Подготовка к ОГЭ. Теория по теме "Четырехугольники".

КВАДРАТ Определение Квадрат – это прямоугольник, у которого  все стороны равны. Свойства: 1) противоложные стороны равны; 2) противолежные углы равны; 3) диагонали точкой пересечения делятся  пополам; 4) диагонали равны; 5) диагонали взаимно перпендикулярны; 6) диагонали делят углы пополам d a a – сторона d ­ диагональ  P = 4a – периметр a=P 4  – сторона ч/з  периметр S = a2 – площадь ч/з сторону S=d2 2  – площадь ч/з  диагональ ПРЯМОУГОЛЬНИК d a b a – длина b ­ ширина d ­ диагональ     d2=a2+b2 P = 2(a +b)­ периметр S = a b ­ площадь S=d2 2 sinα ,  ­ угол м/у  диагоналями Определение Прямоугольник  это параллелограмм, у которого все углы прямые. –   Свойства: 1) противолежащие стороны равны; 2) противолежащие углы равны; 3) диагонали точкой пересечения  делятся пополам; 4) сумма углов, прилежащих к одной  стороне равна 180; 5) диагонали равны. В четырехугольнике, в котором три угла прямые – прямоугольник. Если все углы четырехугольника равны  – это прямоугольник. Если биссектриса прямоугольника делит пополам   сторону,   которую   она пересекает,   то   одна   из   сторон прямоугольника в два раза больше другой его стороны. Если   в   четырехугольнике   диагонали равны   и   в   точке   пересечения   делятся пополам,   то   такой   четырехугольник   – прямоугольник. h2 b h1 a P = 2(a +b)­ периметр S=ah1−площадь S=ah2  ­ площадь b  a d1 d2  1 2 S = a, b – стороны h1, h2 – высоты ПАРАЛЛЕЛОГРАММ Определение Параллелограмм – это четырехугольник,  противолежащие стороны которого  попарно параллельны. Свойства: 1) противолежащие стороны равны; 2) противолежащие углы равны; 3) диагонали точкой пересечения делятся пополам; 4) сумма углов, прилежащих к одной  стороне равна 180. S = a b sin ­  площадь  ч/з двестороныи синусуглам/уними Признаки: d1−диагональ 1)   Если   две   противолежащие   стороны d2−диагональ четырехугольника параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.  - угол  2)   Если   противолежащие   стороны d1d2sinα   четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. 3)   Если   диагонали   четырехугольника точкой   пересечения   делятся   пополам,   то этот четырехугольник — параллелограмм. 4) Если в четырехугольнике сумма углов, прилежащих   к   каждой   из   двух   смежных сторон   равна этот   то   четырехугольник — параллелограмм.   180,   Любой   отрезок   с   концами   на противолежащих сторонах параллелограмма,   проходящий   через точку   пересечения   его   диагоналей, делится этой точкой пополам. Биссектрисы   двух   соседних   углов параллелограмма перпендикулярны Биссектрисы двух противолежащих углов  параллельны или лежат на одной прямой. Если в параллелограмме хотя бы один  угол прямой, то он является  прямоугольником. Если   в   параллелограмме   сумма   двух противоположных углов равна 180  ­ это прямоугольник. Угол   между   высотами   параллелограмма, проведенными   из   одной   вершины,   равен углу   параллелограмма   при   соседней вершине.Как действовать   Если   противоположные   углы   то   такой 5) четырехугольника   равны, четырехугольник – параллелограмм1. Чтобы установить, что четырехугольник – параллелограмм, докажите, что в нем: ЛИБО    1) все стороны равны (определение ромба); ЛИБО    1) противоположные стороны попарно параллельны (определение  параллелограмма); 2) противоположные стороны попарно равны (признак); 3) две противоположные стороны равны и параллельны (признак); 4) диагонали точкой их пересечения делятся пополам (признак). 2. Для   того,   чтобы   установить,   что   данный   параллелограмм   –   прямоугольник, докажите, что у него: ЛИБО     1) все его углы прямые (определение прямоугольника); 2) диагонали равны (признак). 3. Для утверждения, что четырехугольник является прямоугольником, докажите, что: ЛИБО   1)   этот   четырехугольник   –   параллелограмм,   а   параллелограмм   ­ прямоугольник; 2) три угла четырехугольника – прямые. РОМБ Определение Ромб   –  это  параллелограмм,   в   котором   все стороны равны. Свойства: 1) противолежащие стороны равны; 2) противолежащие углы равны; 3)   диагонали   точкой   пересечения   делятся пополам; 4) сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180; 5) диагонали взаимно перпендикулярны; 6) диагонали делят углы пополам. Признак: Если   в   параллелограмме   диагонали взаимно   перпендикулярны,   то   этот параллелограмм – ромб. Диагонали   ромба   разделяют   его   на   четыре равных прямоугольных треугольника. Четырёхугольник,   все   стороны   которого равны, является ромбом. a  h a – сторона h – высота  ­ угол ромба P = 4a – периметр S=ah S = a2 sin d1, d2 – диагонали S= d1d2 2 d2 d1 Диагональ ромба разделяет его на два равных треугольника. Ромб, в котором один угол nрямой, ­ квадрат Параллелограмм, диагонали которого   делят   углы   пополам,   ­ ромб.   Как действовать Чтобы установить, что данный параплелограмм ­ ромб, докажите, что в нем: 2) диагонали взаимно перпендикулярны (признак); ТРАПЕЦИЯ Определение Трапеция – это четырехугольник, у которого две   стороны   параллельны,   а   две   другие   ­ непараллельны. Средняя   линия   трапеции   –   это   отрезок, соединяющий середины её боковых сторон. Свойство средней линии трапеции: Средняя   линия   трапеции   параллельна основаниям и равна их полусумме. Сумма   градусных   мер   двух   углов трапеции.   Прилежащих   к   боквой стороне, равна 180. Если боковая сторона трапеции равна меньшему   основанию,   то   диагональ, соединяющая их концы, ­ биссектриса угла,   прилежащего   к   большему основанию. Если   диагонали   трапеции   взаимно перпендикулярны,   то   средняя   линия трапеции равна ее высоте. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ   ТРАПЕЦИЯ  – трапеция, в которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям (или один угол равен 90) РАВНОБЕДРЕННАЯ   ТРАПЕЦИЯ  – трапеция, в которой боковые стороны равны. Свойство:  1)углы при основании равны; 2)диагонали равнобедренной трапеции равны. 3)диагонали образуют с ее основанием равные углы Признак: Если   в   трапеции   углы   при   основании равны,   то   такая   трапеция   является равнобедренной.Отрезок, диагоналей   трапеции, основаниям и равен их полуразности.   соединяющий   середины   параллелен В   равнобедренной   трапеции   сумма противолежащих углов равна 180 Если   в   трапеции   сумма   противополжных углов   равна   180,   то   трапеция равнобедренная Как действовать Если в условии задачи дана трапеция, то полезно такое дополнительне построение: проведите   через   вершину   трапеции   прямую,   параллельную   боковой   стороне,   и используйте свойства полученных параллелограмма и треугольника.