Пифагор теоремасы туралы.

  ҚАЗАҚСТАН  РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ КІШІ ҒЫЛЫМ АКАДЕМИЯСЫ

Тақырыбы:   Пифагор теоремасы туралы.

    Секция:  математика

    Аты-жөні, сыныбы:  Хамит Алмат, 9 сынып

    Оқу орны: №16 ОМГ Талдықорған қаласы

    Жетекшісі:  Бейбіт Мұрат

Талдықорған қаласы, 2017 жыл

Мазмұны

Кіріспе .......................................................................................................................................3

І. Негізгі бөлім:

1. Пифагор математикасы .......................................................................................................5

ІІ. Пифагор теоремасы жайында ............................................................................................8

2.Теореманы дәлелдеу тәсілдері .............................................................................................9

2.1 Теореманы дәлелдеудің бірінші тәсілі ...........................................................................10

2.2 Теореманы дәлелдеудің екінші тәсілі ............................................................................10

2.3 Теореманы дәлелдеудің үшінші тәсілі ...........................................................................11

2.4 Теореманы дәлелдеудің төртінші тәсілі ........................................................................11

2.5 Теореманы дәлелдеудің бесінші тәсілі ..........................................................................12

2.6 Теореманы дәлелдеудің алтыншы тәсілі .......................................................................12

2.7 Теореманы дәлелдеудің жетінші тәсілі ..........................................................................13

2.8 Сипаттау ............................................................................................................................13

ІІІ. Қорытынды........................................................................................................................18

ІV. Пайдаланған әдебиеттер тізімі........................................................................................19

Кіріспе

Еліміздің тәуелсіздігі бүгінгі күні қоғамымыздағы интеллектуалдық еңбек үлесінің өсуі нәтижесінде өмірге ертең араласатын жеткіншектердің білім деңгейіне, әр адамның қабілеті мен шығармашылық әлеуетінің дамуына, оның кәсіптік икемділігіне қойылатын талаптар да күннен күнге арта түсуде. Елбасы Н.А. Назарбаев Еуразия ұлттық университетінде оқыған лекциясында: «Білімді, сауатты адамдар – бұл ХХІ ғасырда адамзат дамуының негізгі қозғаушы күші» - деп атаған [1].

 Қазіргі заманғы білім берудің перспективалық міндеті – ол сындарлы ойлай білетін және ақпараттар ағынында бағдар ала білуге қабілетті адамдарды даярлау. Орта білім белсенді, білімді және табыстарға бағдарланған тұлғаларды тәрбиелеуге жауап береді. Оқушылар «ешқашан бастауды тоқтатпа, ешқашан тоқтауды бастама» деген ақиқаттан адаспауы тиіс [2].

 Математикалық ұғымдар, аксиомалар мен анықтамалар және қорытындылар (теоремалар және салдарлар) нақтылы өмірде бар болатын әртүрлі заттардың, онда болып жатқан құбылыстар мен өтіп жатқан процестердің өздеріне тән жалпы қасиеттерінің біздің санамызда бейнеленуі болып табылады. Академик А.Н. Колмогоров: «Математик әрқашан реалды құбылыстардың әртүрлі модельдерімен жұмыс жасайды. Оны, математик ретінде, қабылданған модель аясында қорытындылар орынды ма деген сұрақ ғана ойландырады. Егер де ол реалдылық пен оның математикалық моделінің арасындағы диалектикалық байланысты түсіндіру міндетінен бас тартса, бұл әсте жақсы емес» - деп көрсеткен болатын [3].

«Айтушылардың сөзіне қарағанда ғылымның бұл саласын жоғары тұрғыдан зерттеп, қиқы-шойқы жерлерін түзеп, шалағай ережелерді ширатып, ақыл парасатына жүгіндіріп,үлкен ғылымға айналдырушы Пифагор болған» [4].

 Пифагор - арифметика, геометрия, астрономия, музыка ғылымдарына елеулі үлес қосқан ғалым. Оның арифметикадағы табыстары өте көп. Алайда Пифагордың есімін есімізге сала беретін, оны тарихта қалдырған ғылым геометрия болып табылады. Квадраттың диагоналы мен қабырғасы өлшемдес болмайтындығын, соған байланысты иррационал сандардың болатындығын алғаш рет Аггинанор ұлы Пифагор (580-500) тағайындаған. Пифагордың ең басты еңбегі - Пифагор теоремасы [4].

Пифагор заманына қатысты геометриядағы аса қатты дамытылған теория туралы айтылмаса да, сол кездің өзінде бұл ғылым саласына сұраныс болды. Бұл геометрияның алғаш негізігі аксиомаларының (олар пифагорлық математикалық оқулықта болған), сонымен қата рбірінші геометриялық анықтамалардың берілуінен анық байқалды. Дәстүрге сәйкес, Пифагор алғашқы болып математикада анықтама беру үрдісінің негізін қалаған.

