Подготовка к ОГЭ. Теория по теме "Треугольники".

B A Треугольники Треугольником  называется   фигура,   которая состоит   из   трёх   точек,   не   лежащих   на   одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки.  Обозначение    : ABC, BCA, CAB C Периметр – сумма длин всех сторон PABC = AB + BC + AC Элементы: Вершины – A, B, C (точки) Стороны – AB, BC, AC (отрезки) Углы – BAC , ABC,  ACB (A, B, C) Сумма углов треугольника равна 180º, т.е. A+ B+ C = 180 1 2 3   Внешний угол треугольника   –   угол, смежный с одним из углов треугольника 4 Внешний угол треугольника   1)   равен   сумме   двух   углов треугольника,   не   смежных   с ним, 4 = 1 + 2 2)  больше любого внутреннего угла, не смежного сним,  4 > 1, 4 > 2   ) е ы н з а р ы н о р о е т ы с н   е н с е в р ( д е б о н в а Р ) е ы в о к о б   –   ы н в а р ы н о р о т с   е в д ( е и н н о р о т с о н в а Р ) ы н в а р ы н о р о т с   е с в (   45 45 >90 60 60 60 Основные линии в треугольнике Медиана  (отрезок, соединяющий верщину треугольника с Биссектриса  (отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника) Высота  (перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону этого треугольника) B AM = MC ABD = CBD Средняя линия реугольника  (отрезок, соединяющий середины двух его сторон) C A C H BH  AC M N A C MN ­ средняя линия М – середина АВ  (AM = MB) N – середина ВС (BN = NC) Свойство: MN  AC MN =  1 2 AC Виды треугольников серединой противолежащей стороны этого треугольника) Остроугольный Прямоугольный Тупоугольный B M A B D C A все углы острые (меньше 90) один угол прямой (равен 90) один угол тупой   (больше 90) B е и н н о р о т с о н з а Р Соотношения между сторонами и углами треугольников Против   большей   стороны   лежит   больший угол,   и   наоборот,   против   большего   угла лежит большая сторона. Сравните   углы   треугольника   АВС,   если АВ>BC>AC.  Ответ. C>A>B В   равных   треугольниках   против   равных сторон   лежат   равные   углы,   и   наоборот, против   равных   углов   лежат   равные стороны. Любая   сторона   треугольника   меньше суммы   двух   других   сторон   и   больше  их разности                    a < b + c, a > b – c;                                      b < a + c, b > a – c;                                      c < a + b, c > a – b . Существует ли треугольник со сторонами 5см, 8см и 12см? 5<8+12  8<5+12  12<5+8  Ответ. не существует Признаки равенства треугольников По двум сторонам и углу между ними По   стороне   и   двум   прилежщим   к   ней углам  По трем сторонам Признаки подобия треугольников  По   двум   пропорциональным   сторонам   и углу между ним  По двум равным углам  По трем пропорциональным сторонам Равносторонний треугольник —  треугольник у которого все стороны  равны. Всякий равносторонний треугольник является равнобедренным, но не всякий  равнобедренный — равносторонним. Свойства равнобедренного треугольника 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. 2. В   равнобедренном   треугольнике   биссектриса,   проведенная   к основанию, является медианой и высотой. 3. В   равнобедренном   треугольнике   медиана,   проведенная   к   основанию, является биссектрисой и высотой. 4. В   равнобедренном   треугольнике   высота,   проведенная   к   основанию, является биссектрисой и медианой. 5. Центры   вписанной   и   описанной   окружностей   лежат   на   высоте, биссектрисе и медиане (они совпадают) проведенных к основанию. Равнобедренный треугольник Признаки равнобедренного треугольника Равнобедренный треугольник —  треугольник у которого равны две  стороны.  боковая сторона боковая сторона основание 1. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный. 2. Если в треугольнике медиана является высотой, то он равнобедренный. 3. Если   в   треугольнике   медиана   является   биссектрисой,   то   он равнобедренный. 4. Если   в   треугольнике   высота   является   биссектрисой,   то   он равнобедренный. Формулы для вычисления площади треугольника a – сторона h – высота S=1 2 ah S= 1 2 absinα h a b  a b c a a, b, c – стороны p – полупериметр p=a+b+c 2 S=√p(p−a)(p−b)(p−c) – формула Герона a Равносторонний треугольник S=a2√3 4 Прямоугольный треугольник Элементы равностороннего треугольника Высота (h) h=a√3 2 ,h=3r,h=R+r,h= 3R 2 Радиус вписанной  окружности (r) r= a 2√3 =a√3 6 ,r=R 2 ,r=h 3 Радиус описанной  окружности (R) R= a √3 =a√3 3 ,R=2r,R= 2h 3 c b h a, b – катеты с ­ гипотенуза h – высота a S=1 2 S=1 2 ab−площадьч/зкатеты ch−площадь S=pr r – радиус вписанной  окружности p ­ полупериметр p=a+b+c 2 a, b, c – стороны R – радиус описанной  окружности S=abc 4R