Основные понятия комбинаторики.

Основные понятия комбинаторики.Основные правила комбинаторики.

ФИО преподавателя:
e-mail:

Сегодня на занятии

Вспомним, что такое комбинаторика.
Повторим правило произведения.
Перестановки, сочетания и размещения.
Рассмотрим некоторые комбинаторные задачи

В науке и на практике часто встречаются задачи, решая которые, возникает
необходимость составлять различные комбинации из конечного числа
элементов и подсчитывать число этих комбинаций. Такие задачи называют
комбинаторными задачами.

Комбинаторика

Раздел математики, в котором рассматривается решение комбинаторных задач, называют комбинаторикой.
Слово «комбинаторика» в переводе с латинского означает «соединять, сочетать».

Правило произведения

Если существует 𝑛𝑛 вариантов выбора первого элемента и для каждого
из них имеется 𝑚𝑚 вариантов выбора второго элемента, то всего существует
𝑛𝑛∙𝑚𝑚 различных пар с выбранными таким образом первым и вторым элементами.

Задача 1

Сколько различных двузначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 3, 5, 7?

Задача 1

Сколько различных двузначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 3, 5, 7?
Решение:
В качестве первой цифры двузначного числа может быть выбрана любая из цифр 1, 3, 5, 7.
𝑛𝑛=4

Задача 1

Сколько различных двузначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 3, 5, 7?
Решение:
В качестве первой цифры двузначного числа может быть выбрана любая из цифр 1, 3, 5, 7.
𝑛𝑛=4
В качестве второй цифры двузначного числа может быть выбрана любая из цифр 0, 1, 3, 5,7. 𝑚𝑚=5

Задача 1

Сколько различных двузначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 3, 5, 7?
Решение:
В качестве первой цифры двузначного числа может быть выбрана любая из цифр 1, 3, 5, 7.
𝑛𝑛=4
В качестве второй цифры двузначного числа может быть выбрана любая из цифр 0, 1, 3, 5,7. 𝑚𝑚=5
Число всевозможных двузначных чисел, составленных с помощью предложенных цифр, равно 4∙5, т. е. равно 20.

Задача 2:

Сколько различных трёхзначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 3, 5, 7?

Задача 2:

Сколько различных трёхзначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 3, 5, 7?
Решение: Первую цифру трёхзначного числа можно было выбрать 4 способами. 𝑛𝑛=4

Задача 2:

Сколько различных трёхзначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 3, 5, 7?
Решение: Первую цифру трёхзначного числа можно было выбрать 4 способами. 𝑛𝑛=4
Вторую цифру можно было присоединить к ней 5 способами. 𝑚𝑚=5

Задача 2:

Сколько различных трёхзначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 3, 5, 7?
Решение: Первую цифру трёхзначного числа можно было выбрать 4 способами. 𝑛𝑛=4
Вторую цифру можно было присоединить к ней 5 способами. 𝑚𝑚=5
Третью цифру к каждому получившемуся двузначному числу можно было присоединить также 5 способами. 𝑘𝑘=5
𝑛𝑛∙𝑚𝑚∙𝑘𝑘= 4∙5∙5=100

Вывод:

Этот пример показал, что для решения задачи правило произведения может применятся столько раз сколько необходимо.

Перестановки

Перестановками из 𝒏𝒏 элементов называются соединения, которые состоят из одних и тех же 𝒏𝒏 элементов и отличаются одно от другого только порядком их расположения.
Число перестановок из 𝒏𝒏 элементов обозначают 𝑷 𝒏 𝑷𝑷 𝑷 𝒏 𝒏𝒏 𝑷 𝒏 .
от другого только порядком их расположения.

Перестановки

𝑛𝑛!=1∙2∙3∙ … ∙(𝑛𝑛−1)∙𝑛𝑛

Перестановки

5!=1∙2∙3∙4∙5 =120
9!=1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9 =362 880
1!=1
0!=1

Задача 3:

Сколько существует способов разместить 5 книг на полке, если 2 из них должны стоять рядом?

Задача 3:

Сколько существует способов разместить 5 книг на полке, если 2 из них должны стоять рядом?
Решение:для размещения 5 книг на полке в любом порядке существует 5! возможных способов. Однако если 2 из них должны стоять рядом, то мы можем рассматривать эту пару как один объект. Тогда у нас останется 4 объекта, которые можно разместить в 4! возможных порядках. Кроме того, пара книг может стоять либо слева, либо справа, поэтому их можно разместить в 2 возможных положениях. Таким образом, общее число способов разместить 5 книг, где 2 из них стоят рядом, равно 2 * 4! = 48.

Задача 4:

Сколькими способами можно разместить на полке 7 дисков?

Задача 4:

Сколькими способами можно разместить на полке 7 дисков?
Решение:
Задача сводится к нахождению числа перестановок из семи элементов.
𝑃 7 𝑃𝑃 𝑃 7 7 𝑃 7 =7!= 1∙2∙3∙4∙5∙6∙7 = 5040
Ответ: разместить на полке 7 дисков можно 5040 способами.

Размещения

Рассмотрим буквы A,B,C,D и составим различные комбинации из двух букв:

Размещения

Рассмотрим буквы A,B,C,D и составим различные комбинации из двух букв:
AB AC AD

Размещения

Рассмотрим буквы A,B,C,D и составим различные комбинации из двух букв:
AB AC AD
BA BC BD

Размещения

Рассмотрим буквы A,B,C,D и составим различные комбинации из двух букв:
AB AC AD
BA BC BD
CA CB CD

Размещения

Рассмотрим буквы A,B,C,D и составим различные комбинации из двух букв:
AB AC AD
BA BC BD
CA CB CD
DA DB DC

Размещения

Рассмотрим буквы A,B,C,D и составим различные комбинации из двух букв:
AB AC AD
BA BC BD
CA CB CD
DA DB DC
Заметим, что комбинации AB и BA считаются различными, т.к. порядок имеет значение.

Размещения

Размещениями из 𝒎𝒎 элементов по 𝒏𝒏 элементов (𝒏𝒏≤𝒎𝒎)называются такие соединения, каждое из которых содержит 𝒏𝒏 элементов, взятых из данных 𝒎𝒎 разных элементов, и которые отличаются одно от другого либо самими элементами, либо порядком их расположения.
 
Число всевозможных размещений из 𝑚𝑚 элементов по 𝑛𝑛 элементов обозначают 𝐴 𝑚 𝑛 𝐴𝐴 𝐴 𝑚 𝑛 𝑚𝑚 𝐴 𝑚 𝑛 𝑛𝑛 𝐴 𝑚 𝑛 .
 

