Основные алгоритмы алгебры
7 – 9 классов
Алгоритм решения линейных уравнений
Уравнение вида , где a,b действительные числа, называется линейным.
1. Преобразовать левую и правую части уравнения к виду , для этого нужно раскрыть скобки (если они есть) или привести дробные слагаемые к общему знаменателю (если нужно).
2. Перенести все члены, содержащие неизвестную, влево, а все известные члены – вправо (при переносе членов из одной части в другую изменяем их знак на противоположный).
3. Приводим подобные члены в левой и правой частях уравнения.
4. Число, стоящее справа, делим на число, стоящее перед неизвестной.
5. Записываем ответ (результат деления – корень исходного уравнения).
Пример
Решить самостоятельно
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
16506101931.doc
Основные алгоритмы алгебры
7 – 9 классов
Уравнение вида
ax
Алгоритм решения линейных уравнений
0 b
, где a,b действительные числа, называется линейным.
1. Преобразовать левую и правую части уравнения к виду
ax , для этого нужно раскрыть
b
скобки (если они есть) или привести дробные слагаемые к общему знаменателю (если нужно).
2. Перенести все члены, содержащие неизвестную, влево, а все известные члены – вправо (при
переносе членов из одной части в другую изменяем их знак на противоположный).
3. Приводим подобные члены в левой и правой частях уравнения.
4. Число, стоящее справа, делим на число, стоящее перед неизвестной.
5. Записываем ответ (результат деления – корень исходного уравнения).
Пример
;15
;151
x
x
1
x
5
3
1
x
5
x
35
5
x
3
x
5
x
;20
8
.5,2
x
Ответ
.
3
x
15
x
.5,2
;15
;5
;4,1
x
;9,0
1
;48,1
4
x
4
16
4
x
4
3
x
x
.31
x
.
Ответ
;12
3
3
x
12
1
x
3
;12
16
;3
x
.31
Решить самостоятельно
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
;4
x
x
x
2,0
6,291
3,14,0
7,33,2
x
5,1
8,1
x
79,6
x
3
x
;9,5
543
;4
26
x
x
52,0
x
23,0
x
2
5
7
x
9
9
47,7
2,7
;
x
x
;3
x
19
135
2
x
;5,76
5,151
x
x
2
5
x
3
x
6
3
5
x
6
3
x
x
4
8
x
31
3
12
.1
;2
;3
3
x
1
4
2
x
3
5
4
6
2
; Алгоритм решения линейных неравенств
Неравенство вида
ax
0 b
, где a,b действительные числа, называется линейным.
1. Преобразовать левую и правую части неравенства к виду
ax , для этого нужно раскрыть
b
скобки (если они есть) или привести дробные слагаемые к общему знаменателю (если нужно).
2. Перенести все члены, содержащие неизвестную, влево, а все известные члены – вправо (при
переносе членов из одной части в другую изменяем их знак на противоположный).
3. Приводим подобные члены в левой и правой частях неравенства.
4. Число, стоящее справа, делим на число, стоящее перед неизвестной (при делении на
отрицательное число меняем знак неравенства).
5. Записываем ответ в виде неравенства или числового промежутка.
;1
36
6
43
Пример
2
2
23
x
x
;3
4
36
2
x
x
x
2
6
x
;36
4
;35
x
35
4
3
4
8
x
x
;
.
.
Ответ
x
8
3
4
.
;3
Решить самостоятельно
1.
2.
3.
4.
5.
;74
x
16
3
x
;43
x
6
x
17
;8,1
132
x
x
5,1
5,0
2
x
x
8,1
x
5
2,1
x
3
6
x
2
3
2
31
3
12
x
3
x
9
6
32
x
4
6
6.
7.
8.
9.
10.
;
x
;0
;1
x
x
x
2
3
x
2
3
4
7
3
x
;1
x
;27
x
.
x
Алгоритм решения квадратных уравнений
Уравнение вида
квадратным.
2
ax
bx
0
c
, где a,b,c
действительные числа,
0a
называется 1. Выпиши значения a,b,c и вычисли дискриминант
bD
, то находим корни уравнения по формуле
2. Если
0D
2
x
2,1
3. Если
, то находим корни уравнения по формуле
x
1
.
b
ac
4
2
a
x
2
D
b
2
a
.
.
, то уравнение не имеет действительных корней.
