Планиметрия на ЕГЭ
Оценка 4.9

Планиметрия на ЕГЭ

Оценка 4.9
Работа в классе
pptx
математика
9 кл—11 кл
18.11.2021
Планиметрия на ЕГЭ
Планиметрия на ЕГЭ.pptx

Задачи планиметрии МАОУ СШ №33 г

Задачи планиметрии МАОУ СШ №33 г

Задачи планиметрии

МАОУ СШ №33 г. Петропавловск - Камчатский
Почина А.С.

Главная теорема геометрии

Главная теорема геометрии

Главная теорема геометрии

ЕГЭ 16 задача

ЕГЭ 16 задача

ЕГЭ

16 задача

Признаки равенства треугольников 1

Признаки равенства треугольников 1

Признаки равенства треугольников

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.(По двум сторонам и углу между ними)
2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.(По стороне и двум прилежащим к ней углам)
3. Если три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.(По трем сторонам)

Признаки подобия треугольников 1

Признаки подобия треугольников 1

Признаки подобия треугольников

1. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. (По 2 углам)
2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. (По двум сторонам и углу между ними)
3.Если 3 стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. (По трем сторонам)
4. Лемма подобия: прямая параллельная какой-либо стороне треугольника отсекает треугольник, подобный данному.

Теорема Менелая Пусть треугольник

Теорема Менелая Пусть треугольник

Теорема Менелая

Пусть треугольник АВС пересечен прямой не || АС и пересекающей две его стороны АВ и ВС в точках D и Е соответственно а прямую АС в F, тогда будет выполняться условие Менелая:
𝐵𝐸 𝐸𝐶 𝐵𝐵𝐸𝐸 𝐵𝐸 𝐸𝐶 𝐸𝐸𝐶𝐶 𝐵𝐸 𝐸𝐶 ∙ 𝐶𝐹 𝐹𝐴 𝐶𝐶𝐹𝐹 𝐶𝐹 𝐹𝐴 𝐹𝐹𝐴𝐴 𝐶𝐹 𝐹𝐴 ∙ 𝐴𝐷 𝐷𝐵 𝐴𝐴𝐷𝐷 𝐴𝐷 𝐷𝐵 𝐷𝐷𝐵𝐵 𝐴𝐷 𝐷𝐵 =1

Теорема Чевы Если на сторонах АВ,

Теорема Чевы Если на сторонах АВ,

Теорема Чевы

Если на сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС взяты соответственно точки С1 , А1 и В1 , то отрезки АА1 , ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется условие Чевы:
АВ1 В1С АВ1 АВ1 В1С В1С АВ1 В1С СА1 А1В СА1 СА1 А1В А1В СА1 А1В ВС1 С1А ВС1 ВС1 С1А С1А ВС1 С1А =1

Следствие: Все чевианы в треугольнике пересекаются в одной точке

Медиана и биссектриса в треугольнике 𝑚 𝑎 2 = 2 𝑏 2 +2 𝑐 2 − 𝑎 2 4 𝑙 𝑎 2 𝑙𝑙 𝑙 𝑎…

Медиана и биссектриса в треугольнике 𝑚 𝑎 2 = 2 𝑏 2 +2 𝑐 2 − 𝑎 2 4 𝑙 𝑎 2 𝑙𝑙 𝑙 𝑎…

Медиана и биссектриса в треугольнике

𝑚 𝑎 2 = 2 𝑏 2 +2 𝑐 2 − 𝑎 2 4

𝑙 𝑎 2 𝑙𝑙 𝑙 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑙 𝑎 2 2 𝑙 𝑎 2 =𝑏𝑏𝑐𝑐−𝑚𝑚𝑛𝑛
𝑏 𝑐 𝑏𝑏 𝑏 𝑐 𝑐𝑐 𝑏 𝑐 = 𝑚 𝑛 𝑚𝑚 𝑚 𝑛 𝑛𝑛 𝑚 𝑛

Площадь треугольника S=?...