Размещения

𝐴 𝑚 𝑛 𝐴𝐴 𝐴 𝑚 𝑛 𝑚𝑚 𝐴 𝑚 𝑛 𝑛𝑛 𝐴 𝑚 𝑛 = 𝑚! 𝑚−𝑛 ! 𝑚𝑚! 𝑚! 𝑚−𝑛 ! 𝑚−𝑛 𝑚𝑚−𝑛𝑛 𝑚−𝑛 ! 𝑚! 𝑚−𝑛 !
 

Задача 5:

Сколько различных двузначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 3, 5, 7 при условии, что в каждой записи нет одинаковых цифр?

Задача 5:

Сколько различных двузначных чисел можно записать с помощью цифр
1, 3, 5, 7 при условии, что в каждой записи нет одинаковых цифр?
Решение:
В качестве первой цифры двузначного числа может быть выбрана любая
из цифр 1, 3, 5, 7.
В качестве второй цифры может быть выбрана любая из оставшихся трёх
цифр.
Число всевозможных двузначных чисел, удовлетворяющих условию задачи,
равно 4∙3, т. е. равно 12. 𝐴 4 2 𝐴𝐴 𝐴 4 2 4 𝐴 4 2 2 𝐴 4 2 =12
Ответ: 12 чисел.

Задача 6:

Сколькими способами можно обозначить вершины данного треугольника,
используя буквы 𝐴𝐴, 𝐵𝐵, 𝐶𝐶, 𝐷𝐷, 𝐸𝐸, 𝐹𝐹?

Задача 6:

Решение:
Надо найти число размещений из 6 элементов по 3 элемента в каждом.
𝐴 6 3 𝐴𝐴 𝐴 6 3 6 𝐴 6 3 3 𝐴 6 3 =120
Ответ: 120 способами можно обозначить вершины данного треугольника, используя буквы 𝐴𝐴, 𝐵𝐵, 𝐶𝐶, 𝐷𝐷, 𝐸𝐸, 𝐹𝐹.

Задача 7:

𝐴 12 5 + 𝐴 12 6 𝐴 12 4 𝐴 12 5 𝐴𝐴 𝐴 12 5 12 𝐴 12 5 5 𝐴 12 5 + 𝐴 12 6 𝐴𝐴 𝐴 12 6 12 𝐴 12 6 6 𝐴 12 6 𝐴 12 5 + 𝐴 12 6 𝐴 12 4 𝐴 12 4 𝐴𝐴 𝐴 12 4 12 𝐴 12 4 4 𝐴 12 4 𝐴 12 5 + 𝐴 12 6 𝐴 12 4 .

Задача 7:

Вычислить: 𝐴 12 5 + 𝐴 12 6 𝐴 12 4 𝐴 12 5 𝐴𝐴 𝐴 12 5 12 𝐴 12 5 5 𝐴 12 5 + 𝐴 12 6 𝐴𝐴 𝐴 12 6 12 𝐴 12 6 6 𝐴 12 6 𝐴 12 5 + 𝐴 12 6 𝐴 12 4 𝐴 12 4 𝐴𝐴 𝐴 12 4 12 𝐴 12 4 4 𝐴 12 4 𝐴 12 5 + 𝐴 12 6 𝐴 12 4
Решение: 𝐴 12 5 + 𝐴 12 6 𝐴 12 4 𝐴 12 5 𝐴𝐴 𝐴 12 5 12 𝐴 12 5 5 𝐴 12 5 + 𝐴 12 6 𝐴𝐴 𝐴 12 6 12 𝐴 12 6 6 𝐴 12 6 𝐴 12 5 + 𝐴 12 6 𝐴 12 4 𝐴 12 4 𝐴𝐴 𝐴 12 4 12 𝐴 12 4 4 𝐴 12 4 𝐴 12 5 + 𝐴 12 6 𝐴 12 4 = 12! 12−5 ! + 12! 12−6 ! 12! 12−4 ! 12! 12−5 ! 12! 12! 12−5 ! 12−5 12−5 12−5 ! 12! 12−5 ! + 12! 12−6 ! 12! 12! 12−6 ! 12−6 12−6 12−6 ! 12! 12−6 ! 12! 12−5 ! + 12! 12−6 ! 12! 12−4 ! 12! 12−4 ! 12! 12! 12−4 ! 12−4 12−4 12−4 ! 12! 12−4 ! 12! 12−5 ! + 12! 12−6 ! 12! 12−4 ! =
 = 12! 7! + 12! 6! 12! 8! 12! 7! 12! 12! 7! 7! 12! 7! + 12! 6! 12! 12! 6! 6! 12! 6! 12! 7! + 12! 6! 12! 8! 12! 8! 12! 12! 8! 8! 12! 8! 12! 7! + 12! 6! 12! 8! = 12! 7! + 12! 6! 12! 7! 12! 12! 7! 7! 12! 7! + 12! 6! 12! 12! 6! 6! 12! 6! 12! 7! + 12! 6! ∙ 8! 12! 8! 8! 12! 12! 8! 12! =
= 8! 7! 8! 8! 7! 7! 8! 7! + 8! 6! 8! 8! 6! 6! 8! 6! = 7!∙8 7! 7!∙8 7!∙8 7! 7! 7!∙8 7! + 6!∙7∙8 6! 6!∙7∙8 6!∙7∙8 6! 6! 6!∙7∙8 6! =8+7∙8=64.

Задача 8:

Сколькими способами из 30 учеников класса могут быть выбраны староста и редактор стенгазеты?

Задача 8:

Решение: Задача сводится к нахождению числа размещений из 30 элементов по 2 элемента в каждом.
𝑚𝑚=30, 𝑛𝑛=2.

𝐴 30 2 𝐴𝐴 𝐴 30 2 30 𝐴 30 2 2 𝐴 30 2 = 30! 30−2 ! 30! 30! 30−2 ! 30−2 30−2 30−2 ! 30! 30−2 ! = 30! 28! 30! 30! 28! 28! 30! 28! = 28!∙29∙30 28! 28!∙29∙30 28!∙29∙30 28! 28! 28!∙29∙30 28! =29∙30=870.

Ответ: 870 способами могут быть выбраны староста и редактор стенгазеты из 30 учеников класса.

Сочетания

Рассмотрим буквы A,B,C,D и составим различные комбинации(сочетания) по два элемента(порядок не важен) т.е. AB и BA считается как одна комбинация.

Сочетания

Рассмотрим буквы A,B,C,D и составим различные комбинации(сочетания) по два элемента(порядок не важен) т.е. AB и BA считается как одна комбинация.
AB AC AD
BC BD CD

Сочетания

Сочетаниями из 𝒎𝒎 элементов по 𝒏𝒏 элементов в каждом (𝒏𝒏≤𝒎𝒎) называются соединения, каждое из которых содержит 𝒏𝒏 элементов, взятых из данных 𝒎𝒎 разных элементов, и которые отличаются одно от другого по крайней мере одним элементом.
Число всевозможных сочетаний из 𝑚𝑚 различных элементов по 𝑛𝑛 элементов обозначают 𝐶 𝑚 𝑛 𝐶𝐶 𝐶 𝑚 𝑛 𝑚𝑚 𝐶 𝑚 𝑛 𝑛𝑛 𝐶 𝑚 𝑛 .