2
ax
bx
0
c
,
0a
,
b
,0 c
0
, то получим уравнение:
6. Если в уравнении
2
ax
bx
0
c
,
0a
,
b
,0 c
0
, то получим уравнение:
0D
0D
4. Если
5. Если в уравнении
2
ax
axx
bx
b
;0
;0
b
a
.
2
;0
x
x
1
Пример
x
12
4
x
x
x
4
12
x
;0
x
1
2
2
;0
;0
.3
2
ax
;0
2
x
;
c
c
a
x
2,1
Если
c
a
c
a
0
7. Если в уравнении
;0
2
ax
x
.0
;
.0
c
a
, то нет действительных корней.
2
ax
bx
0
c
,
0a
,
b
,0 c
0
, то получим уравнение:
2
Решить самостоятельно
1.
2.
3.
;0
;0
;0
x
x
2
x
2 2
x
x
16
2
1 2 x
2
x
3 2
5
x
8
3 2
x
x
Алгоритм разложения квадратного трехчлена на множители
;08
.03
;50
4.
5.
6.
1. Реши квадратное уравнение
2
ax
bx
множители).
2. Подставь
1; xx
2
в формулу
2
ax
bx
c
0
xac
x
x
1
.2
x
(если корней нет, то нельзя разложить на
Пример. Разложить на множители
2 2
x
3
x
1
. 2
xa
;2
a
bD
2)
3
x
b
4
2
b
2
a
13
x
2,1
;01
;3
;1
c
ac
;189
D
13
4
4
13
;1
4
x
1
x
;
2
1
2
;
xb
2)
2
3
x
21
x
1
x
1
2
.
Ответ.
2
x
1
x
1
2
.
Решить самостоятельно
;
;
9
4
Разложить на множители квадратные трехчлены
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
x
;
x
20
2
2 2
x
17
x
x
2 2
7
x
;
4
5
x
x
2
2 2
x
3
9
x
x
;
x
6
2
x
2 2
7
x
6
;
.
Сократить дробь
1.
2.
2
x
2
x
2
x
x
2
2
3
;
16
4
x
1
x
3
x
5
6
.
Алгоритм решения квадратных уравнений
2
x
px
0
q
по теореме Виета.
1. Выпиши p, q из уравнения
2
x
px
0
q
, используя условие, что
x
1
x
1
2
x
x
.
q
2
p
,
2. Подбери пары чисел, которые при умножении дадут число q.
3. Вычисли сумму каждой пары, чтобы получить – p.
Пример 2
2
2
x
;04
,3
;4
3
x
x
24
p
x
x
1
x
1
2
q
;14
3
,4
.1
x
x
1
x
x
;4 2
Ответ.
1
.1
14
2
;41
2
2
2
Решить самостоятельно
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
2
x
;03
x
3
;02
12
x
7
x
;06
x
5
5
x
10
21
x
x
13
2
;06
;06
30
x
x
x
x
x
x
x
x
;0
.0
;0
2
2
2
2
Алгоритм построения графика линейной функции
Функция вида
kx
y
0b
b
), возрастает (если
0k
) и убывает (если
0k
).
y
kx
b
, где bk,
постоянные, называется линейной.
линейная функция, график прямая, не проходит через начало координат (так как
1. Возьмем любое значение x и подставим его значение в уравнение
точку с координатами
точку с координатами
1
1; yx
2
2; yx
.
.
2. Возьмем любое значение x и подставим его значение в уравнение
y
kx
b
(вместо x). Получим
y
kx
b
(вместо x). Получим
3. Отметим полученные точки на координатной плоскости и проведем через них прямую.
Пример
Постройте график функции
y
3 x
1
. 3 x
1
линейная функция, график прямая, не проходит через начало координат (так как
y
0b
x
1)
1
x
2)
3) отметим полученные точки на координатной плоскости и проведем через них прямую
), возрастает (т.к.
y
,0 1
103
2;1;2113
y
,1 2
;
1;0;1
0k
).
;
2
Решить самостоятельно
Построить графики данных функций и найти координаты точек пересечения графика с осями
координат.
1)
2)
;
3
y
y
;
2 x
3
x
2
1 x
2 x
2 x
2
;
1
5,0
.
;
3)
4)
5)
y
y
y
Алгоритм построения графика квадратичной функции
Функция вида
y
ax
2
bx
,
ac
0
называется квадратичной.
