄𝒐𝒔 𝟓 𝒙∙𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙= 𝒕=𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒕= 𝒄𝒐𝒔𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=−𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙, −𝒅𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 = 𝒕 𝟓 −𝒅𝒕 =

=− 𝒕 𝟓 𝒅𝒕=− 𝒕 𝟔 𝟔 +𝑪=− 𝒄𝒐𝒔 𝟔 𝒙 𝟔 +𝑪

Пример 5

𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒆 𝟐𝒙 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒆 𝟐𝒙 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒆 𝟐𝒙 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒆 𝟐𝒙 𝒆 𝒙 𝒆𝒆 𝒆 𝒙 𝒙𝒙 𝒆 𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒆 𝟐𝒙 𝟏𝟏+ 𝒆 𝟐𝒙 𝒆𝒆 𝒆 𝟐𝒙 𝟐𝟐𝒙𝒙 𝒆 𝟐𝒙 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒆 𝟐𝒙 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒆 𝟐𝒙 = 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒆 𝒙 𝟐 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒆 𝒙 𝟐 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒆 𝒙 𝟐 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒆 𝒙 𝟐 𝒆 𝒙 𝒆𝒆 𝒆 𝒙 𝒙𝒙 𝒆 𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒆 𝒙 𝟐 𝟏𝟏+ 𝒆 𝒙 𝟐 𝒆 𝒙 𝒆 𝒙 𝒆𝒆 𝒆 𝒙 𝒙𝒙 𝒆 𝒙 𝒆 𝒙 𝒆 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒆 𝒙 𝟐 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒆 𝒙 𝟐 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒆 𝒙 𝟐 = 𝒕= 𝒆 𝒙 𝒅𝒕= 𝒆 𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝒕= 𝒆 𝒙 𝒅𝒕= 𝒆 𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝒕𝒕= 𝒆 𝒙 𝒆𝒆 𝒆 𝒙 𝒙𝒙 𝒆 𝒙 𝒕= 𝒆 𝒙 𝒅𝒕= 𝒆 𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒅𝒕𝒕= 𝒆 𝒙 / 𝒆 𝒙 𝒆 𝒙 𝒆𝒆 𝒆 𝒙 𝒙𝒙 𝒆 𝒙 𝒆 𝒙 𝒆 𝒙 / / 𝒆 𝒙 / 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒕= 𝒆 𝒙 𝒅𝒕= 𝒆 𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒅𝒕𝒕= 𝒆 𝒙 𝒆𝒆 𝒆 𝒙 𝒙𝒙 𝒆 𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒕= 𝒆 𝒙 𝒅𝒕= 𝒆 𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝒕= 𝒆 𝒙 𝒅𝒕= 𝒆 𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒅𝒕 𝟏+ 𝒕 𝟐 𝒅𝒕 𝟏+ 𝒕 𝟐 𝒅𝒕 𝟏+ 𝒕 𝟐 𝒅𝒕 𝟏+ 𝒕 𝟐 𝒅𝒅𝒕𝒕 𝒅𝒕 𝟏+ 𝒕 𝟐 𝟏𝟏+ 𝒕 𝟐 𝒕𝒕 𝒕 𝟐 𝟐𝟐 𝒕 𝟐 𝒅𝒕 𝟏+ 𝒕 𝟐 𝒅𝒕 𝟏+ 𝒕 𝟐 =𝐚𝐚𝐫𝐫𝐜𝐜𝐭𝐭𝐠𝐠𝐭𝐭+𝐂𝐂=

=𝒂𝒂𝒓𝒓𝒄𝒄𝒕𝒕𝒈𝒈 𝒆 𝒙 𝒆𝒆 𝒆 𝒙 𝒙𝒙 𝒆 𝒙 +𝐂𝐂

Продолжите решения самостоятельно

Продолжите решения самостоятельно

Продолжите решения самостоятельно

Пример 6

𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟓 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙= 𝒕=𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= _______________ 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟓 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙= 𝒕=𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= _______________ 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟓 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙= 𝒕=𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= _______________ 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟓 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟑𝟑+𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟓 𝟓𝟓 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟓 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙= 𝒕=𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= _______________ 𝒕=𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= _______________ 𝒕𝒕=𝟑𝟑+𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙 𝒕=𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= _______________ 𝒅𝒅𝒕𝒕= 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟑𝟑+𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 / / 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒕=𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= _______________ 𝒅𝒅𝒕𝒕= _______________ 𝒕=𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= _______________ 𝒕=𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= _______________ 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟓 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙= 𝒕=𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= _______________ =…