Задача 9:

Сколькими способами из 25 учеников класса можно выбрать на конференцию двух делегатов?

Задача 9:

Решение: Выбранные из класса 2 ученика без учёта порядка их расположения в наборе являются сочетаниями из 25 по 2.

𝐶 25 2 𝐶𝐶 𝐶 25 2 25 𝐶 25 2 2 𝐶 25 2 = 25! 25−2 !∙2! 25! 25! 25−2 !∙2! 25−2 25−2 25−2 !∙2! 25! 25−2 !∙2! = 25! 23!∙2! 25! 25! 23!∙2! 23!∙2! 25! 23!∙2! = 23!∙24∙25 23!∙2! 23!∙24∙25 23!∙24∙25 23!∙2! 23!∙2! 23!∙24∙25 23!∙2! = 24∙25 1∙2 24∙25 24∙25 1∙2 1∙2 24∙25 1∙2 =300
 
Ответ: 300 способами можно выбрать на конференцию двух делегатов из 25 учеников класса.

Свойства сочетаний

Свойство 1.
𝑪 𝒎 𝒏 𝑪𝑪 𝑪 𝒎 𝒏 𝒎𝒎 𝑪 𝒎 𝒏 𝒏𝒏 𝑪 𝒎 𝒏 = 𝑪 𝒎 𝒎−𝒏 𝑪𝑪 𝑪 𝒎 𝒎−𝒏 𝒎𝒎 𝑪 𝒎 𝒎−𝒏 𝒎𝒎−𝒏𝒏 𝑪 𝒎 𝒎−𝒏

Свойства сочетаний

Свойство 1.
𝑪 𝒎 𝒏 𝑪𝑪 𝑪 𝒎 𝒏 𝒎𝒎 𝑪 𝒎 𝒏 𝒏𝒏 𝑪 𝒎 𝒏 = 𝑪 𝒎 𝒎−𝒏 𝑪𝑪 𝑪 𝒎 𝒎−𝒏 𝒎𝒎 𝑪 𝒎 𝒎−𝒏 𝒎𝒎−𝒏𝒏 𝑪 𝒎 𝒎−𝒏
Доказательство:
𝐶 𝑚 𝑛 𝐶𝐶 𝐶 𝑚 𝑛 𝑚𝑚 𝐶 𝑚 𝑛 𝑛𝑛 𝐶 𝑚 𝑛 = 𝑚! 𝑚−𝑛 !∙𝑛! 𝑚𝑚! 𝑚! 𝑚−𝑛 !∙𝑛! 𝑚−𝑛 𝑚𝑚−𝑛𝑛 𝑚−𝑛 !∙𝑛𝑛! 𝑚! 𝑚−𝑛 !∙𝑛!
𝐶 𝑚 𝑚−𝑛 𝐶𝐶 𝐶 𝑚 𝑚−𝑛 𝑚𝑚 𝐶 𝑚 𝑚−𝑛 𝑚𝑚−𝑛𝑛 𝐶 𝑚 𝑚−𝑛 = 𝑚! 𝑚−(𝑚−𝑛) !∙(𝑚−𝑛)! 𝑚𝑚! 𝑚! 𝑚−(𝑚−𝑛) !∙(𝑚−𝑛)! 𝑚−(𝑚−𝑛) 𝑚𝑚−(𝑚𝑚−𝑛𝑛) 𝑚−(𝑚−𝑛) !∙(𝑚𝑚−𝑛𝑛)! 𝑚! 𝑚−(𝑚−𝑛) !∙(𝑚−𝑛)! = 𝑚! 𝑛!∙(𝑚−𝑛)! 𝑚𝑚! 𝑚! 𝑛!∙(𝑚−𝑛)! 𝑛𝑛!∙(𝑚𝑚−𝑛𝑛)! 𝑚! 𝑛!∙(𝑚−𝑛)!
Таким образом, получили 𝐶 𝑚 𝑛 𝐶𝐶 𝐶 𝑚 𝑛 𝑚𝑚 𝐶 𝑚 𝑛 𝑛𝑛 𝐶 𝑚 𝑛 = 𝐶 𝑚 𝑚−𝑛 𝐶𝐶 𝐶 𝑚 𝑚−𝑛 𝑚𝑚 𝐶 𝑚 𝑚−𝑛 𝑚𝑚−𝑛𝑛 𝐶 𝑚 𝑚−𝑛 .

Свойства сочетаний

Свойство 2(рекуррентное свойство).

𝐶 𝑚 𝑛 𝐶𝐶 𝐶 𝑚 𝑛 𝑚𝑚 𝐶 𝑚 𝑛 𝑛𝑛 𝐶 𝑚 𝑛 + 𝐶 𝑚 𝑛+1 𝐶𝐶 𝐶 𝑚 𝑛+1 𝑚𝑚 𝐶 𝑚 𝑛+1 𝑛𝑛+1 𝐶 𝑚 𝑛+1 = 𝐶 𝑚+1 𝑛+1 𝐶𝐶 𝐶 𝑚+1 𝑛+1 𝑚𝑚+1 𝐶 𝑚+1 𝑛+1 𝑛𝑛+1 𝐶 𝑚+1 𝑛+1

Свойства сочетаний

Свойство 2(рекуррентное свойство).
𝐶 𝑚 𝑛 𝐶𝐶 𝐶 𝑚 𝑛 𝑚𝑚 𝐶 𝑚 𝑛 𝑛𝑛 𝐶 𝑚 𝑛 + 𝐶 𝑚 𝑛+1 𝐶𝐶 𝐶 𝑚 𝑛+1 𝑚𝑚 𝐶 𝑚 𝑛+1 𝑛𝑛+1 𝐶 𝑚 𝑛+1 = 𝐶 𝑚+1 𝑛+1 𝐶𝐶 𝐶 𝑚+1 𝑛+1 𝑚𝑚+1 𝐶 𝑚+1 𝑛+1 𝑛𝑛+1 𝐶 𝑚+1 𝑛+1
Доказательство:

Свойства сочетаний

Задача 10: Вычислить
𝐶 15 12 𝐶𝐶 𝐶 15 12 15 𝐶 15 12 12 𝐶 15 12 + 𝐶 15 13 𝐶𝐶 𝐶 15 13 15 𝐶 15 13 13 𝐶 15 13

Свойства сочетаний

Решение:
𝐶 15 12 𝐶𝐶 𝐶 15 12 15 𝐶 15 12 12 𝐶 15 12 + 𝐶 15 13 𝐶𝐶 𝐶 15 13 15 𝐶 15 13 13 𝐶 15 13 = 𝐶 16 13 𝐶𝐶 𝐶 16 13 16 𝐶 16 13 13 𝐶 16 13 = 16! 16−13 !∙13! 16! 16! 16−13 !∙13! 16−13 16−13 16−13 !∙13! 16! 16−13 !∙13! = 16! 3!∙13! 16! 16! 3!∙13! 3!∙13! 16! 3!∙13! =

= 13!∙14∙15∙16 3!∙13! 13!∙14∙15∙16 13!∙14∙15∙16 3!∙13! 3!∙13! 13!∙14∙15∙16 3!∙13! = 14∙15∙16 1∙2∙3 14∙15∙16 14∙15∙16 1∙2∙3 1∙2∙3 14∙15∙16 1∙2∙3 =560

Задание 1

Сколько различных двузначных чисел можно записать, используя цифры 1, 2, 3 и 4?