Египеттіктер мен вавилондықтардың "сызықты" геометриясынан ерекше Фалес алғаш рет "бұрыштық" геометриямен айналасса, Пифагор келесі қадам ретінде дұрыс тетраэдр мен кубты тұрғызып, стереометрия бастамасының негізін қалады.

Геометриядан басқа, ол дедуктивті әдісті арифметикаға да жайып, бұл салада сандар теориясының алғашқы үлгілерін жаратты: жұп және тақ сандар ілімі, фигуралық сандар теориясы. Осылардан Аристоксеннің арифметиканың теориялық ғылым саласы ретінде практикалық санау өнерінен бөлінгендігін куәләндіруі басталады. Бұл жерде, мүмкін, керіден дәлелдеу қолданылған,  алайда, бұндай сәтілікпен ол геометрияда да пайда болуы мүмкін.

Зерттеу мақсаты:  Пифагор теоремасын шешудің әдіс-тәсілдерін қолданып көрсету.

Пифагор теоремасы әлемдік құпиялардан да қызықтырақ. Пифагор теоремасы математика саласына елеулі үлес қосады және оның дамуына қажет. Сонымен қоса Пифагор теоремасы – геометрияның аса маңызды теоремаларының бірі. Көптеген теоремалар мен формулалар сол арқылы дәлелденеді. Пифагор теоремасы өмірде жиі қолданылады, оның кездеспейтін жері аз.

Сондықтан мен осы теоремаға қызығушылық танытып, осы маңызы зор тақырыпты таңдап алдым. Бұл жобаның мақсаты зерттеу жұмысында Пифагор теоремасын зерттеп, басқа жолдармен дәлелдеу. Пифагор теоремасы математика саласының дамуына қажет болғандықтан, бұл теореманы тереңірек ұғып, түсіну. Оқушылардың математика пәніне қызығушылығын арттыру. Пифагор теоремасын әр түрлі жолдармен дәлелдеуге болатынын көрсету. Мектеп математика курсының мазмұнында қарастырылып отырған теорема не үшін керек екендігін оқушыларға барлық кездескен жағдайларда түсінікті болатындай етіп ашу. Оқушылардың логикалық ой – қабілеттерін арттыру.

1.      Пифагор математикасы

Ендігі кезекте жоғарыда айтылған Пифагордың жаңалықтарының ішкі тығыз байланыстығын талдауға кірісейік.

Арифметика, геометрия мен гармониканы бір-бірімен тығыз байланыстыратын буын ретінде пропорция теориясын қарастыруға болады. Пифагорға мүлтіксіз үш пропорционалдық орта туралы мәлім болған: арифметикалық – с=(a+b)/2; геометриялық  - c=√ab;  және оның акустикалық тәжірибелерімен байланысты "музыкалық" пропорциясы - c=2ab/(a+b); a:(a+b)/2=2ab/(a+b):b.

Неміс ғалымы Г.Френкель Пифагоға пропорциялар теориясын меншіктелуін растайтын қызықты дәлелдемелер тапты. Ол Гераклит Эфесскийдің кейбір идеялары геометриялық пропорциялар ретінде бейнеленгенін көрсетті. Мысалы: құдай/адам=адам/бала; құдай/адам=адам/маймыл; мас адам/бала=бала/сау адам. Пифагорға дейін пропорциялар беймәлім болғандықтан, сонымен қатар Гераклиттің өзі математикамен айналаспағандығынан, ол ықтималдықпен шамалағанда, бұл идеяны пифагорлықтардан қабылдаған.

Өлшенетін шамаларға қолданылатын арифметикалық пропорциялар теориясын, өзінің атақты теоремасын дәлелдегенде қолданғаны әбден мүмкін. Антикалық математиканың ірі зерттеушісу Т.Хиттің реконструкциясы бойынша, бұл дәлелдеменің жолы келесідей. АВС, АВD, ACD (1-сурет) сияқты үшбұрыштардың қабырғаларының пропорционалдығынан шыға отырып, төмендегідей теңдіктерді аламыз:

AB/BC=BD/AB, осыдан AB² =BC*BD;

AC/BC=DC/AC, осыдан AC² =BC*DC;

Оларды қосу арқылы: AB² + AC² = BC(BD+DC), немесе AB² + AС² = BС² теңдіктерін аламыз.