Площадь треугольника S=?...

Площадь треугольника

S=?...

Теорема Эйлера Если 𝑂 1 𝑂𝑂 𝑂 1 1 𝑂 1 , 𝑂 2 𝑂𝑂 𝑂 2 2 𝑂 2 — центры вписанной и описанной…

Теорема Эйлера Если 𝑂 1 𝑂𝑂 𝑂 1 1 𝑂 1 , 𝑂 2 𝑂𝑂 𝑂 2 2 𝑂 2 — центры вписанной и описанной…

Теорема Эйлера

Если 𝑂 1 𝑂𝑂 𝑂 1 1 𝑂 1 , 𝑂 2 𝑂𝑂 𝑂 2 2 𝑂 2 — центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC, а r и R — радиусы этих окружностей, то 𝑂 1 𝑂𝑂 𝑂 1 1 𝑂 1 𝑂 2 𝑂𝑂 𝑂 2 2 𝑂 2 = 𝑅 2 −2𝑅𝑟 𝑅 2 −2𝑅𝑟 𝑅 2 𝑅𝑅 𝑅 2 2 𝑅 2 −2𝑅𝑅𝑟𝑟 𝑅 2 −2𝑅𝑟

Окружности и четырехугольники Условие вписания четырехугольника в окружность ∠

Окружности и четырехугольники Условие вписания четырехугольника в окружность ∠

Окружности и четырехугольники

Условие вписания
четырехугольника в окружность
DAB+∠𝐷𝐷𝐶𝐶𝐵𝐵=∠𝐴𝐴𝐷𝐷𝐶𝐶+∠𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶=180

Теорема Птолемея ЕСЛИ в данном четырехуголь-нике

Теорема Птолемея ЕСЛИ в данном четырехуголь-нике

Теорема Птолемея

ЕСЛИ в данном четырехуголь-нике ABCD:
𝐴𝐴𝐶𝐶∗𝐵𝐵𝐷𝐷=𝐴𝐴𝐵𝐵∗𝐶𝐶𝐷𝐷+𝐴𝐴𝐷𝐷∗𝐵𝐵𝐶𝐶
ТО
Около него можно описать
окружность

Все площади выпуклых четырехугольников

Все площади выпуклых четырехугольников

Все площади выпуклых четырехугольников

Для любого выпуклого четырехугольника:
𝑺𝑺= 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 𝒅 𝟏 𝒅𝒅 𝒅 𝟏 𝟏𝟏 𝒅 𝟏 𝒅 𝟐 𝒅𝒅 𝒅 𝟐 𝟐𝟐 𝒅 𝟐 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏∠( 𝒅 𝟏 𝒅𝒅 𝒅 𝟏 𝟏𝟏 𝒅 𝟏 , 𝒅 𝟐 𝒅𝒅 𝒅 𝟐 𝟐𝟐 𝒅 𝟐 )

Для параллелограмма:
𝑺𝑺=𝒂𝒂∗𝒉𝒉
𝑺=𝒂𝒃∗𝒔𝒊𝒏∠(𝒂,𝒃)

Для трапеции:
𝑺𝑺=𝒎𝒎∗𝒉𝒉, 𝒎𝒎= 𝒂+𝒃 𝟐 𝒂𝒂+𝒃𝒃 𝒂+𝒃 𝟐 𝟐𝟐 𝒂+𝒃 𝟐
m-средняя линия

Для дельтойда
𝑺𝑺=𝒂𝒂𝒃𝒃∗𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏∠(𝒂𝒂,𝒃𝒃)
𝑺𝑺= 𝒂+𝒃 𝒂𝒂+𝒃𝒃 𝒂+𝒃 ∗ 𝒓 впис 𝒓𝒓 𝒓 впис впис 𝒓 впис