Задание 1

Сколько различных двузначных чисел можно записать, используя цифры 1, 2, 3 и 4?
Решение: В качестве первой цифры числа может быть выбрана любая из цифр 1, 2, 3 и 4.
𝑛𝑛=4
В качестве второй цифры числа может быть выбрана любая из цифр 1, 2, 3 и 4.
𝑚𝑚=4
Число всевозможных двузначных чисел, составленных с помощью предложенных четырёх цифр: 𝑛𝑛∙𝑚𝑚 =4∙4 =16.
Ответ: 16.
 

Задание 2

Сколько различных четырёхбуквенных слов можно записать с помощью букв «м» и «а»?

Задание 2

Сколько различных четырёхбуквенных слов можно записать с помощью букв «м» и «а»?
Решение:
Каждая их четырёх букв составляемого слова последовательно выбирается из имеющихся двух букв.
«мммм», «ммма», «ааам», «аама» и т.д.
2∙2∙2∙2 =16
Ответ: 16.

Задание 3

Сколькими способами можно составить расписание шести уроков на один день из шести различных учебных предметов?

Задание 3

Сколькими способами можно составить расписание шести уроков на один день из шести различных учебных предметов?
Решение: Первым уроком можно поставить любой из шести предметов. 𝒏𝒏=𝟔𝟔
Вторым уроком можно поставить любой из пяти оставшихся предметов. 𝑚𝑚=5
Третьим уроком можно поставить любой из четырёх оставшихся предметов. 𝑘𝑘=4

Задание 3

Сколькими способами можно составить расписание шести уроков на один день из шести различных учебных предметов?
Решение: Четвёртым уроком можно поставить любой из оставшихся трёх предметов. 𝑝𝑝=3
Пятым уроком можно поставить любой из оставшихся двух предметов. 𝑠𝑠=2
Шестым уроком будет оставшийся предмет. 𝑡𝑡=1
𝑛𝑛∙𝑚𝑚∙𝑘𝑘∙𝑝𝑝∙𝑠𝑠∙𝑡𝑡 =6∙5∙4∙3∙2∙1=720
Ответ: 720.

Задание 4

Сколькими способами можно установить дежурство по одному человеку в день среди семи учащихся группы в течение 7 дней (каждый должен отдежурить один день)?

Задание 4

Сколькими способами можно установить дежурство по одному человеку в день среди семи учащихся группы в течение 7 дней (каждый должен отдежурить один день)?
Решение:
𝑛𝑛=7,
𝑃 7 𝑃𝑃 𝑃 7 7 𝑃 7 =7! =1∙2∙3∙4∙5∙6∙7=5040.
Ответ: установить дежурство по одному человеку в день среди семи учащихся группы в течение 7 дней можно 5040 способами.

Задание 5:

Сколько пятизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы последней была цифра 4?

Задание 5:

Сколько пятизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы последней была цифра 4?
Решение: Т. к. последней цифрой пятизначного числа должна быть цифра 4, то задача сводится к нахождению числа перестановок из четырёх оставшихся цифр.
𝑛𝑛=4,
𝑃 4 𝑃𝑃 𝑃 4 4 𝑃 4 =4! =1∙2∙3∙4 =24.
Ответ: 24 пятизначных числа, которые не содержат одинаковых цифр, можно записать с помощью данных цифр так, чтобы последней была цифра 4.

Задание 6:

Сколько пятизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы первой была цифра 2, а второй – цифра 3?

Задание 6:

Сколько пятизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы первой была цифра 2, а второй – цифра 3?
Решение: Т. к. первой цифрой пятизначного числа должна быть цифра 2, а второй – цифра 3, то задача сводится к нахождению числа перестановок из трёх оставшихся цифр.
𝑛𝑛=3, 𝑃 3 𝑃𝑃 𝑃 3 3 𝑃 3 =3!=1∙2∙3 =6.
Ответ: 6 пятизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр, можно записать с помощью данных цифр так, чтобы первой была цифра

Задание 7:

Найдите значения:
а) 19! 18! 19! 19! 18! 18! 19! 18! ; б) 22! 20! 22! 22! 20! 20! 22! 20! ; в) 6! ∙ 4! 8! 6! ∙ 4! 6! ∙ 4! 8! 8! 6! ∙ 4! 8! ; г) 10! 8! ∙ 3! 10! 10! 8! ∙ 3! 8! ∙ 3! 10! 8! ∙ 3! .

Задание 7:

Решение:
а) 19! 18! 19! 19! 18! 18! 19! 18! = 18! ∙ 19 18! 18! ∙ 19 18! ∙ 19 18! 18! 18! ∙ 19 18! = 19;

Задание 7:

Решение:
а) 19! 18! 19! 19! 18! 18! 19! 18! = 18! ∙ 19 18! 18! ∙ 19 18! ∙ 19 18! 18! 18! ∙ 19 18! = 19;
б) 22! 20! 22! 22! 20! 20! 22! 20! = 20! ∙ 21 ∙ 22 20! 20! ∙ 21 ∙ 22 20! ∙ 21 ∙ 22 20! 20! 20! ∙ 21 ∙ 22 20! = 21∙22=462;

Задание 7:

Решение:
а) 19! 18! 19! 19! 18! 18! 19! 18! = 18! ∙ 19 18! 18! ∙ 19 18! ∙ 19 18! 18! 18! ∙ 19 18! = 19;
б) 22! 20! 22! 22! 20! 20! 22! 20! = 20! ∙ 21 ∙ 22 20! 20! ∙ 21 ∙ 22 20! ∙ 21 ∙ 22 20! 20! 20! ∙ 21 ∙ 22 20! = 21∙22=462;