1-сурет

Пифагорлық математиканың келесі тарауы – сандар теориясына негіз салған тақ және жұп туралы ілімі. Көптеген гректік математика тарихшыларының пікірінш,е ол Евклидте өзгертілмеген күйде сақталған. Мысал ретінде осы ілімнің алғашқы бес қағидаларын (қысқартылған мазмұнда) келтірейік:

21) жұп сандардың қосындысы - жұп сан;

22) жұп мөлшерлі тақ сандардың қосындысы - жұп сан;

23) тақ мөлшерлі тақ сандардң қосындысы – тақ сан;

24) жұп минус жұп нәтижесі – жұп сан;

25) жұп минус тақ нәтижесі – тақ сан;

Бұл қағидалардың дәлелдемелері Евклидің VII кітабындағы анықтамаларға сүйеніп, қатаң логикалық тәртіпте бірінен кейін бірі келеді. Евклид кей кездері сандарды кесінде ретінде келтіргенімен (ереже емес, керісінше ерекшелік), ал пифагорлықтар санақ тастарын (псефтарды) пайдаланғанымен, істің мазмұны бұдан еш өзгермейді. Евклидтен сақталған дәлелдемелер псефтардың көмегімен оңай бейнеленеді. Абсолютті түрде Пифагордың тұжырымдарын дәлелдемелерсіз (біреулермен кейін толықтырылған) ұсынуы шындыққа жанаспайды. Осы ілімнің көбісі элементар есептеулер ережесімен таныс кез келгенге оңай беріледі. Аристотель мен Аристоксен жұп сандардың қосындысы әрқашан жұп болатындығы туралы жаңалықты Пифагордың үлесіне қимағандықтарымен, осының дәлелдемесі мен ұқсас қағидаларды Пифагорға меншіктеді. Фалестің геометриядағы әрекеті секілді, Пифагор да арифметикада бұрын соңды дәлелдеуді қажет етпеген қарапайым фактілерден бастады.

Оның дедуктивті әдісті іске асыруындағы жылдамдығын келесі факт айшықтайды: осы ілімнің төрт қағидаттары (IX,30-31,33-34) керіден дәлелденеді. Сонымен қатар олар қиындығында еш ерекшелік жоқ, тура жолмен дәлелденген алдыңғыларынан табиғи жолмен келеді. Мысал ретінде 33 пен 34 сөйлемдерін дәлелдеу үшін VII кітаптағы 8 бен 9-дағы анықтамалардан басқа еш нәрсе қажет етілмейді. Солардың біреуін мысал ретінде қарастырайық:"Егер сан тақ бөлікке ие болса, онда ол тек қана жұпты-тақ болады."(басқаша айтқанда, жұп санымен тақ рет өлшенетін сан – 9-анықтама)

"Айталық А жұп саны тақ екінші бөлігіне ие болсын; Менің бекітімім бойынша, А тек қана жұп-тақты болады. Енді, оның жұп-тақты болатындығын оның екінші жартысы тақ бола тұрып оны жұп сан ре өлшейді (9-анықтама). Менің бекітімім бойынша, солай және тек қана. Шынымен де, егер А жұпты-жұп болса, онда ол бірліктер бойынша жұп, өзі жұп рет өлшенеді (8-анықтама). Сондықтан да оның екінші бөлігі тақ сан бола тұра, жұп санымен өлшенеді; Бұл мазмұнсыз, сондықтан да А саны тек жұпты-тақ сан болады. Дәлелдеу керегі де сол еді. " (IX,33).

Бастапқы тура дәлелдеу үрдісі жанама жолмен ауыстырылды дегенді қабылдау тұрпайы көрінетін себебі, гректік математика жүйелі түрде бұндай операциялардан қашқақтайтын. Бір сөзбен айтқанда, бұл ілім бізге өзінің алғашқы қалпын сақтай жеткен. Осыдан екі өте маңызды қортынды туады: 1)математикалық фактілердің көрнектілігі мен олардың дедуктивті дәлелдемелері тіптен мәмілемеге келмейтіндей қарама-қайшылықта тұрған жоқ;   2) керіден дәлелдеу әдісі математиканың ішінде, оның ерте даму сатысында пайда болды, содан кейін ғана элеаттар оны философияда қолдануға тырысты.

Жанама дәлелдеудің өте ертедегі қолданылуының басқа мысалы – тең бұрыштарды құрайтын үшбұрыш қабырғаларының теңдігі теоремасы (Евкл.I,6), кері Фалеспен дәлелденген теңқабырғалы үшбұрыштағы бұрыштар теңдігі туралы теорема. Ол ван дер Варденнің қалпына келтірілген ерте пифагорлық математикалық оқылыққа қатысты, әрі мүмкін, Пифагор дәуірінде, не одан кейін дәлелденген.