квадратичная функция, график парабола, ветви которой направлены вверх
2
,
ac
0
bx
0a
) или вниз (если
ax
y
(если
1. Находим координаты вершины параболы
2. Проводим ось симметрии
0a
).
0x
yx
0
;
0
;
x
0
;
y
0
xy
0
.
b
2
a
x (прямую, параллельную оси Оу, проходящую через вершину
параболы).
3. Находим нули функции (абсциссы точек пересечения параболы с осью Ох), для этого решим
. Если уравнение не имеет действительных корней, то парабола не
2
0
c
уравнение
bx
пересекает ось Ох.
ax
4. Находим дополнительные точки, для этого возьмем любое значение x и подставим его значение
. Возьмем
(вместо x). Получим
в уравнение
любое значение x и подставим его значение в уравнение
точку с координатами
(вместо x). Получим точку с координатами
2
1
1; yx
2
2
2; yx
bx
ax
bx
ax
c
y
c
y
. 5. Отметим полученные точки на координатной плоскости (точки, симметричные дополнительным
точкам). Соединим полученные точки плавной линией и продолжим ветви параболы.
квадратичная функция, график парабола, ветви которой направлены вверх (если
2
Пример. Построить график функции
y
x
0a
).
1. Находим координаты вершины параболы
3
2
y
x
x
2
2
x
3
.
x
0
b
2
a
2
12
;1
y
0
y
1
1x
параболы).
312
1
2
4;1;4
B
вершина параболы.
2. Проводим ось симметрии
(прямую, параллельную оси Оу, проходящую через вершину
3. Находим нули функции (абсциссы точек пересечения параболы с осью Ох), для этого решим
уравнение
;1
4. Находим дополнительные точки: а)
5. Отметим полученные точки на координатной плоскости (точки, симметричные дополнительным
3;0;3
y
;2 2
3
.
y
;0 1
;03
5;2
x
2
x
1
; б)
;5
x
1
2
x
x
x
.
2
2
точкам). Соединим полученные точки плавной линией и продолжим ветви параболы.
2
;
5
Решить самостоятельно
Построить графики следующих функций:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
4
x
;
4
x
;
x
2
5
x
2
;
2
x
.
4
x
2
x
x
2
x
x
2 x
y
y
y
y
y
y
6
;
2
Алгоритм построения графика обратно пропорциональной
зависимости
называется обратно пропорциональной зависимостью.
x
,
0
k
x
Функция вида
y
k
x
y
x
,
0
обратно пропорциональная зависимость, график гипербола, состоит из двух ветвей,
расположенных в 1 и 3 четвертях (если
Убывает при
, если
;0
x
0k
0
x
) и во 2 и 4 четвертях (если
, если
;0
x
0
x
; возрастает при
0k
).
0k
0k
1. Возьмем любое положительное значение
1x и подставим его значение в формулу
получим точку
1
1; yx
.
2. Возьмем любое положительное значение
2x и подставим его значение в формулу
получим точку
2; yx
2
.
3. Возьмем любое положительное значение
3x и подставим его значение в формулу
получим точку
3; yx
3
.
k
y ,
x
k
y ,
x
k
y ,
x
4. При необходимости можно задать еще две точки.
5. Отметим заданные точки и точки, им симметричные, на координатной плоскости. Соединим
плавной линией точки в 1 (2) четверти и в 3 (4) четверти. Пример
Построить график функции
4 обратно пропорциональная зависимость, график гипербола, состоит из двух ветвей,
4 .
x
y
y
x
x
x
;0
0
.
0k
0x
расположенных во 2 и 4 четвертях (
1. Область определения функции:
2. Функция нечетная (график симметричен относительно начала координат).
;0
3. Функция возрастает при
4. Точки: а) (1;4); б) (2;2); в) (4;1).
5. Отметим заданные точки и точки, им симметричные, на координатной плоскости. Соединим
), возрастает при
.
x
0
x
.
плавной линией точки в 2 и в 4 четвертях.
Требования к рабочей тетради
1. Рабочая тетрадь по математике в 5 и 6 классах должна быть 12 листов в клетку с
полями, отведенными красной пастой.
2. Все записи должны вестись аккуратно, ручкой с синей пастой.
3. Работа в тетради начинается с записи «Классная работа» или «Домашняя работа»,
дата записывается на полях, например, 21.09.
4. Указывается тема урока.
5. Записи с доски или под диктовку учителя.