в) 6! ∙ 4! 8! 6! ∙ 4! 6! ∙ 4! 8! 8! 6! ∙ 4! 8! = 6! ∙ 4! 6! ∙ 7 ∙ 8 6! ∙ 4! 6! ∙ 4! 6! ∙ 7 ∙ 8 6! ∙ 7 ∙ 8 6! ∙ 4! 6! ∙ 7 ∙ 8 = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 7 ∙ 8 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 7 ∙ 8 7 ∙ 8 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 7 ∙ 8 = 3 7 3 3 7 7 3 7 ;

Задание 7:

Решение:
а) 19! 18! 19! 19! 18! 18! 19! 18! = 18! ∙ 19 18! 18! ∙ 19 18! ∙ 19 18! 18! 18! ∙ 19 18! = 19;
б) 22! 20! 22! 22! 20! 20! 22! 20! = 20! ∙ 21 ∙ 22 20! 20! ∙ 21 ∙ 22 20! ∙ 21 ∙ 22 20! 20! 20! ∙ 21 ∙ 22 20! = 21∙22=462;

в) 6! ∙ 4! 8! 6! ∙ 4! 6! ∙ 4! 8! 8! 6! ∙ 4! 8! = 6! ∙ 4! 6! ∙ 7 ∙ 8 6! ∙ 4! 6! ∙ 4! 6! ∙ 7 ∙ 8 6! ∙ 7 ∙ 8 6! ∙ 4! 6! ∙ 7 ∙ 8 = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 7 ∙ 8 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 7 ∙ 8 7 ∙ 8 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 7 ∙ 8 = 3 7 3 3 7 7 3 7 ;
г) 10! 8! ∙ 3! 10! 10! 8! ∙ 3! 8! ∙ 3! 10! 8! ∙ 3! = 8! ∙ 9 ∙ 10 8! ∙ 3! 8! ∙ 9 ∙ 10 8! ∙ 9 ∙ 10 8! ∙ 3! 8! ∙ 3! 8! ∙ 9 ∙ 10 8! ∙ 3! = 9 ∙ 10 1 ∙ 2 ∙ 3 9 ∙ 10 9 ∙ 10 1 ∙ 2 ∙ 3 1 ∙ 2 ∙ 3 9 ∙ 10 1 ∙ 2 ∙ 3 =15.

Задание 8:

Упростите выражение: 𝑝 𝑛+2 𝑝 𝑛+1 𝑝 𝑛+2 𝑝𝑝 𝑝 𝑛+2 𝑛𝑛+2 𝑝 𝑛+2 𝑝 𝑛+2 𝑝 𝑛+1 𝑝 𝑛+1 𝑝𝑝 𝑝 𝑛+1 𝑛𝑛+1 𝑝 𝑛+1 𝑝 𝑛+2 𝑝 𝑛+1

Задание 8:

Упростите выражение: 𝑝 𝑛+2 𝑝 𝑛+1 𝑝 𝑛+2 𝑝𝑝 𝑝 𝑛+2 𝑛𝑛+2 𝑝 𝑛+2 𝑝 𝑛+2 𝑝 𝑛+1 𝑝 𝑛+1 𝑝𝑝 𝑝 𝑛+1 𝑛𝑛+1 𝑝 𝑛+1 𝑝 𝑛+2 𝑝 𝑛+1
Решение:

𝑝 𝑛+2 𝑝 𝑛+1 = 𝑛+2 ! 𝑛+1 ! =

= 1⋅2⋅3⋅⋯𝑛⋅ 𝑛+1 ⋅ 𝑛+2 1⋅2⋅3⋅…⋅𝑛⋅ 𝑛+1 1⋅2⋅3⋅⋯𝑛𝑛⋅ 𝑛+1 𝑛𝑛+1 𝑛+1 ⋅ 𝑛+2 𝑛𝑛+2 𝑛+2 1⋅2⋅3⋅⋯𝑛⋅ 𝑛+1 ⋅ 𝑛+2 1⋅2⋅3⋅…⋅𝑛⋅ 𝑛+1 1⋅2⋅3⋅…⋅𝑛𝑛⋅ 𝑛+1 𝑛𝑛+1 𝑛+1 1⋅2⋅3⋅⋯𝑛⋅ 𝑛+1 ⋅ 𝑛+2 1⋅2⋅3⋅…⋅𝑛⋅ 𝑛+1 =𝑛𝑛+2

Задание 9:

Решите уравнение: 𝑝 𝑛+2 𝑝 ℎ+1 𝑝 𝑛+2 𝑝𝑝 𝑝 𝑛+2 𝑛𝑛+2 𝑝 𝑛+2 𝑝 𝑛+2 𝑝 ℎ+1 𝑝 ℎ+1 𝑝𝑝 𝑝 ℎ+1 ℎ+1 𝑝 ℎ+1 𝑝 𝑛+2 𝑝 ℎ+1 =5

Задание 9:

Решите уравнение: 𝑝 𝑛+2 𝑝 ℎ+1 𝑝 𝑛+2 𝑝𝑝 𝑝 𝑛+2 𝑛𝑛+2 𝑝 𝑛+2 𝑝 𝑛+2 𝑝 ℎ+1 𝑝 ℎ+1 𝑝𝑝 𝑝 ℎ+1 ℎ+1 𝑝 ℎ+1 𝑝 𝑛+2 𝑝 ℎ+1 =5
Решение: 𝑛+2 ! ℎ+1 ! 𝑛+2 𝑛𝑛+2 𝑛+2 ! 𝑛+2 ! ℎ+1 ! ℎ+1 ℎ+1 ℎ+1 ! 𝑛+2 ! ℎ+1 ! =5

Задание 9:

Решите уравнение: 𝑝 𝑛+2 𝑝 ℎ+1 𝑝 𝑛+2 𝑝𝑝 𝑝 𝑛+2 𝑛𝑛+2 𝑝 𝑛+2 𝑝 𝑛+2 𝑝 ℎ+1 𝑝 ℎ+1 𝑝𝑝 𝑝 ℎ+1 ℎ+1 𝑝 ℎ+1 𝑝 𝑛+2 𝑝 ℎ+1 =5
Решение: 𝑛+2 ! ℎ+1 ! 𝑛+2 𝑛𝑛+2 𝑛+2 ! 𝑛+2 ! ℎ+1 ! ℎ+1 ℎ+1 ℎ+1 ! 𝑛+2 ! ℎ+1 ! =5
1⋅2⋅3∙...∙𝑛⋅ 𝑛+1 ⋅ 𝑛+2 1⋅2∙3⋅...∙𝑛⋅ 𝑛+1 1⋅2⋅3∙...∙𝑛𝑛⋅ 𝑛+1 𝑛𝑛+1 𝑛+1 ⋅ 𝑛+2 𝑛𝑛+2 𝑛+2 1⋅2⋅3∙...∙𝑛⋅ 𝑛+1 ⋅ 𝑛+2 1⋅2∙3⋅...∙𝑛⋅ 𝑛+1 1⋅2∙3⋅...∙𝑛𝑛⋅ 𝑛+1 𝑛𝑛+1 𝑛+1 1⋅2⋅3∙...∙𝑛⋅ 𝑛+1 ⋅ 𝑛+2 1⋅2∙3⋅...∙𝑛⋅ 𝑛+1 =5