Геометрия мен арифметиканы байланыстыратын буын ретінде фигуралы сандар теориясы болған, ол геометриялық фигуралар мен сандар арасында байланыс орнатады. Пифагордың бұл теорияға қатысын тура дәлелдейтін куәліктер болмағанымен, көптеген мәліметтер оны растайды.

Фигуралық сандарлы гномондық (бұрыштық) құру дегеніміз (үшбұрышты, төртбұрышты, квадраттық т.б.), жай арифметикалық сандар қатарын, мысалы жұп және тақ сандар қосындысын айтамыз:

                                               1+3+5+...+(2n-1)=n² – квадраттық сан;

                                               2+4+6+...+2n=n(n+1) – тіктөртбұрышты сан.

Өзіне тән мінездемесіне сәйкес тақ және жұп сандар теориясы секілді, сол баяғы ертепифагорлық "псефтік" арифметика типіне бағынышты. Сонымен қатар бұл ілім б.з.д V ғасырдың бірінші жартысында гномон арқылы тұрғызу үрдісі тән, кең етек алған аудандарды қолдану әдісінен ертерек пайда болған (Евклидтің II кітабы). Соңында айта кетерлік жәйт, Пифагордың өз жетістігі ретінде қабылданған Пифагорлық үштікті анықтау әдісін өзі  дәл квадраттық сандар тұрғызу кезінде ашқан.

Фигуралық сандардың негізгі қағидалары Евклидтің жинағына кірген жоқ, олар  атақты форма түрінде Никомах, Теон Смирнский және Ямвлих кітаптарында берілген. Никомахтың кітабында еш дәлелдемелер берілмегенімен, ол дәлелдемелер Никомах қолданған және еш түзетулер енгізбеген материалдарда болғаны айдан анық. Бұл тұжырымға келу жолы, оның Евклидтің жазғандарының бірдей болуында: тек Евклидтің жазғанында дәлелдемелер келтірген, ал Никомах оларды керек етпейтін қауым үшін жазғандықтан дәлелдемелері жоқ.   Егер де Пифагордың тақ және жұп сандардың барлық элементар қағидаларын қатаң түрде дәлелдегенін еске алсақ, осыдан шығатыны фигуралық сандар теориясын ол сол баяғы дедуктивті негізде қалыптастыру керек еді. Мысал ретінде Ямвлих ескерген Пифагордың теоремаларының бірі қалай дәлелденуі мүмкін екенін көрелік:

Дәлелдеу керектігі – тіктөртбұрышты сан бұл екі еселенген үшбұрышты санға тең. Анықтама бойынша, тіктөртбұрышты сан – бұл 2-ден басталатын жұп сандар қатарының қосындысы, ал үшбұрышты сан – 1-ден басталатын натурал сандар қатарының қосындысы. Жұп сандардың тізбектелген қатары екі еселенген натурал сандар болып келетіндіктен, осыдан шығатыны - тіктөртбұрышты сан екі еселенген үшбұрышты сан болып келеді.

Дәлелдеме псефтар арқылы оңай бейнеленеді. (2-сурет)

2-сурет

Үшбұрышты және квадратты сандарды тұрғызғаннан кейін, тетраэдр мен куб шығатындай теңқабырғалы ушбұрыштар мен квадраттармен шектелген денені құрастыру мүмкіндігі туады, ол стереометрия есебіне өтуге әкеліп тіреледі. Квадраттық сандардың қасиетін зерртеу барысында Пифагорлық үштікті – тіктөртбұрышты үшбұрыштың қабырғалар ұзындығын  - табу әдісі дүниеге келген деп ықтималдықпен айтуға болады. Она келесі түрде келтіруге болады. Квадратқа гномонды қосу арқылы біз келесі квадратты аламыз, сонда бізге өзі квадраттық сан болатындай гномонды табу керек. (3-сурет)

3-сурет

 Айталық, а және а₁ – квадрат қабырғалары, ал m² =2a+1  гномон болсын, сонда:

a=(m²-1)/2;                                                                    (1)

а₁=a+1=(m²+1)/2.                                                                      (2)

m² (1) мен (2) теңдіктерді қанағаттандыруы үшін тақ болуы керек. Осыдан келіп шығатыны:

m²+ ((m²-1)/2)² =((m²+1)/2)²,

бұл Пифагордың теоремасына жауап береді. Тікбұрышты үшбұрыштағы қабырғаларды анықтаудың басқа әдісін (жұп санан бастау арқылы) Архит кейін келтірген.

