Особенности решения тригонометрических уравнений в рамках подготовки к ЕГЭ

Особенности решение тригонометрических уравнений в рамках подготовки к ЕГЭ на профильном уровне

(из личного опыта)

1.      Преподавание тригонометрии в старших классах

Термин «тригонометрия» дословно означает «измерение треугольников». Понятие «тригонометрия» ввел в употребление в 1595 году немецкий математик и богослов Варфоломей Питиск, автор учебника по тригонометрии и тригонометрических таблиц. В тригонометрии выделяют три вида соотношений:

· между элементами плоского треугольника (тригонометрия на плоскости);

· между элементами сферического треугольника, то есть фигуры, высекаемой на сфере тремя плоскостями, проходящими через её центр (сферическая геометрия);

· между самими тригонометрическими функциями.

В настоящее время тригонометрические функции лежат в основе специального математического аппарата, так называемого гармонического анализа, при помощи которого изучаются различного рода периодические процессы: колебательные движения, распространение волн, некоторые атмосферные явления и пр.

Тригонометрические уравнения одна из самых сложных тем в школьном курсе. Тригонометрические уравнения возникают при решении задач по планиметрии, стереометрии, астрономии, физики и в других областях. Тригонометрические уравнения и их системы из года в год встречаются среди заданий ЕГЭ для 11 класса (задание 6,7,13 профильная математика). Именно задачи такого типа развивают сообразительность, смекалку, догадливость, находчивость в учениках. Самое важное отличие тригонометрических уравнений от алгебраических состоит в том, что в алгебраических уравнениях имеют конечное число корней, а в тригонометрических – бесконечное.

         В первом пункте задания №13 варианта профильного ЕГЭ по математике необходимо просто решить тригонометрическое уравнение. Второй пункт заключается в отборе корней, полученных в результате верного решения исходного уравнения, вписывающихся в отрезок на тригонометрической окружности. По данным ФИПИ всего 44,4% учащихся по РФ на 2025 год смогли полностью решить уравнение и верно отобрать корни. В источнике данную проблему аргументируют тем, что пятая часть участников экзамена, верно решивших уравнение, ошибается в отборе корней̆. Из данного высказывания следует вывод о том, что часть учащихся даже после верного нахождения корней уравнения, не может привести обоснованное решение второй части задания. Притом способ отбора может быть любым: математически корректными и обоснованными являются решения как с помощью окружности, так и по средству прямой̆ или неравенства. Но в каждом из этих способов должны быть указаны ключевые элементы решения. Это свидетельствует о том, что учащиеся недостаточно осведомлены о способах решения данной задачи. Можно сделать вывод о том, что компонентами эффективной подготовки к решению тригонометрического уравнения являются прежде всего наличие учебно-методического обеспечения учащегося, а также регулярная практика в решении типовых задач разными способами.

Для решения тригонометрического уравнения существует несколько методик: разложение на множители многочлена, введение новой переменной (метод подстановки), умножение или деление обеих частей равенства на выражение, применение формул приведения, использование тригонометрических формул (к примеру, формулы понижения степени), а также формулы сокращенного умножения. Анализируя ошибки, возникающие при отборе корней на данном в условии второй части задания отрезке, приходим к выводу, что следствием возникновения ошибки при решении уравнения является неверно решенная вторая часть задания. Данная проблема часто встречается в решениях с использованием способа разложения на множители выражения и способа с умножением или делением обеих частей равенства на какое-либо выражение. В таком случае может быть нарушено тождество левой и правой части уравнения. Как следствие, появление лишних корней, реже, потеря корней. Чтобы избежать данной ошибки, необходимо найти все возможные корни, а затем проверить исходное уравнение для каждого из возможных ответов, и исключить те, для которых оно не имеет смысла. Например, после разложения на множители выражения и приравнивания одного сомножителя к нулю, необходимо указать, что второй сомножитель при этом не будет обращен в бесконечность.

Выделяют четыре способа отбора корней на отрезке числовой окружности: арифметический, алгебраический, геометрический и функционально-графический. Последний способ используется крайне редко ввиду необходимости построения графиков для тригонометрических функций. Арифметический способ требует подстановки корней в уравнение и в данные в задаче ограничения. Геометрический способ имеет преимущество перед другими, так как требует минимального количества вычислений, однако, в случае неверного изображения тригонометрической окружности, есть риск ошибиться в выборе корней. Числовую окружность можно смоделировать и интерпретировать как окружность, вокруг которой оборачивается координатная прямая. С каждым оборотом, к воображаемой точке, взятой на окружности, прибавляется 2π. Или же, если отрезок на окружности дан по условию отрицательный, вычитается 2π.

К проблемам, касающимся неверного отбора корней, можно отнести и малую осведомленность учащихся о поиске корней на числовой окружности, в том числе и неумение геометрически проиллюстрировать решение уравнений. Стоит учесть и то, что у каждого обучающегося индивидуальная скорость усваивания информации, также каждый школьник самостоятельно выбирает более предпочтительный ему способ решения задач.

2.      Технология решения тригонометрического уравнения с отбором корней на заданном промежутке.

Работая над данной проблемой, у меня сложилась определенная система, которая позволяет:

· сформировать целостное понятие о тригонометрии;

· повысить мотивацию изучения тригонометрии;

· повысить качество знаний учащихся;

· повысить уровень образовательного процесса в целом.

Приведу примерный план решения задания №13 из варианта ЕГЭ (профильный уровень).

1.                      Внимательно посмотреть на уравнение, особое внимание уделить аргументам;

2.                      Определить какие преобразования необходимо произвести для упрощения исходного уравнения.

3.                      При необходимости перейти на составление системы, равносильной первоначальному уравнению.

4.                      Выписать тригонометрические формулы, подходящие для преобразования данного уравнения;

5.                      Свести уравнение к простейшим тригонометрическим уравнениям, найти все корни таких уравнений. Решение простейших тригонометрических уравнений делать с использованием единичной окружности!

6.                      Внимательно прочитать условие второй части задания.

7.                      Выбрать наиболее комфортный способ отбора корней уравнения. Как правило, в подавляющей большинстве уравнений, при отборе корней используется единичная окружность или же двойное неравенство.

8.                      Определить корни, удовлетворяющие отрезку, данному во второй части задания.

3. Пример теоретического материала по тригонометрии, оформленного моими учащимися 11 класса в виде карточек.