Планиметрия на ЕГЭ

МАОУ СШ №33 г. Петропавловск - Камчатский
Почина А.С.

Главная теорема геометрии

ЕГЭ

16 задача

Признаки равенства треугольников

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.(По двум сторонам и углу между ними)
2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.(По стороне и двум прилежащим к ней углам)
3. Если три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.(По трем сторонам)

Признаки подобия треугольников

1. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. (По 2 углам)
2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. (По двум сторонам и углу между ними)
3.Если 3 стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. (По трем сторонам)
4. Лемма подобия: прямая параллельная какой-либо стороне треугольника отсекает треугольник, подобный данному.

Теорема Менелая

Пусть треугольник АВС пересечен прямой не || АС и пересекающей две его стороны АВ и ВС в точках D и Е соответственно а прямую АС в F, тогда будет выполняться условие Менелая:
𝐵𝐸 𝐸𝐶 𝐵𝐵𝐸𝐸 𝐵𝐸 𝐸𝐶 𝐸𝐸𝐶𝐶 𝐵𝐸 𝐸𝐶 ∙ 𝐶𝐹 𝐹𝐴 𝐶𝐶𝐹𝐹 𝐶𝐹 𝐹𝐴 𝐹𝐹𝐴𝐴 𝐶𝐹 𝐹𝐴 ∙ 𝐴𝐷 𝐷𝐵 𝐴𝐴𝐷𝐷 𝐴𝐷 𝐷𝐵 𝐷𝐷𝐵𝐵 𝐴𝐷 𝐷𝐵 =1

Теорема Чевы

Если на сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС взяты соответственно точки С1 , А1 и В1 , то отрезки АА1 , ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется условие Чевы:
АВ1 В1С АВ1 АВ1 В1С В1С АВ1 В1С ∙ СА1 А1В СА1 СА1 А1В А1В СА1 А1В ∙ ВС1 С1А ВС1 ВС1 С1А С1А ВС1 С1А =1

Следствие: Все чевианы в треугольнике пересекаются в одной точке

Медиана и биссектриса в треугольнике

𝑙 𝑎 2 𝑙𝑙 𝑙 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑙 𝑎 2 2 𝑙 𝑎 2 =𝑏𝑏𝑐𝑐−𝑚𝑚𝑛𝑛
𝑏 𝑐 𝑏𝑏 𝑏 𝑐 𝑐𝑐 𝑏 𝑐 = 𝑚 𝑛 𝑚𝑚 𝑚 𝑛 𝑛𝑛 𝑚 𝑛

Площадь треугольника

S=?...

Теорема Эйлера

Если 𝑂 1 𝑂𝑂 𝑂 1 1 𝑂 1 , 𝑂 2 𝑂𝑂 𝑂 2 2 𝑂 2 — центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC, а r и R — радиусы этих окружностей, то 𝑂 1 𝑂𝑂 𝑂 1 1 𝑂 1 𝑂 2 𝑂𝑂 𝑂 2 2 𝑂 2 = 𝑅 2 −2𝑅𝑟 𝑅 2 −2𝑅𝑟 𝑅 2 𝑅𝑅 𝑅 2 2 𝑅 2 −2𝑅𝑅𝑟𝑟 𝑅 2 −2𝑅𝑟

Окружности и четырехугольники

Условие вписания
четырехугольника в окружность
∠DAB+∠𝐷𝐷𝐶𝐶𝐵𝐵=∠𝐴𝐴𝐷𝐷𝐶𝐶+∠𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶=180

Теорема Птолемея

ЕСЛИ в данном четырехуголь-нике ABCD:
𝐴𝐴𝐶𝐶∗𝐵𝐵𝐷𝐷=𝐴𝐴𝐵𝐵∗𝐶𝐶𝐷𝐷+𝐴𝐴𝐷𝐷∗𝐵𝐵𝐶𝐶
ТО
Около него можно описать
окружность

Все площади выпуклых четырехугольников

Для любого выпуклого четырехугольника:
𝑺𝑺= 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 𝒅 𝟏 𝒅𝒅 𝒅 𝟏 𝟏𝟏 𝒅 𝟏 𝒅 𝟐 𝒅𝒅 𝒅 𝟐 𝟐𝟐 𝒅 𝟐 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏∠( 𝒅 𝟏 𝒅𝒅 𝒅 𝟏 𝟏𝟏 𝒅 𝟏 , 𝒅 𝟐 𝒅𝒅 𝒅 𝟐 𝟐𝟐 𝒅 𝟐 )

Для параллелограмма:
𝑺𝑺=𝒂𝒂∗𝒉𝒉
𝑺=𝒂𝒃∗𝒔𝒊𝒏∠(𝒂,𝒃)

Для трапеции:
𝑺𝑺=𝒎𝒎∗𝒉𝒉, 𝒎𝒎= 𝒂+𝒃 𝟐 𝒂𝒂+𝒃𝒃 𝒂+𝒃 𝟐 𝟐𝟐 𝒂+𝒃 𝟐
m-средняя линия

Для дельтойда
𝑺𝑺=𝒂𝒂𝒃𝒃∗𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏∠(𝒂𝒂,𝒃𝒃)
𝑺𝑺= 𝒂+𝒃 𝒂𝒂+𝒃𝒃 𝒂+𝒃 ∗ 𝒓 впис 𝒓𝒓 𝒓 впис впис 𝒓 впис

Формула Брахмагупты для вписанного в окружность четырехугольника
𝑺𝑺= (𝒑−𝒂)(𝒑−𝒃)(𝒑−𝒄)(𝒑−𝒅) (𝒑−𝒂)(𝒑−𝒃)(𝒑−𝒄)(𝒑−𝒅) (𝒑𝒑−𝒂𝒂)(𝒑𝒑−𝒃𝒃)(𝒑𝒑−𝒄𝒄)(𝒑𝒑−𝒅𝒅) (𝒑−𝒂)(𝒑−𝒃)(𝒑−𝒄)(𝒑−𝒅)

Трапеция

𝑐𝑐= 𝑎 2 + 𝑏 2 2 𝑎 2 + 𝑏 2 2 𝑎 2 + 𝑏 2 2 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑏𝑏 𝑏 2 2 𝑏 2 𝑎 2 + 𝑏 2 2 2 𝑎 2 + 𝑏 2 2 𝑎 2 + 𝑏 2 2

a

b

c

S

S

𝑐𝑐= 𝑎𝑏 𝑎𝑏 𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑎𝑏

a

c

b

(Равновелики)

(Подобны)

Касательная, хорда, секущая

O

Углы в окружности

∠𝐴𝐴𝑂𝑂𝐶𝐶=∪𝐴𝐴𝐶𝐶
∠𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶= 1 2 1 1 2 2 1 2 ∪𝐴𝐴𝐶𝐶

Задача 1

1.

1.

Спасибо за внимание!