Жоғарыда біз Ямвлих Пифагорға біреуінің бөлгіштерінің қосындысы келесіне тең, мысалы 220 мен 284 сияқты досшыл сандардың ашу жаңалығын меншіктегенін келтірген едік. Тұтас алғанда Ямвлихтың деректеріне сену екіталай мәселе болғанымен, бұл жерде еш күмән болмауы шартты. Қиынырақ мәселе бұл есепке туыстас есеппен байланысты. Олар - өз бөлгіштерінің қосындысына тең кемелденген сандар:

1+2+3=6 немесе 1+2+4+7+14=28;

Никомах осы сандардың табылу жолдарын бере отырып, оларға ортақ ережелерінің толық тізбегін жинақтаған. Оның пікірінше, егер геометриялық қатардың мүшелерінің қосындысы жай сан болса, біз кемелденген санды аламыз. Әрине бұның дәлелдемесі Никомахта болмағанымен, ол Евклидте (IX,36) тақ және жұп туралы ілімге (IX,21-34) негізделген түрінде көрсетілген. Кейбір өзгертулермен ол тек қана 21-34 сөйлемдерге сүйеніп берілуі мүмкін. Егер де бұл дәлелдеме өзінің алғашқы стилінен ажырамай сақталды деп есептелінсе, онда ол заңды түрде пифагорлық арифметиканың ерте сатысына жатады.

2. Пифагор теоремасы жайында

Көпбұрыштардың аудандарының қасиеттерін пайдалана отырып, біз тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасы мен катеттерінің арасындағы тамаша қатынасты тағайындаймыз. Біз дәлелдейтін теорема Пифагор теоремасы деп аталып, геометриядағы негізгі теоремаға жатады [5].

Теорема. Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасының квадраты катеттерінің квадраттарының қосындысына тең [4].

Бұл сөйлем Пифагор теоремасының арифметикалық тұжырымдамасы деп ата лады. Арифметикалық тұжырымдама бойынша гипотенузаны сипаттайтын санның квадраты катеттерді сипаттайтын сандардың квадраттарының қосындысына тең болады. Ал бұрынғы оқулықтарда теореманың толық тұжырымдамасы мынандай: Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасына салынған квадраттың ауданы катеттеріне салынған квадраттардың аудандарының қосындысына тең болады [4].

Гипотенузаға салынған квадратты төменгі жағына, катеттерге салынған квадраттарды жоғарғы жағына келтіріп, теореманың чертёжін салсаңыз, кілең түзу кесінділерден құралған фигура пайда болады. Бұл фигура «есек көпірі» деп аталып кеткен: латынша – «понс азинорум», французша- «лес понт аукс анез» (немісше- «ди эселбрюкке», орысша - «мост ослов»). Кейбіреулер оны шалбардың суреті сияқты деп есептеген. Орта ғасырлардағы мектептерде Пифагор теоремасын жыл бойы жаттайтын болған. Сонда жаттай - жаттай жалыққан шәкірттер былай деп әндетіп те қояды екен: Пифагордың шалбары, Соңымыздан қалмады. Ышқыры кең, ауы тік, Бір балағы тар-дағы [4].

Осы бұрынғы оқулықтардағы теореманы негізге ала отырып, мен Пифагор теоремасын дәлелдеуді тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасын 3 – тен басталатын натурал сан, ал катеттерін нақты сандар жиынында қарастырдым. Яғни с ˆ Ν, а ˆ R , в ˆ R .

2.1.Теореманы дәлелдеудің бірінші тәсілі

4 – сурет

Бірінші, гипотенуза 3 см болсын. Сонда Пифагор теоремасының формуласы бойынша 3? = a?+ b?болады. 3 см – ге тең гипотенуза бойынша, катеттердің өлшемдерін жуықтап есептеу тәсілімен a = 2 см , b = √5 см деп аламын. Пифагор теоремасы бойынша формула немесе 9=4+5 натурал сандарына түрленеді.Бұл теңдіктің оң жағын қоса отырып, (4+5) квадраттардың аудандары 3 см – лік гипотенузаға салынған квадраттың ауданына тең шамалы екенін көреміз, яғни 9 см? = 9 см? (4 – сурет)

2. 2. Теореманы дәлелдеудің екінші тәсілі

5 – сурет

Гипотенуза 5см-ге тең болса, аналитикалық теңдеу : берілген үшбұрыш бойынша: 5?= а?+b? жуықтап есептеу тәсілі бойынша 5² = √9 + √16 = 3? + 4?, квадраттарды есептесек 25 = 9+16. Квадраттың ауданы см? түрінде берілгенде, тікбұрышты үшбұрыш гипотенузада 5 см-ге тең, оның а = 3см; b = 4см-ге тең катеттерінде құрылған. 25 = 9+16 теңдігінде үшбұрыштың катеттерінде орналасқан екі шаршының ауданын см? түрінде аламыз. Бұл гипотенузада орналасқан шаршының ауданына тең. Яғни 25 см? = 25см? екенін дәлелдедік (2 - сурет).