Задание 9:

Решите уравнение: 𝑝 𝑛+2 𝑝 ℎ+1 𝑝 𝑛+2 𝑝𝑝 𝑝 𝑛+2 𝑛𝑛+2 𝑝 𝑛+2 𝑝 𝑛+2 𝑝 ℎ+1 𝑝 ℎ+1 𝑝𝑝 𝑝 ℎ+1 ℎ+1 𝑝 ℎ+1 𝑝 𝑛+2 𝑝 ℎ+1 =5
Решение: 𝑛+2 ! ℎ+1 ! 𝑛+2 𝑛𝑛+2 𝑛+2 ! 𝑛+2 ! ℎ+1 ! ℎ+1 ℎ+1 ℎ+1 ! 𝑛+2 ! ℎ+1 ! =5
1⋅2⋅3∙...∙𝑛⋅ 𝑛+1 ⋅ 𝑛+2 1⋅2∙3⋅...∙𝑛⋅ 𝑛+1 1⋅2⋅3∙...∙𝑛𝑛⋅ 𝑛+1 𝑛𝑛+1 𝑛+1 ⋅ 𝑛+2 𝑛𝑛+2 𝑛+2 1⋅2⋅3∙...∙𝑛⋅ 𝑛+1 ⋅ 𝑛+2 1⋅2∙3⋅...∙𝑛⋅ 𝑛+1 1⋅2∙3⋅...∙𝑛𝑛⋅ 𝑛+1 𝑛𝑛+1 𝑛+1 1⋅2⋅3∙...∙𝑛⋅ 𝑛+1 ⋅ 𝑛+2 1⋅2∙3⋅...∙𝑛⋅ 𝑛+1 =5
𝑛𝑛+2=5

Задание 9:

Решите уравнение: 𝑝 𝑛+2 𝑝 ℎ+1 𝑝 𝑛+2 𝑝𝑝 𝑝 𝑛+2 𝑛𝑛+2 𝑝 𝑛+2 𝑝 𝑛+2 𝑝 ℎ+1 𝑝 ℎ+1 𝑝𝑝 𝑝 ℎ+1 ℎ+1 𝑝 ℎ+1 𝑝 𝑛+2 𝑝 ℎ+1 =5
Решение: 𝑛+2 ! ℎ+1 ! 𝑛+2 𝑛𝑛+2 𝑛+2 ! 𝑛+2 ! ℎ+1 ! ℎ+1 ℎ+1 ℎ+1 ! 𝑛+2 ! ℎ+1 ! =5
1⋅2⋅3∙...∙𝑛⋅ 𝑛+1 ⋅ 𝑛+2 1⋅2∙3⋅...∙𝑛⋅ 𝑛+1 1⋅2⋅3∙...∙𝑛𝑛⋅ 𝑛+1 𝑛𝑛+1 𝑛+1 ⋅ 𝑛+2 𝑛𝑛+2 𝑛+2 1⋅2⋅3∙...∙𝑛⋅ 𝑛+1 ⋅ 𝑛+2 1⋅2∙3⋅...∙𝑛⋅ 𝑛+1 1⋅2∙3⋅...∙𝑛𝑛⋅ 𝑛+1 𝑛𝑛+1 𝑛+1 1⋅2⋅3∙...∙𝑛⋅ 𝑛+1 ⋅ 𝑛+2 1⋅2∙3⋅...∙𝑛⋅ 𝑛+1 =5
𝑛𝑛+2=5
𝑛𝑛=5−2

Задание 9:

Решите уравнение: 𝑝 𝑛+2 𝑝 ℎ+1 𝑝 𝑛+2 𝑝𝑝 𝑝 𝑛+2 𝑛𝑛+2 𝑝 𝑛+2 𝑝 𝑛+2 𝑝 ℎ+1 𝑝 ℎ+1 𝑝𝑝 𝑝 ℎ+1 ℎ+1 𝑝 ℎ+1 𝑝 𝑛+2 𝑝 ℎ+1 =5
Решение: 𝑛+2 ! ℎ+1 ! 𝑛+2 𝑛𝑛+2 𝑛+2 ! 𝑛+2 ! ℎ+1 ! ℎ+1 ℎ+1 ℎ+1 ! 𝑛+2 ! ℎ+1 ! =5
1⋅2⋅3∙...∙𝑛⋅ 𝑛+1 ⋅ 𝑛+2 1⋅2∙3⋅...∙𝑛⋅ 𝑛+1 1⋅2⋅3∙...∙𝑛𝑛⋅ 𝑛+1 𝑛𝑛+1 𝑛+1 ⋅ 𝑛+2 𝑛𝑛+2 𝑛+2 1⋅2⋅3∙...∙𝑛⋅ 𝑛+1 ⋅ 𝑛+2 1⋅2∙3⋅...∙𝑛⋅ 𝑛+1 1⋅2∙3⋅...∙𝑛𝑛⋅ 𝑛+1 𝑛𝑛+1 𝑛+1 1⋅2⋅3∙...∙𝑛⋅ 𝑛+1 ⋅ 𝑛+2 1⋅2∙3⋅...∙𝑛⋅ 𝑛+1 =5
𝑛𝑛+2=5
𝑛𝑛=5−2
𝑛𝑛=3
Ответ: 𝑛𝑛=3

Задание 10:

Найдите значения выражений:
а) 𝐴 11 3 − 𝐴 10 2 𝐴 9 1 𝐴 11 3 𝐴𝐴 𝐴 11 3 11 𝐴 11 3 3 𝐴 11 3 − 𝐴 10 2 𝐴𝐴 𝐴 10 2 10 𝐴 10 2 2 𝐴 10 2 𝐴 11 3 − 𝐴 10 2 𝐴 9 1 𝐴 9 1 𝐴𝐴 𝐴 9 1 9 𝐴 9 1 1 𝐴 9 1 𝐴 11 3 − 𝐴 10 2 𝐴 9 1 ; б) 𝐴 12 4 ∙ 𝐴 7 7 𝐴 11 9 𝐴 12 4 𝐴𝐴 𝐴 12 4 12 𝐴 12 4 4 𝐴 12 4 ∙ 𝐴 7 7 𝐴𝐴 𝐴 7 7 7 𝐴 7 7 7 𝐴 7 7 𝐴 12 4 ∙ 𝐴 7 7 𝐴 11 9 𝐴 11 9 𝐴𝐴 𝐴 11 9 11 𝐴 11 9 9 𝐴 11 9 𝐴 12 4 ∙ 𝐴 7 7 𝐴 11 9 .