6. Выполнение самостоятельных заданий.
При записи заданий необходимо выполнение следующих
требований:
1. Расстояние между работами 4 клетки.
2. Расстояние от полей или от края страницы 1 клетка. 3. Записи ведутся в столбик, с соблюдением размерности, аккуратно, при
перечислении ставятся запятые.
4. Задания выделяются номером из учебника или порядковым номером.
5. Выполнение задания начинается со слова «Решение» и заканчивается словом
«Ответ».
6. Цифры пишутся в каждой клетке.
7. Исправления нужно выполнять аккуратно, зачеркивая неверное решение одной
чертой.
8. Использование корректора недопустимо.
9. При написании математических терминов (в случае затруднения) используйте
терминологический словарь.
Алгоритм решения геометрических задач
1. Прочитай внимательно условие задачи.
2. Выбери главную ключевую геометрическую фигуру, повторите ее определение и
свойства. Из них выделите те свойства, которые будут использованы при решении
задачи.
3. Условно разделите лист тетради на две части. Справа запишите краткое условие
задачи, начиная с ключевой фигуры (допускаются условные обозначения и
символы).
4. Устно проанализируйте условие задачи.
5. Слева выполните чертеж по условию задачи.
6. Задачи на вычисление геометрических величин начинаем со слова «Решение»;
задачи на доказательство начинаем со слова «Доказательство»; задачи на
построение начинаем со слова «Построение». 7. При решении любой геометрической задачи выделяем этапы решения, каждый
этап решения сопровождаем теоретическим обоснованием геометрических
фактов.
8. При решении задач на вычисление, сначала записываются равенства в
геометрической форме, а затем в алгебраической форме.
9. Проверьте результат вычислений на соответствие геометрическим фактам.
10.Запишите ответ.
Алгоритм решения систем уравнения
Решение систем уравнений 1 степени с двумя переменными способом сложения
1. Умножим обе части каждого уравнения на такое число, чтобы коэффициенты при
одной из неизвестных стали противоположными числами в двух уравнениях.
2. Сложим уравнения почленно, получим уравнение с одной переменной.
3. Решим полученное уравнение.
4. Подставим корень уравнения в любое уравнение системы и найдем значение
второй переменной.
0
0; yx
5. Ответ записываем в виде
Пример
x
3
2
y
4
x
y
1. Умножим обе части второго уравнения на 3 и сложим уравнения почленно:
;5
.3
.
x
2
12
x
x
14
x
3
y
,5
3
,9
y
.14
.1
2. Подставим
1x
во второе уравнение, найдем y:
14
y
;3
y
.1 .
1;1
Ответ.
Решение систем уравнений с двумя переменными способом подстановки
1. Из уравнения первой степени выразим одну переменную через другую.
2. Подставим полученное выражение вместо переменной в другое уравнение.
3. Решаем полученное уравнение.
4. Каждый корень подставим в выражение из п.1 и найдем вторую переменную.
5. Ответ записываем в виде
Пример
;3
.5
1. Выразим из первого уравнения у через х:
2. Подставим выражение
вместо у во второе уравнение:
0
0; yx
x3
y
xy
x
2
x
3
x
y
.
.
2
2
x
2
x
x
x
3
2
bD
3
x
2
x
x
3
5
x
2
4
ac
73
4
;5
;5
;0
9
4
40
x
1
D
.0
;49
73
;5,2
x
3. Найдем у: если
Ответ.
;.5,0;.5,2
Решите самостоятельно а)
2
5,2x
4;.1
.1
, то
.
y
5,23
5,0
; если
1x
, то
y
)1(3
4
.
x
2
5
x
3
y
y
,11
.2
б)
x
2
3
y
y
x
,22
.2
в)
xy
x
y
,14
.5
г)
2
x
x
xy
y
,12
.2
Алгоритм решения систем неравенств
1. Решаем каждое неравенство отдельно.
2. Изображаем решение каждого неравенства системы на одной числовой прямой
(штриховкой). Промежуток на оси, где штриховки «пересекутся» и будет
решением системы; если общих точек нет, то система не имеет решения.
3. Ответ записываем в виде неравенства или в виде числового промежутка.
Пример
,10
3
7
x
.5
2
x
x
x
,10
3
7
x
,7
3
10
x
3
,3
.1
x
а)
Ответ. (5; 1) или
Пример
5
x
1
.
