Пособие для самостоятельного изучения темы "Тригонометрические функции. Свойства и графики"

Свойства и графики тригонометрических функций

Функция y=sinx

Таблица значений тригонометрической функции y=sinx

x	0
y	0				1				0				-1				0

1 единичный отрезок = 2 клетки

π ≈ 3,14 ≈ 3=6 клеток =1 клетка

=1,5 клетки =2 клетки

=3 клетки =12 клеток

Постройте координатную плоскость: ось ОХ от начала и до конца страницы, ось OY - три клетки верх и три клетки вниз.

Отметьте единичный отрезок на оси OY – 2 клетки, на оси ОХ – соответствующие точки.

Проведите асимптоты графика пунктирной линией. (прямые, ограничивающие график функции)

Отметьте точки на координатной плоскости, учитывая область значений функции y=sinx: E_f=[-1;1], и постройте эскиз графика.

Учитывая, что sin(x+2π)=sinx (значения функции повторяются через 12 клеток) и sin(-x)=-sinx, постройте остальные элементы графика, перенеся каждую точку на 12 клеток вправо и влево

Получаем график функции y=sinx.

Свойства функции. (nZ)

1. Область определения: D_f(sin)=R

2. Область значения: E_f(sin)=[-1;1]

3. Нечетная: sin(-x)=-sinx

4. Периодичная: T=2π

5. Нули функции: OX – (πn;0) OY – (0;0)

6. Промежутки знакопостоянства:

f(x)>0 при x(2πn; π+2πn) f(x)<0 при x(-π+2πn; 2πn)

7. Монотонность функции

f(x) возрастает при x[-+2πn; +2πn]

f(x) убывает при x [+2πn; +2πn]

8. Экстремумы функции

(-+2πn; -1) – точка минимума (+2πn; 1) – точка максимума

Обратная функция

Так как функция синус возрастает на отрезке [-; ] и принимает все значения от -1 до 1, то для нее существует обратная: y= arcsinx (арксинус).

Определение: Арксинусом числа а называется такое число из отрезка [-; ] , синус которого равен а.

Например: arcsin =, так как sin=

arcsin (-)=-, так как sin (-)=-

Функция y=cos x

По формулам приведения sin(x+)=cosx. Получаем, что для построения графика функции y=cos x достаточно произвести преобразование над графиком функции y= sin x.

Выполним сдвиг вдоль оси ОХ влево на =3 клетки. Получаем график функции y=cosx.

Свойства функции. (nZ)

1. Область определения: D_f(cos)=R

2. Область значения: E_f(cos)=[-1;1]

3. Четная: cos(-x)=cosx

4. Периодичная: T=2π

5. Нули функции: OX – (+ πn;0) OY – (0;1)

6. Промежутки знакопостоянства:

f(x)>0 при x( -+2πn; +2πn) f(x)<0 при x(+2πn; + 2πn)

7. Монотонность функции

f(x) возрастает при x[-π+2πn; 2πn]

f(x) убывает при x [2πn; π +2πn]

8. Экстремумы функции

(π+2πn; -1) – точка минимума (2πn; 1) – точка максимума

Обратная функция

Так как функция косинус убывает на отрезке[0; π] и принимает все значения от -1 до 1, то для нее существует обратная: y= arccosx (арккосинус).

Определение: Арккосинусом числа а называется такое число из отрезка [0; π] , косинус которого равен а.

Например: arccos =, так как cos=

arccos (-)=, так как cos=-

Функция y=tg x

Таблица значений тригонометрической функции y=tgx

x	0
y	0		1		∞

Проведите асимптоты графика пунктирной линией через точки x= (прямые, ограничивающие график функции)

Учитывая, что tg(x+π)=tgx (значения функции повторяются через 6 клеток) и tg(-x)=-tgx, постройте график функции y=tgx.

Свойства функции. (nZ)

1. Область определения: D_f(tg)= ( -+πn; +πn)

2. Область значения: E_f(tg)=R

3. Нечетная: tg(-x)=-tgx

4. Периодичная: T=π

5. Нули функции: OX – (πn;0) OY – (0;0)

6. Промежутки знакопостоянства:

f(x)>0 при x(πn; +πn) f(x)<0 при x(-+πn; πn)

7. Монотонность функции

f(x) возрастает при x(-+πn; +πn)

8. Экстремумы функции - нет

Обратная функция

Так как функция тангенс возрастает на отрезке (-; ) и принимает все действительные значения , то для нее существует обратная: y= arctgx (арктангенс).

Определение: Арктангенсом числа а называется такое число из отрезка (-; ) , тангенс которого равен а.

Например: arctg 1=, так как tg =1

arctg (-)=-, так как tg (-)=-

Функция y=ctg x

По формулам приведения tg(x-)=-ctgx. Получаем, что для построения графика функции y=ctg x достаточно произвести преобразование над графиком функции y= tg x: сдвиг на 3 клетки вправо и преобразование симметрии относительно оси ОХ.

Выполним сдвиг вдоль оси ОХ вправо на =3 клетки, отобразим верхнюю часть графика вниз, нижнюю – вверх (перевернем график). Получаем график функции y=ctgx.

Постройте график функции y=ctg x

Свойства функции. (nZ)

1. Область определения: D_f(ctg)= ( πn; π+πn)

2. Область значения: E_f(ctg)=R

3. Нечетная: ctg(-x)=-ctgx

4. Периодичная: T=π

5. Нули функции: OX – (+ πn;0) OY – нет

6. Промежутки знакопостоянства:

f(x)>0 при x(πn; +πn) f(x)<0 при x(-+πn; πn)

7. Монотонность функции

f(x) убывает при x (πn; π +πn)

8. Экстремумы функции – нет

Обратная функция

Так как функция котангенс убывает на отрезке(0; π) и принимает все действительные значения, то для нее существует обратная: y= arcctgx (арккотангенс).

Определение: Арккотангенсом числа а называется такое число из отрезка (0; π), котангенс которого равен а.

Например: arcctg =, так как ctg=

arcctg (-)=, так как cos=-

Преобразование графиков

1	f (x+a)	Перенос графика y=f(x) вдоль оси ОХ (a>0 – влево, a<0 -вправо)
2	f (x)+b	Перенос графика y=f(x) вдоль оси ОY (b>0 – вверх, b<0 -вниз)
3	-f (x)	Симметрия относительно оси абсцисс
4	f (-x)	Симметрия относительно оси ординат
5	\|f (x)\|	Часть графика в верхней полуплоскости и на оси абсцисс без изменения, а вместо части графика в нижней полуплоскости строим ей симметричную относительно оси ОХ
6	f (\|x\|)	Часть графика в правой полуплоскости и на оси ординат без изменения, а вместо части графика в левой полуплоскости строим ей симметричную относительно оси ОY
7	f (kx), (k>0)	При k>1 сжатие к точке (0;0) вдоль оси абсцисс в k раз, при 0<k<1 растяжение от точки (0;0) вдоль оси абсцисс в 1/k раз
8	k f(x), (k>0)	При k>1 растяжение от точки (0;0) вдоль оси ординат в k раз, при 0<k<1 сжатие к точке (0;0) вдоль оси ординат в 1/k раз

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Постройте графики функций

Пособие для самостоятельного изучения темы "Тригонометрические функции. Свойства и графики"

Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.

21.01.2020