Задание 10:

Найдите значения выражений: а) 𝐴 11 3 − 𝐴 10 2 𝐴 9 1 𝐴 11 3 𝐴𝐴 𝐴 11 3 11 𝐴 11 3 3 𝐴 11 3 − 𝐴 10 2 𝐴𝐴 𝐴 10 2 10 𝐴 10 2 2 𝐴 10 2 𝐴 11 3 − 𝐴 10 2 𝐴 9 1 𝐴 9 1 𝐴𝐴 𝐴 9 1 9 𝐴 9 1 1 𝐴 9 1 𝐴 11 3 − 𝐴 10 2 𝐴 9 1 ;
Решение:
А) 𝐴 11 3 − 𝐴 10 2 𝐴 9 1 𝐴 11 3 𝐴𝐴 𝐴 11 3 11 𝐴 11 3 3 𝐴 11 3 − 𝐴 10 2 𝐴𝐴 𝐴 10 2 10 𝐴 10 2 2 𝐴 10 2 𝐴 11 3 − 𝐴 10 2 𝐴 9 1 𝐴 9 1 𝐴𝐴 𝐴 9 1 9 𝐴 9 1 1 𝐴 9 1 𝐴 11 3 − 𝐴 10 2 𝐴 9 1 = 11! 11−3 ! − 10! 10−2 ! 9 11! 11−3 ! 11! 11! 11−3 ! 11−3 11−3 11−3 ! 11! 11−3 ! − 10! 10−2 ! 10! 10! 10−2 ! 10−2 10−2 10−2 ! 10! 10−2 ! 11! 11−3 ! − 10! 10−2 ! 9 9 11! 11−3 ! − 10! 10−2 ! 9 = 11! 8! − 10! 8! 9 11! 8! 11! 11! 8! 8! 11! 8! − 10! 8! 10! 10! 8! 8! 10! 8! 11! 8! − 10! 8! 9 9 11! 8! − 10! 8! 9 =
= 11! 8!∙9 11! 11! 8!∙9 8!∙9 11! 8!∙9 − 10! 8!∙9 10! 10! 8!∙9 8!∙9 10! 8!∙9 = 8!∙9∙10∙11 8!∙9 8!∙9∙10∙11 8!∙9∙10∙11 8!∙9 8!∙9 8!∙9∙10∙11 8!∙9 − 8!∙9∙10 8!∙9 8!∙9∙10 8!∙9∙10 8!∙9 8!∙9 8!∙9∙10 8!∙9 =
=10∙11−10=100;

Задание 10:

Найдите значения выражений: б) 𝐴 12 4 ∙ 𝐴 7 7 𝐴 11 9 𝐴 12 4 𝐴𝐴 𝐴 12 4 12 𝐴 12 4 4 𝐴 12 4 ∙ 𝐴 7 7 𝐴𝐴 𝐴 7 7 7 𝐴 7 7 7 𝐴 7 7 𝐴 12 4 ∙ 𝐴 7 7 𝐴 11 9 𝐴 11 9 𝐴𝐴 𝐴 11 9 11 𝐴 11 9 9 𝐴 11 9 𝐴 12 4 ∙ 𝐴 7 7 𝐴 11 9 .
Решение:
Б) 𝐴 12 4 ∙ 𝐴 7 7 𝐴 11 9 𝐴 12 4 𝐴𝐴 𝐴 12 4 12 𝐴 12 4 4 𝐴 12 4 ∙ 𝐴 7 7 𝐴𝐴 𝐴 7 7 7 𝐴 7 7 7 𝐴 7 7 𝐴 12 4 ∙ 𝐴 7 7 𝐴 11 9 𝐴 11 9 𝐴𝐴 𝐴 11 9 11 𝐴 11 9 9 𝐴 11 9 𝐴 12 4 ∙ 𝐴 7 7 𝐴 11 9 = 12! 12−4 ! ∙7! 11! 11−9 ! 12! 12−4 ! 12! 12! 12−4 ! 12−4 12−4 12−4 ! 12! 12−4 ! ∙7! 12! 12−4 ! ∙7! 11! 11−9 ! 11! 11−9 ! 11! 11! 11−9 ! 11−9 11−9 11−9 ! 11! 11−9 ! 12! 12−4 ! ∙7! 11! 11−9 ! = 12! 8! ∙7! 11! 2! 12! 8! 12! 12! 8! 8! 12! 8! ∙7! 12! 8! ∙7! 11! 2! 11! 2! 11! 11! 2! 2! 11! 2! 12! 8! ∙7! 11! 2! =
= 12!∙7!∙2! 11!∙8! 12!∙7!∙2! 12!∙7!∙2! 11!∙8! 11!∙8! 12!∙7!∙2! 11!∙8! = 11!∙12∙7!∙2! 11!∙7!∙8 11!∙12∙7!∙2! 11!∙12∙7!∙2! 11!∙7!∙8 11!∙7!∙8 11!∙12∙7!∙2! 11!∙7!∙8 = 12∙1∙2 8 12∙1∙2 12∙1∙2 8 8 12∙1∙2 8 =3.

Задание 11:

Решите уравнение 𝐴 𝑚+1 2 𝐴𝐴 𝐴 𝑚+1 2 𝑚𝑚+1 𝐴 𝑚+1 2 2 𝐴 𝑚+1 2 =156.

Задание 11:

Решите уравнение: 𝐴 𝑚+1 2 𝐴𝐴 𝐴 𝑚+1 2 𝑚𝑚+1 𝐴 𝑚+1 2 2 𝐴 𝑚+1 2 =156.
Решение: 𝑚𝑚≥1 и 𝑚𝑚∈ℕ.
𝐴 𝑚+1 2 𝐴𝐴 𝐴 𝑚+1 2 𝑚𝑚+1 𝐴 𝑚+1 2 2 𝐴 𝑚+1 2 =156
(𝑚+1)! 𝑚+1−2 ! (𝑚𝑚+1)! (𝑚+1)! 𝑚+1−2 ! 𝑚+1−2 𝑚𝑚+1−2 𝑚+1−2 ! (𝑚+1)! 𝑚+1−2 ! =156,
(𝑚+1)! 𝑚−1 ! (𝑚𝑚+1)! (𝑚+1)! 𝑚−1 ! 𝑚−1 𝑚𝑚−1 𝑚−1 ! (𝑚+1)! 𝑚−1 ! =156,

Задание 11:

Решите уравнение: 𝐴 𝑚+1 2 𝐴𝐴 𝐴 𝑚+1 2 𝑚𝑚+1 𝐴 𝑚+1 2 2 𝐴 𝑚+1 2 =156.
Решение: 𝑚𝑚≥1 и 𝑚𝑚∈ℕ.
(𝑚−1)!∙𝑚∙(𝑚+1) 𝑚−1 ! (𝑚𝑚−1)!∙𝑚𝑚∙(𝑚𝑚+1) (𝑚−1)!∙𝑚∙(𝑚+1) 𝑚−1 ! 𝑚−1 𝑚𝑚−1 𝑚−1 ! (𝑚−1)!∙𝑚∙(𝑚+1) 𝑚−1 ! =156,
𝑚𝑚(𝑚𝑚+1)=156,
𝑚 2 𝑚𝑚 𝑚 2 2 𝑚 2 +𝑚𝑚=156,
𝑚 2 𝑚𝑚 𝑚 2 2 𝑚 2 +𝑚𝑚−156=0,
𝑚 1 𝑚𝑚 𝑚 1 1 𝑚 1 =−13, 𝑚 2 𝑚𝑚 𝑚 2 2 𝑚 2 =12.
𝑚 1 𝑚𝑚 𝑚 1 1 𝑚 1 =−13 – посторонний корень.
Ответ: 𝑚𝑚=12.