2.3.Теореманы дәлелдеудің үшінші тәсілі

3 – сурет

Бұл суретте тікбұрышты ∆ АВС гипотенузасы 6 см болатын үшбұрышқа сәйкес катеттерін жуықтап есептейміз. Сонда катеттерге салынған квадраттардың аудандарының қосындысын гипотенузадағы квадраттың ауданына тең болуы керек. Аналитикалық теңдеу: мынадай түрге айналады, с? = 4² + (√ 20)? квадраттарын есептегенде 36 см? = 16см? +20см?. Катеттердің квадраттарының ауданын қосу арқылы, үлкен квадраттың ауданын табамын, ол сөзсіз гипотенузада орналасқан квадраттың ауданына тең. 36 см? = 36 см?екені дәлелденді. (3 - сурет).

2. 4. Теореманы дәлелдеудің төртінші тәсілі

4 - сурет

Тікбұрышты ∆ АВС берілген. Оның гипотенузасы 7 см-ге тең. Катеттердің өлшемін есептеу арқылы гипотенузадағы квадраттың ауданы, катеттерге салынған квадраттардың ауданының қосындысына тең екенін анықтап, төмендегідей теңдік аламын: ; 7²=4²+(√33)²; 49 = 16+33; 49 см? = 49 см? болатыны дәлелденді. (4 - сурет).

2. 5. Теореманы дәлелдеудің бесінші тәсілі

5 - сурет

Тікбұрышты ∆ АВС берілген. Оның гипотенузасы 8 см-ге тең. Пифагордың теоремасын дәлелдей отырып, ; 8² = 4²+(√48)? ; 64 = 16 + 48 ; 64 см? = 64 см екенін дәлелдедім. (5 - сурет).

2. 6. Теореманы дәлелдеудің алтыншы тәсілі

6 – сурет

Тікбұрышты ∆ АВС берілген. Оның гипотенузасы 9 см-ге тең болғанда ; 6² + (√45)² = 9?; 36 + 45 = 81; 81см? = 81см? екенін дәлелдедім. (6 - сурет).

2. 7. Теореманы дәлелдеудің жетінші тәсілі

7 - сурет

Тікбұрышты ∆ АВС берілген. Оның гипотенузасы 10 см-ге тең. Бұл теңдікті былай шешеміз: ; 6? + 8? = 10?; 36 + 64 = 100; 100 см? = 100 см? екенін дәлелдедім (7 - сурет).

2. 8. Сипаттау № 1

8 - сурет

Осы квадраттың S ауданы (a + b )? - қа тең. Квадрат әрқайсысының 1/2аb болатын төрт тең тік бұрышты үшбұрыштан және қабырғасы с - ға тең квадраттан тұрады, сол себепті S = 4*1/2ab + c?= 2ab + c?. Осылайша, (a + b )? = 2ab + c?, осыдан .

Сипаттау № 2

9 - сурет

Тікбұрышты ∆ АВС берілген. С төбесінен СD биіктік жүргіземіз (10- сурет).Косинустың анықтамасы бойынша cos (∟А)=АС . АВ Ал АСD тік бұрышты үшбұрышынан cos (∟А)=AD теңдігін аламыз. АС Осыдан АВ ∙ АD = AC?болатынын көреміз. Осы сияқты cos (∟В)=BD = BC BC AB теңдігінен АВ ∙ ВD = ВC? теңдігі шығады. Осы шыққан теңдіктерді мүшелеп қосып, АВ + ВD = АВ екенін ескерсек, AC?+ ВC?= АВ ∙ АD + АВ ∙ ВD = АВ(АD + ВD) = АВ? теңдігін аламыз. Теорема дәлелденді [6].

Сипаттау № 3

10 - сурет

АВС — берілген тік бұрышты үшбұрыш, оның тік бұрышы С болсын Тік С бұрышының төбесінен СD биіктігін жүргіземіз (11 – сурет). Косинустың анықтамасы бойынша cos A = AD = AC. AC AB Бұдан АВ ∙ АD = AC?. Осылайша cos В=BD = BC . ВС AB Бұдан АВ ∙ ВD = ВC?. Шыққан теңдіктерді мүшелеп қосып және де АD + ВD = AB екенін ескерсек, былай болып шығады: АС?+ ВC?= AB (AD + BD) = AB?. Теорема дәлелденді [7].

