Изучая поведение функции y=f(x) около конкретной точки  х_0, важно знать, как

меняется значение функции при изменении значения аргумента. Для этого используют понятия приращения аргумента и функции.

Рассмотрим функцию y = f(x)

Выберем произвольную фиксированную точку х₀.  Дадим      точке х₀ некоторое приращение ∆х, т. е. сместим точку х₀ на некоторое расстояние ∆х.

∆х=х−х₀ – называется приращением аргумента

∆𝑦 =𝑓𝑥₀+∆𝑥 −𝑓(𝑥₀)- называется приращением функции

Если ∆х → 0, то точка х будет приближаться к точке х₀ и  f(x)  будет приближаться к f(x₀).

 Отношение приращения функции к приращению аргумента  т. е^{. ∆𝑦}  показывает, сколько единиц

∆𝑥

приращения функции приходится на единицу приращения аргумента и называется средней скоростью изменения функции  y для промежутка значений аргумента от х₀ до 𝑥₀ + ∆𝑥

^∆𝑦 = ^{𝑓 𝑥0+∆𝑥 −𝑓(𝑥0)} -средняя скорость изменения функции 

∆𝑥                        ∆𝑥

y для промежутка значений аргумента от х₀ до 𝑥₀ + ∆𝑥

При ∆х → 0 мы получим предел отношения приращения функции к приращению аргумента, т.е.

∆𝑦

lim  – называется мгновенной (истинной)

∆𝑥→0∆𝑥

скоростью    изменения    функции при данном значении аргумента.

lim ∆𝑦 = lim 𝑓 𝑥^{0+∆𝑥 −𝑓(𝑥0)} = 𝑓^∕(𝑥)- производная

∆𝑥→0∆𝑥    ∆𝑥→0  ∆𝑥 функции

Определение   Производной функции y=f(x) называется предел     отношения приращения функции    к приращению аргумента при ∆х → 𝟎.

     Операция    нахождения     производной функции называется дифференцированием.

 Если функция y=f(x) имеет производную в точке х, то ее  называют дифференцируемой в точке х.

 Если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке.

Алгоритм нахождения производной (для функции

y=f(x))

1.    Зафиксировать значение х₀, найти f(х₀).

2.    Дать аргументу х₀ приращение ∆х, перейти в новую точку х₀+∆х,  найти 𝑓𝑥₀ + ∆𝑥

3.    Найти приращение функции: ∆𝑦 = 𝑓𝑥₀ + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥₀)

4.    Составить отношение ^∆𝑦

∆𝑥

5.    Вычислить lim ^∆𝑦

∆𝑥→0 ∆𝑥

6.    Этот предел и есть 𝑓^∕(𝑥)

Пример     1:         Найти     производную функции y = x²  в точке х₀

Решение:

1)Фиксируем значение аргумента х = х₀  и находим значение функции 𝑓(𝑥₀)   т.е. f(x₀) = (x₀)²

2) Задаем аргументу приращение ∆𝑥 т.е. 

х = 𝑥₀ + ∆𝑥 и находим значение функции 𝑓𝑥₀ + ∆𝑥, т.е.

𝑓𝑥₀ + ∆𝑥 = ( х₀ + ∆𝑥)²= (х₀)²+2х₀∆х + ∆х²

3)Находим приращение функции ∆𝑓 = 𝑓𝑥₀ + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥₀)

Т.е. ∆𝑓 = (х₀)²+2х₀∆х + ∆х² −(x₀)² = 2х₀∆х + ∆х²

Пример 1:  Найти производную функции y = x²  в точке х₀ 4)Находим отношение .

∆𝑥

                           ∆𝑓       2х₀∆х + ∆х²            ∆𝑥(2х₀ + ∆𝑥)

𝑥

5)Находим предел .

∆𝑥→0∆𝑥

6)Таким образом 𝑓^∕(𝑥) = 2х

Пример2: Вычислить значение производной  функции f(x)= 3𝑥+1 в точке х₀ Решение:

1)Фиксируем значение аргумента х = х₀  и находим значение функции 𝑓(𝑥₀) т.е. f(x₀) = 3𝑥₀ + 1 2)Задаем аргументу приращение ∆𝑥 т.е.

х = 𝑥₀ + ∆𝑥 и находим значение функции 𝑓 𝑥₀ + ∆𝑥, т.е.

                                                                         𝑓𝑥₀ + ∆𝑥 =       3 𝑥₀ + ∆𝑥    + 1

3)Находим приращение функции ∆𝑓 = 𝑓 𝑥₀ + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥₀)

т.е. ∆𝑓 =         3 𝑥₀ + ∆𝑥    + 1 −     3𝑥₀ + 1

Пример2: Вычислить значение производной  функции f(x)= 3𝑥+1 в точке х₀

4)Находим отношение ∆𝑓  т.      3 𝑥0+∆𝑥 +1−                                                                                              3𝑥0+1

                                                                                                                          ∆𝑥            ∆𝑥                              ∆𝑥

5)Находим предел  т.е.

∆𝑥→0 ∆𝑥

                                                            ∆𝑓                    3 𝑥₀ + ∆𝑥    + 1 − 3𝑥₀ + 1

                                     lim          = lim

                                  ∆𝑥→0 ∆𝑥       ∆𝑥→0                                    ∆

6)Таким образом 𝑓

Задания

Вычислите производные следующих функций:

1.         F(x) = 2x+3 в точке х=3;  

2.         F(x)=3х²-2 в точке х=0;

3.         F(x)=5x-x² в точке х=1;

4.         F(x)= ¹ в точке х= -1;

𝑥+3

5.         F(x)= sin x в точке х= ^𝜋 ;

4 6. F(x)= cos x в точке х=− ^𝜋; 3

7.    F(x)= 2𝑥 − 5 в точке х=2;

8.    F(x)=  3𝑥+5  в точке х=5

Таблица производных