Задание 12:

В помещении 20 ламп. Сколько существует разных вариантов освещения, при котором должны светиться только 18 ламп?

Задание 12:

В помещении 20 ламп. Сколько существует разных вариантов освещения, при котором должны светиться только 18 ламп?
Решение: Из 20 ламп надо составить различные варианты освещения, при котором светится только 18 ламп.
𝑚𝑚=20, 𝑛𝑛=18.
Варианты должны отличаться друг от друга только составом.
𝐶 20 18 𝐶𝐶 𝐶 20 18 20 𝐶 20 18 18 𝐶 20 18 = 20! 20−18 !∙18! 20! 20! 20−18 !∙18! 20−18 20−18 20−18 !∙18! 20! 20−18 !∙18! = 20! 2!∙18! 20! 20! 2!∙18! 2!∙18! 20! 2!∙18! = 18!∙19∙20 2!∙18! 18!∙19∙20 18!∙19∙20 2!∙18! 2!∙18! 18!∙19∙20 2!∙18! = 19∙20 1∙2 19∙20 19∙20 1∙2 1∙2 19∙20 1∙2 =190
 
Ответ: существует 190 разных вариантов освещения, при котором светятся только 18 ламп.

Задание 13:

Найдите значения выражений:
а) 𝐶 11 2 𝐶𝐶 𝐶 11 2 11 𝐶 11 2 2 𝐶 11 2 + 𝐶 11 3 𝐶𝐶 𝐶 11 3 11 𝐶 11 3 3 𝐶 11 3 ; б) 𝐶 21 4 𝐶𝐶 𝐶 21 4 21 𝐶 21 4 4 𝐶 21 4 − 𝐶 20 4 𝐶𝐶 𝐶 20 4 20 𝐶 20 4 4 𝐶 20 4 .

Задание 13:

Найдите значения выражений:
а) 𝐶 11 2 𝐶𝐶 𝐶 11 2 11 𝐶 11 2 2 𝐶 11 2 + 𝐶 11 3 𝐶𝐶 𝐶 11 3 11 𝐶 11 3 3 𝐶 11 3 ; б) 𝐶 21 4 𝐶𝐶 𝐶 21 4 21 𝐶 21 4 4 𝐶 21 4 − 𝐶 20 4 𝐶𝐶 𝐶 20 4 20 𝐶 20 4 4 𝐶 20 4 .
Решение:
а) 𝐶 11 2 𝐶𝐶 𝐶 11 2 11 𝐶 11 2 2 𝐶 11 2 + 𝐶 11 3 𝐶𝐶 𝐶 11 3 11 𝐶 11 3 3 𝐶 11 3 = 𝐶 12 3 𝐶𝐶 𝐶 12 3 12 𝐶 12 3 3 𝐶 12 3 = 12! 12−3 !∙3! 12! 12! 12−3 !∙3! 12−3 12−3 12−3 !∙3! 12! 12−3 !∙3! = 12! 9!∙3! 12! 12! 9!∙3! 9!∙3! 12! 9!∙3! =

= 9!∙10∙11∙12 9!∙3! 9!∙10∙11∙12 9!∙10∙11∙12 9!∙3! 9!∙3! 9!∙10∙11∙12 9!∙3! = 10∙11∙12 1∙2∙3 10∙11∙12 10∙11∙12 1∙2∙3 1∙2∙3 10∙11∙12 1∙2∙3 =220

Задание 13:

Найдите значения выражений:
б) 𝐶 21 4 𝐶𝐶 𝐶 21 4 21 𝐶 21 4 4 𝐶 21 4 − 𝐶 20 4 𝐶𝐶 𝐶 20 4 20 𝐶 20 4 4 𝐶 20 4 .
Решение:б) 𝐶 21 4 𝐶𝐶 𝐶 21 4 21 𝐶 21 4 4 𝐶 21 4 − 𝐶 20 4 𝐶𝐶 𝐶 20 4 20 𝐶 20 4 4 𝐶 20 4 = 21! 21−4 !∙4! 21! 21! 21−4 !∙4! 21−4 21−4 21−4 !∙4! 21! 21−4 !∙4! − 20! 20−4 !∙4! 20! 20! 20−4 !∙4! 20−4 20−4 20−4 !∙4! 20! 20−4 !∙4! =
= 21! 17!∙4! 21! 21! 17!∙4! 17!∙4! 21! 17!∙4! − 20! 16!∙4! 20! 20! 16!∙4! 16!∙4! 20! 16!∙4! = 20! 16!∙4! 20! 20! 16!∙4! 16!∙4! 20! 16!∙4! 21 17 −1 21 17 21 21 17 17 21 17 −1 21 17 −1 =
 
= 20!∙4 16!∙4!∙17 20!∙4 20!∙4 16!∙4!∙17 16!∙4!∙17 20!∙4 16!∙4!∙17 = 16!∙17∙18∙19∙20∙4 16!∙4!∙17 16!∙17∙18∙19∙20∙4 16!∙17∙18∙19∙20∙4 16!∙4!∙17 16!∙4!∙17 16!∙17∙18∙19∙20∙4 16!∙4!∙17 = 18∙19∙20∙4 1∙2∙3∙4 18∙19∙20∙4 18∙19∙20∙4 1∙2∙3∙4 1∙2∙3∙4 18∙19∙20∙4 1∙2∙3∙4 =1140.

Задание 14

Из города 𝐴𝐴 в город 𝐵𝐵 ведут две дороги, из города 𝐵𝐵 в город 𝐶𝐶 – три дороги, из города 𝐶𝐶 в город 𝐷𝐷 – две дороги. Путешественник хочет проехать из города 𝐴𝐴 через города 𝐵𝐵 и 𝐶𝐶 в город 𝐷𝐷. Сколькими способами он может выбрать маршрут?

Задание 14

Спасибо за внимание!