В подборке представлены задачи по темам: Производная, первообразная, показательные уравнения, тригонометрические уравнения, логарифмические неравенства, уравнения с параметрами. задачи даны с решениями и подробными объяснениями. Можно использовать в 11 классе для подготовки выпускников к итоговой аттестации, а можно - в качестве итогового повторения
x
)
2
3
x
9
(
1
2
2
x
)
3
2
x
2
9
Решение.
1
(
28
2
)
2
x
x
9
2
x
2
28
x
0
9
1. Решите уравнение
(
1
4
x
)
x
3
2
.9
(
1
4
0
2
x
.0
x
x
2
2
x
2
0
,2
9
=у, тогда
Пусть 2
x
2
у² + 8у – 9 = 0
2
x
x
)2(
2
y
2
.
y
y
,1
.9
D = 8² 4 1 (9) = 64 + 36 = 100
y
1
8
2
100
8
100
y
2
2
8
2
8
2
10
1
10
.9
Уравнение 2
не имеет решений, так как функция
принимает
y
t
2
9 x
только положительные значения.
2
так как функция
x
20
x
,0
возрастает на R.
y
t
2
Ответ: 0.
2. Решите уравнение sin²x – cos²x = (cos x – sin x)².
Решение.
sin²x – cos²x = (cos x – sin x)²
2cos² x = 2sin x cos x
1 – 2cos²x = cos²x – 2sin x cos x + sin²x
2sin x cos x – 2cos²x = 0
2
sin
cos
x
x
,0
cos
x
0
cos
x
,0
sin
x
sin(
2
0
x
x
x
)
2
4
Zmm
,
,
kk
,
Z
.
sin x – cos x = 0
sin x – sin(
) = 0
2sin
x
2
x
2
x
2
sin
x
cos
= 0
sin
= 0
cos
4
(
x
)
4
2
2
2
4
4
k
x
kk
,
Z
.
(
2
2
sin
cos
x
)
x
=0
x
)
(
2
2
= 0
(
x
)
4Ответ:
2
Zmm
,
;
4
kk
,
Z
.
3. Определите, при каком значении х производная функции
)(
xf
x
3
5
равна 0,15.
Решение.
)(
xf
D(f)=[
x
3
5
;+).
5
3
Функция дифференцируема на промежутке (
Найдём производную данной функции:
f
)(
x
3(
)5
x
.
3
32
x
5
5
).
;
3
Найдём при каком значении х производная функции равна 0,15.
5
3
3
32
x
5
3
33,0
5
3
5
5
3
,15,0
,100
,10
,3
3
5
3
5
5
x
x
x
x
x
x
x
Ответ: 35.
4. Решите неравенство
log
3
(
x
)7
3
5(
x
log
)
Решение.
log
3(
3
x
).
3
x
x
,105
5
3
x
.35
Найдём область значений неравенства.
x
5
3
Решаем неравенство, учитывая, что функция
,7
,5
3
,0
,0
0
7
x
x
x
x
x
.3
7
x
возрастает при t > 0.
)
x
3(
15
x
3
7
x
7
3
(
log
7
x
x
x
3
x
5
)7
3
x
2
log
y
5(
log
3
3
t
x
3)(
x
),
,
2
x
9
x
x
7
8
3
,0
log
3
(
x
)7
log
5(
3
x
)
log
3
7
5(
x
3
7
x
x
x
7
,1
,8
x
3
x
3)(
x
),
7
x
.1
Решим неравенство х² 9х + 8 > 0 методом интервалов.Пусть
2
x
)(
xf
при х = 1, х = 8;
.8
9
x
0
)( xf
D(f) = (; +)
х² 9х + 8 = (х – 8)(х – 1)
9 (8; +); f(9) = 8 > 0
5 (1; 8); f(5) = 12 < 0
0 (; 1); f(0) = 8 > 0
+ +
1 8 x
f(x) > 0 при х (; 1) (8; +).
х² 9х + 8 > 0
x
x
,1
.8
Ответ: (7; 1).
5. Докажите, что функция
)(
xF
функции
)(
xf
3
x
x
31
3(
xx
x
3
)1
1
x
32
ln
1999
на промежутке (
1
x
является первообразной
1
).
;
3
Функция
)(
xF
ln
x
32
x
1
1999
дифференцируема на интервале (
Решение.
определена на промежутке
,
)
1
3
. Чтобы доказать, что функция
;
)(
xF
ln
x
32
x
1
x
3
)(
xf
31
xx
3(
функции F(x).
x
x
3
)1
1999
1
)(
xF
(ln
x
3(2
x
)1
1
2
)
1999
x
3
x
x
31
1
x
3
3
x
x
3
x
3(1
x
1
1
)
;
3
является
первообразной
функции
на промежутке (
, надо найти производную
1
)
;
3
2
1
2
3
x
1
x
)31
x
3
1
x
1
2
3(
x
)1
3(
x
)1
0
1
x
3
x
3
1
x
1
31
x
3(
x
x
3
)1
(
xf
).
)(
xF
)(
xf
на промежутке (
первообразной функции
, значит
1
)
;
3
)(
xF
ln
x
32
x
1
1999
является
)(
xf
3
x
31
3(
xx
x
3
)1
x
1
на промежутке (
.
1
)
;
3
6. При каких значениях а уравнение х³ 3х² 24х + а = 0 имеет ровно два
различных корня?
Решение.
Уравнение х³ 3х² 24х + а = 0 имеет ровно два различных корня, то есть
функция f(x)= х³ 3х² 24х + а должна принимать значение 0 ровно в двух
различных точках. f(x)= х³ 3х² 24х + а дифференцируема при xR.
=3х² 6х – 24 = 3(х² 2х – 8) = 3(х – 4) (х + 2).
f
)(x
Найдём критические точки функции f(x), решив уравнение
= 0.
f
)(x
3(х – 4)(х + 2) = 0
x
x
x
f
)(x
f(x)
(; 2)
+
,4
.2
2
0
28+a
max
(2; 4)
(4; +)
+
4
0
80+a
min
5 (4; +)
f (5) = 3 (5 – 4)(5 + 2) = 3 7 = 21 > 0
0 (2; 4)
f (0) = 3 (4) 2 = 24 < 0
3 (; 2)
f (3) = 3 (3 – 4)(3 + 2) = 21 > 0.
f(2) = (2)³ 3 (2)² 24 (2) + а = 8 – 12 + 48 + а = 28 + а.
f(4) = 4³ 3 4² 24 4 + a = 64 – 48 – 96 + a = 80 + a.
Учитывая непрерывность функции f(x) в точках –2; 4, функция возрастает на
промежутке (; 2] от до значения f(2); на отрезке [2; 4] f(x) убывает
от значения f(2) до значения f(4); на промежутке [2; +) f(x) возрастает от
f(2) до +. Следовательно, функция f(x) принимает каждое из значений f(2)
и f(4) ровно два раза, а остальные значения – либо один, либо три раза.
Таким образом, только в случае если f(2) = 0 или f(4) = 0 значение 0
принимает функция f(x) ровно два раза.
Получаем:
a
,0
a
a
a
80
0
28
,28
.80Ответ: 28; 80.
задачи 11.docx