б)
2
2
x
,5
x
x
x
x
.5
,5
в)
x
x
,1
.5
2
2
2
x
,0
6
2
.0
3
2
x
x
3
2
2
,0
x
x
2
2)
3
xa
2
x
2
4
9
;25
bD
ac
b
D
53
4
2
a
x
2)
x
2,1
1
2
16
x
1
,0
,0
2
x
;
b
x
1
2
;
x
.2
,0
2
2
x
x
x
6
,6
.3
Ответ.
x
x
1
;
x
2
.3
;3
.
3x
или
D
,0
;2
x
2
53
4
1
2
,
,2
x
.3
Решить самостоятельно
а)
б)
,11
x
.01
3
6 2
x
4
x
x
12
5
x
,01
5
x
.01
63
6
x
x
5
,12
.4
в)
10
,01
4
2
x
x
x
.1
г)
x
2
10
6
x
3
.0
x
8
,0
д)
bx
c
,0
a
0
.
Алгоритм решения квадратных неравенств
Графический метод решения квадратных неравенств
1. Рассмотрим функцию
0
ax
ax
y
2
и построим эскиз ее графика, для этого
определим направление ветвей параболы и найдем нули функции (если они есть).
2. По графику определяем, при каких значениях x функция принимает
,
ac
bx
2
положительные и отрицательные значения.
3. Решением неравенства являются такие значения x , при которых знак
неравенства совпадает со знаком функции.
Пример
Решить неравенство
x
2
1. Рассмотрим функцию
x
2
03
.
y
x
2
2
x
3
параболы направлены вверх, так как
x
,03
,3
1
2
x
x
x
2
.
2
1
и построим эскиз ее графика: а) ветви
; б) найдем нули функции
,1 a
0
a
2. По графику определяем, что при
x
,1
x
3
функция принимает положительные
значения и при
1
x
3
функция принимает отрицательные значения. 3. Решением неравенства являются такие значения x , при которых знак
неравенства совпадает со знаком функции, то есть
x
,1
x
3
.
.
x
x
3
,1
Ответ.
Решение квадратных неравенств методом интервалов (применяем при решении
квадратных неравенств, для которых
1. Найдем такие значения x , при которых выражение
2. Разложим левую часть неравенства на множители (используем способы
и решаем
имеет действительные корни)
разложения многочленов на множители)
неравенство
bx
методом интервалов.
равно нулю.
xa
0
xa
2
2
ax
bx
ax
bx
ax
x
1
0
x
x
x
x
x
c
c
c
2
2
2
1
3. Отметим полученные числа на числовой прямой и определим знак выражения
на каждом числовом промежутке (методом пробной точки или с
ax
помощью теоремы о старшем коэффициенте квадратного трехчлена).
2
bx
c
4. Выбираем решение по знаку неравенства: а)
x
1
2
x
x
там где «–».
x
Пример
Решить неравенство
1. Найдем такие значения x , при которых выражение
03
2
x
x
.
2
2
x
2
x
,03
x
1
,3
x
2
1
.
x
1,
x
x
2
там где «+»; б)
2
x
2
x
3
равно нулю:
2. Разложим левую часть неравенства на множители:
1
и решаем неравенство
1
3
3
x
x
x
2
x
2
x
интервалов.
x
3
0
методом
3. Отметим полученные числа 1 и 3 на числовой прямой и определим знак
выражения
x
2
2
x
3
4. Выбираем решение по знаку неравенства: а)
Ответ.
,1
3
x
x
.
на каждом числовом промежутке.
.
3
,1
x
x
Основные алгоритмы алгебры 7 – 9 классов
Основные алгоритмы алгебры 7 – 9 классов
Основные алгоритмы алгебры 7 – 9 классов
Основные алгоритмы алгебры 7 – 9 классов
Основные алгоритмы алгебры 7 – 9 классов
Основные алгоритмы алгебры 7 – 9 классов
Основные алгоритмы алгебры 7 – 9 классов
Основные алгоритмы алгебры 7 – 9 классов
Основные алгоритмы алгебры 7 – 9 классов
Основные алгоритмы алгебры 7 – 9 классов
Основные алгоритмы алгебры 7 – 9 классов
Основные алгоритмы алгебры 7 – 9 классов
Основные алгоритмы алгебры 7 – 9 классов
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
30.03.2018
Посмотрите также:
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
О портале