Сипаттау № 4

11 - сурет

Биіктігі горизонталь орналасқан және а + в қосындыға тең, табандары а және в катеттерге тең тік бұрышты трапеция саламыз. Трапецияны катеттері а және в болатын екі үшбұрышқа, катеттері с болатын бір тең бүйірлі тік бұрышты үшбұрышқа ажыратамыз. Сонда үш тік бұрышты үшбұрыштың аудандарының қосындысы трапецияның ауданындай болуға тиіс: 1/2 (а + в) (а + в) = 1/2 ав + 1/2 с?+ 1/2 ав [4] , .

Сипаттау № 5

12 - сурет

АВС үшбұрышы ішінде қалатындай етіп, гипотенузаның квадратын саламыз, содан кейін түзулер жүргізіп, берілген үшбұрышқа тең 3 үшбұрыш саламыз. Үшбұрыштардың аралығында қабырғасы а - в айырмаға тең кішкене квадрат құралады. Бұлардың аудандарын салыстырып, с?= (а - в )?+( 4 * 1/2 ав) теңдікке келеміз, одан: .а2+в2=с2

Сипаттау № 6

13 – сурет

Тікбұрышты АВС үшбұрышының қабырғаларына ВСС`B``, ACC``A``, ABB`A` Квадраттарды салайық, оларды үшбұрыштың сыртқы жағына орналастырайық. Тік бұрыштың С төбесінен гипотенузаға перпендикуляр түзу жүргізіп, оның АВ гипотенузамен қиылысатын нүктесін N әрпімен, квадраттың A`B` қабырғасымен қиылысатын нүктесін М әрпімен белгілейік. Сонда ВСС`B`` квадраттың ауданы гипотенузадағы квадраттың бір бөлігі - ВB``МN тік төртбұрыштың ауданына, ACC``A`` квадраттың ауданы гипотенузадағы квадраттың екінші бөлігі - AA`МN тік төртбұрыштың ауданына тең болады. Алдымен осыны дәлелдейік.

Түзулер арқылы А нүктесін B`` нүктеге, С нүктесін B` нүктеге қосайық. Мұның нәтижесінде өзара тең АВB`` және ВСВ` доғал бұрышты үшбұрыштар пайда болады. Өйткені: 1) АВB`` үшбұрышының ВB`` қабырғасы ВСВ` үшбұрышының ВС қабырғасына тең, екеуі де а, яғни ВСС`B`` квадраттың қабырғалары, 2) АВB`` үшбұрышының АВ қабырғасы ВСВ` үшбұрышының ВB` қабырғасына тең, екеуі де с, яғни ABB`A` квадраттың қабырғалары, 3) ∟АВB`` = 90˚ + ∟АВС, ∟CВB` = 90˚ + ∟АВС, сондықтан ∟АВB``=∟CВB`. Олай болса, үшбұрыштардың теңдігінің бірінші белгісі бойынша жоғарыда айтылған АВB`` және ВСВ` үшбұрыштары өз ара тең, олардың аудандары да тең:

∆ АВB``= ∆ ВСВ`.

B``В қабырғаны АВB`` доғал бұрышты үшбұрыштың табаны ретінде алып, оның созындысына А төбеден биіктік жүргізсек, ол биіктіктің ұзындығы ВС-ге тең болады (чертежді күрделендіріп жіберетіндіктен, биіктік көрсетілмеген, бірақ оны түсіну оңай, ол АА` МNтік төртбұрышының ішінде орналасады, ВС, B``С` қабырғаларға параллель және тең болады). Сондықтан : АВB`` үшбұрышының ауданы :

S = 1/2 ВB`` * ВС = 1/2а?.

Демек, АВB`` үшбұрышының ауданы ВСС`В`` квадраттың ауданының жартысындай. ВВ` қабырғаны ВСВ` доғал бұрышты үшбұрыштың табаны ретінде алып, оның созындысына С төбеден биіктік жүргізсек, ол биіктік (ВN және В`М кесінділерге параллель және тең, ВСС`В`` квадраттың ішінде орналасады) ВN-ге тең болады. Сондықтан : ВСВ` үшбұрышының ауданы: S = 1/2 ВB` * ВN. Мұндағы ВB` * ВN көбейтіндісі ВB`МN тік төртбұрыштың ауданын өрнектейді. Олай болса,ВСВ` үшбұрышының ауданы ВB`МN тік төртбұрыштың ауданының жартысындай болады.