Пример 7

𝒂𝒄𝒓𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝒂𝒄𝒓𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝒂𝒄𝒓𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝒂𝒄𝒓𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝒂𝒄𝒓𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒂𝒂𝒄𝒄𝒓𝒓𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒂𝒄𝒓𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝟐𝟐 𝒂𝒄𝒓𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒂𝒄𝒓𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝟏− 𝒙 𝟐 𝟏− 𝒙 𝟐 𝟏𝟏− 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 𝟏− 𝒙 𝟐 𝒂𝒄𝒓𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝒂𝒄𝒓𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 = 𝒕=𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=… 𝒕=𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=… 𝒕𝒕=𝒂𝒂𝒓𝒓𝒄𝒄𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙 𝒕=𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=… 𝒅𝒅𝒕𝒕= 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒂𝒂𝒓𝒓𝒄𝒄𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 / / 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒕=𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=… 𝒅𝒅𝒕𝒕=… 𝒕=𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=… 𝒕=𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=… = … … … … …

Пример 8

𝑙𝑛 3 𝑥𝑑𝑥 𝑥 = 𝑡= ln 𝑥 𝑑𝑡= ln 𝑥 / 𝑑𝑥 𝑑𝑡=… =… 𝑙𝑛 3 𝑥𝑑𝑥 𝑥 = 𝑡= ln 𝑥 𝑑𝑡= ln 𝑥 / 𝑑𝑥 𝑑𝑡=… =… 𝑙𝑛 3 𝑥𝑑𝑥 𝑥 = 𝑡= ln 𝑥 𝑑𝑡= ln 𝑥 / 𝑑𝑥 𝑑𝑡=… =… 𝑙𝑛 3 𝑥𝑑𝑥 𝑥 𝑙𝑛 3 𝑙𝑙𝑛𝑛 𝑙𝑛 3 3 𝑙𝑛 3 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑙𝑛 3 𝑥𝑑𝑥 𝑥 𝑥𝑥 𝑙𝑛 3 𝑥𝑑𝑥 𝑥 = 𝑡= ln 𝑥 𝑑𝑡= ln 𝑥 / 𝑑𝑥 𝑑𝑡=… 𝑡= ln 𝑥 𝑑𝑡= ln 𝑥 / 𝑑𝑥 𝑑𝑡=… 𝑡𝑡= ln 𝑥 ln ln 𝑥 𝑥𝑥 ln 𝑥 𝑡= ln 𝑥 𝑑𝑡= ln 𝑥 / 𝑑𝑥 𝑑𝑡=… 𝑑𝑑𝑡𝑡= ln 𝑥 / ln 𝑥 ln 𝑥 ln ln 𝑥 𝑥𝑥 ln 𝑥 ln 𝑥 ln 𝑥 / / ln 𝑥 / 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑡= ln 𝑥 𝑑𝑡= ln 𝑥 / 𝑑𝑥 𝑑𝑡=… 𝑑𝑑𝑡𝑡=… 𝑡= ln 𝑥 𝑑𝑡= ln 𝑥 / 𝑑𝑥 𝑑𝑡=… 𝑡= ln 𝑥 𝑑𝑡= ln 𝑥 / 𝑑𝑥 𝑑𝑡=… =… 𝑙𝑛 3 𝑥𝑑𝑥 𝑥 = 𝑡= ln 𝑥 𝑑𝑡= ln 𝑥 / 𝑑𝑥 𝑑𝑡=… =…

Подведем итоги! Повторили приемы непосредственного интегрирования

Подведем итоги! Повторили приемы непосредственного интегрирования

Подведем итоги!

Повторили приемы
непосредственного интегрирования

Узнали новые приемы
непосредственного интегрирования

Изучили новые методы интегрирования:
МЕТОД ПОДСТАНОВКИ

Рассмотрели и решили примеры на метод подстановки

До новых встреч!!!