Формула Брахмагупты для вписанного в окружность четырехугольника
𝑺𝑺= (𝒑−𝒂)(𝒑−𝒃)(𝒑−𝒄)(𝒑−𝒅) (𝒑−𝒂)(𝒑−𝒃)(𝒑−𝒄)(𝒑−𝒅) (𝒑𝒑−𝒂𝒂)(𝒑𝒑−𝒃𝒃)(𝒑𝒑−𝒄𝒄)(𝒑𝒑−𝒅𝒅) (𝒑−𝒂)(𝒑−𝒃)(𝒑−𝒄)(𝒑−𝒅)

Трапеция 𝑐𝑐 = 𝑎 2 + 𝑏 2 2 𝑎 2 + 𝑏 2 2 𝑎 2 + 𝑏 2 2 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎…

Трапеция 𝑐𝑐 = 𝑎 2 + 𝑏 2 2 𝑎 2 + 𝑏 2 2 𝑎 2 + 𝑏 2 2 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎…

Трапеция

𝑐𝑐= 𝑎 2 + 𝑏 2 2 𝑎 2 + 𝑏 2 2 𝑎 2 + 𝑏 2 2 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑏𝑏 𝑏 2 2 𝑏 2 𝑎 2 + 𝑏 2 2 2 𝑎 2 + 𝑏 2 2 𝑎 2 + 𝑏 2 2

a

b

c

S

S

𝑐𝑐= 𝑎𝑏 𝑎𝑏 𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑎𝑏

a

c

b

(Равновелики)

(Подобны)

Касательная, хорда, секущая 𝑨𝑩=𝑨𝑪 𝑨𝑫∗𝑨𝑩=𝑨𝑬∗𝑨𝑪=𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕

Касательная, хорда, секущая 𝑨𝑩=𝑨𝑪 𝑨𝑫∗𝑨𝑩=𝑨𝑬∗𝑨𝑪=𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕

Касательная, хорда, секущая

𝑨𝑩=𝑨𝑪

𝑨𝑫∗𝑨𝑩=𝑨𝑬∗𝑨𝑪=𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕

O

𝑨𝑶∗𝑶𝑩=𝑪𝑶∗𝑶𝑫=𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕

Углы в окружности ∠𝐴𝐴𝑂𝑂𝐶𝐶=∪𝐴𝐴𝐶𝐶 ∠𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶= 1 2 1 1 2 2 1 2 ∪𝐴𝐴𝐶𝐶 ∠𝐵𝐵𝐴𝐴𝐷𝐷= 1 2 1 1 2 2 1 2 (∪𝐵𝐵𝐷𝐷−∪𝐵𝐵𝐸𝐸) ∠𝐴𝐴𝑂𝑂𝐷𝐷=…

Углы в окружности ∠𝐴𝐴𝑂𝑂𝐶𝐶=∪𝐴𝐴𝐶𝐶 ∠𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶= 1 2 1 1 2 2 1 2 ∪𝐴𝐴𝐶𝐶 ∠𝐵𝐵𝐴𝐴𝐷𝐷= 1 2 1 1 2 2 1 2 (∪𝐵𝐵𝐷𝐷−∪𝐵𝐵𝐸𝐸) ∠𝐴𝐴𝑂𝑂𝐷𝐷=…

Углы в окружности

∠𝐴𝐴𝑂𝑂𝐶𝐶=∪𝐴𝐴𝐶𝐶
∠𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶= 1 2 1 1 2 2 1 2 ∪𝐴𝐴𝐶𝐶

∠𝐵𝐵𝐴𝐴𝐷𝐷= 1 2 1 1 2 2 1 2 (∪𝐵𝐵𝐷𝐷−∪𝐵𝐵𝐸𝐸)

∠𝐴𝐴𝑂𝑂𝐷𝐷= 1 2 1 1 2 2 1 2 (∪𝐵𝐵𝐶𝐶+∪𝐴𝐴𝐷𝐷)

Задача 1

Задача 1

Задача 1

1.

1.

1.

Планиметрия на ЕГЭ

Планиметрия на ЕГЭ

1.

1.

1.

Спасибо за внимание!

Спасибо за внимание!

Спасибо за внимание!

Скачать файл