Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью
Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью.
Подготовила: Ракчеева Валерия 10Б
Перпендикуляр и наклонная Отрезок
Перпендикуляр и наклонная
Отрезок AH называется перпендикуляром,
опущенным из точки А на эту плоскость,
точка Н — основание этого перпендикуляра.
Любой отрезок АС, где С — произвольная
точка плоскости p, отличная от Н, называется
наклонной к этой плоскости.
Отрезок СН – проекция наклонной на плоскость α
Свойства наклонных, выходящих из одной точки 1
Свойства наклонных, выходящих из одной точки
1. Перпендикуляр всегда короче наклонной,
если они проведены из одной точки.
2. Если наклонные равны, то равны и их
проекции, и наоборот.
3. Большей наклонной соответствует
большая проекция и наоборот.
Расстояние между параллельными плоскостями
Расстояние между параллельными плоскостями
Расстояние от произвольной точки
одной из параллельных плоскостей
до другой плоскости называется
расстоянием между
параллельными плоскостями.
Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью
Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью
Расстояние от произвольной точки прямой до плоскости
называется расстоянием между прямой и параллельной ей
плоскостью.
Расстояние между скрещивающимися прямыми
Расстояние между скрещивающимися прямыми
Расстояние между одной из
скрещивающихся прямых и
плоскостью, проходящей
через другую прямую
параллельно первой,
называется расстоянием
между скрещивающимися
прямыми.
Теорема о трех перпендикулярах
Теорема о трех перпендикулярах
Если проекция наклонной на данную плоскость перпендикулярна прямой этой плоскости, то и наклонная перпендикулярна этой прямой.
Пусть AA1
— перпендикуляр к плоскости α(AA1⊥α), а
АВ(α) — наклонная. В — точка пересечения прямой α и плоскости α. Докажем, что если проекция А1В наклонной на плоскость α перпендикулярна прямой m этой плоскости ( m ∈ α, A1B ⊥ m ), то и наклонная перпендикулярна прямой m ( AB(α) ⊥ m ) .
Так как AA1 ⊥ α и m ∈ α, то AA1 ⊥ m .
Так как m ⊥ AA1 и m ⊥ BA1, то m ⊥ (AA1B) ⇒ m ⊥ AB .
α1 ⊥ m ⇒ α ⊥ m
Теорема (обратная теореме о трёх перпендикулярах)
Теорема (обратная теореме о трёх перпендикулярах)
Если наклонная к данной плоскости перпендикулярна прямой этой плоскости, то и её проекция на эту плоскость перпендикулярна этой прямой.
AB ⊥ m ⇒ OB ⊥ m
Задача 1 Дано: AB = BC = CA, AK ⊥
Задача 1
Дано: AB = BC = CA, AK ⊥ ABC, BM = MC.
Доказать: МК ⊥ ВС.
Доказательство:
АМ - это проекция наклонной КМ на плоскость АВС. АМ - медиана. По свойству правильного треугольника медиана АМ является и высотой, то есть прямые ВС и АМ перпендикулярны.
Первый способ:
Прямая ВС перпендикулярна АМ - проекции наклонной МК. По теореме о трёх перпендикулярах получаем, что прямая ВС перпендикулярна и наклонной МК, что и требовалось доказать.
Второй способ:
Прямая АК перпендикулярна плоскости АВС, а значит, и прямой ВС, лежащей в плоскости АВС. Имеем, ВС перпендикулярна АМ, ВС перпендикулярна АК, значит, ВС перпендикулярна плоскости МАК, а значит, и прямой МК, лежащей в этой плоскости, что и требовалось доказать.
Задача 2 Дано: прямоугольник АВСD,
Задача 2
Дано: прямоугольник АВСD, МВ ⊥ АВС.
Доказать: ∆АМD и ∆МСD – прямоугольные.
Доказательство:
МВ – перпендикуляр к плоскости АВС. МА – наклонная, ВА - ее проекция. Проекция ВА перпендикулярна прямой АD из плоскости АВС. Значит, и наклонная МА перпендикулярна DА (по теореме о трех перпендикулярах). Таким образом, треугольник АМD - прямоугольный, так как угол МАD - прямой.
Аналогично, МС – наклонная, ВС - проекция наклонной МС на плоскость АВС. Проекция ВС перпендикулярна СD, значит, и наклонная МС перпендикулярна СD(по теореме о трех перпендикулярах). Угол МСD прямой, треугольник МСD прямоугольный.
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