Сөйтіп, ВB`МN тік төртбұрышының ауданы ВСВ` үшбұрышының ауданынан екі есе артық, ВСС`В`` квадраттың ауданы АВB`` үшбұрышының ауданынан екі есе артық болып шықты. Ал айтылып отырған үшбұрыштар өз ара тең. Ендеше ВСС`В`` квадраттың ауданы ВB`МN тік төртбұрыштың ауданына тең болады. Дәл осылай, В нүктесін А`` нүктеге, С нүктесін А` нүктеге кесінділер арқылы қосып, доғал бұрышты АВА`` және АСА` үшбұрыштарының теңдігін дәлелдеуге болады.Одан әрі АСС``А`` квадраттың ауданы АВА`` үшбұрышының ауданынан екі есе артық, АА` МN тік төртбұрыштың ауданы АСА` үшбұрышының ауданынан екі есе артық болатындығын , соның салдарынан АСС``А`` квадраттың ауданы АА` МN тік төртбұрышының ауданына тең болатындығын дәледеуге болады. ВСС`В`` квадраттың ауданы ВB`МN тік төртбұрыштың ауданына, АСС``А`` квадраттың ауданы АА` МN тік төртбұрыштың ауданына тең болып шықты. Албұл екі тік төртбұрыштың аудандарының қосындысы гипотенузаға салынған АВВ`А` квадраттың ауданына тең. Сондықтан: катеттерге салынған квадраттардың аудандарының қосындысы гипотенузаға салынған квадраттың ауданындай болады. Теорема дәлелденді [4].

Қорытынды

            Сонымен, қорытындылай келе, Пифагор теоремасы көп жағдайда өте қажет. Мысалы: есептер шығаруда, үлкен құрылыстарда, теоремаларды дәлелдегенде. Сондықтан бұл теореманың қыр – сырын толығырақ әрі тереңірек білу қызығушылық тудырады. Математика тарихшыларының зерттеулері бойынша теореманы алғаш рет Пифагор дәлелдеген. Оның нақты дәлелдемесі бізге жетпеген. Болжам бойынша Пифагор бұл теореманы ұқсас үшбұрыштар арқылы дәлелдеген болу керек.

Бұл келтірілген дәлелдеулер Пифагор теоремасының сөзсіз абсолюттік шындық екенін көрсетіп, табиғаттағы теориялық есептеулер мен табиғаттағы есептеулер бір – бірімен өзара тығыз байланыста болатынына қөз жеткізеді. Табиғат пен адам санасы біртұтас принциппен байланысты болғандықтан, ежелгі ұлы ғалымдар яғни, Пифагор, Евклид, Архимед, Аристотельдердің дәлелдеген ғылым жетістіктері әлі күнге дейін адамзат баласына қызмет етіп келеді. Табиғаттың басты принциптерін түсіну арқылы бұл заңдардың табиғат пен адам санасының бір – бірімен тығыз байланыста болатынын білдім. « Байланыс » деген сөз философия категориясының құрамына кіріп, шексіз тығыз байланыста болады. Адам санасының дамуы арқылы Пифагор теоремасы дәлелденді.

Пифагор теоремасы – геометрияның аса маңызды теоремаларының бірі. Көптеген теоремалар мен формулалар сол арқылы дәлелденеді. Олардың кейбіреулері:

1. Сүйір бұрышқа қарсы орналасқан қабырға туралы теорема.

2. Доғал бұрышқа қарсы орналасқан қабырға туралы теорема.

3. Үшбұрыштың ауданын есептеуге арналған Герон формуласы.

4. Екі нүктенің ара қашықтығының формуласы.

5. Призма, параллелепипед,пирамида жөніндегі теоремалар.

Бұл тізімді әрі қарай жалғастыра беруге болады. Пифагор теоремасы өмірде жиі қолданылады, оның кездеспейтін жері аз.Сондықтан оны математик қана емес, әрбір мәдениетті адам білуі қажет. Осы ғалымдардың еңбектері өмірде жиі қолданылып, математика – дәлелденген ғылым болып табылды.

Қолданылған әдебиеттер

1. Атанасян С. Геометрия 7-9.Л Орыс аудармасы (Нүсіпбаев Т.) «Рауан» , 1992 ,125 бет.

2. Егемен Қазақстан, жалпыұлттық республикалық газет. №336 (25733), 14 қазан, 2009 жыл,2б

3. Исқақов М.Ө., Назаров С.Н. Математика мен математиктер жайлы әңгімелер.Екінші кітап, «Мектеп» , 1970, 315 бет.

4. Колмогоров А.Н. Современная математика и математика в современной школе // Математика в школе. – 1971. - №6. – С. 2-3.

5. Назарбаев Н.Ә. Инновациялар мен оқу-білімді жетілдіру арқылы білім экономикасына // Егенмен Қазақстан, 27 мамыр, 2006, №2б

6. Погорелов А.В. Геометрия 7 – 11. Қазақша аудармасы Қаниев С., Бөкейханов Р. және т.б. «Рауан», 1995 – 384 бет.

7. Шыныбеков Ә.Н. Геометрия 8. «Атамұра», 2004, 58 – бет