Позиционные системы счисления

Тема занятия: Позиционные системы счисления. Цель:    формирование знаний  о способах записи чисел и умение применять правила перевода в различных  позиционных  системах счисления, в том числе с использованием нестандартных заданий. Эпиграф:  «Все есть число» ­ говорили Пифагорийцы. Проблемный  вопрос:Как вы думаете, почему я выбрала такой эпиграф к нашему уроку? (Потому  что мы изучаем тему «Системы счисления»; мы каждый день имеем дело с разными системами  счисления: 60 – система счисления для измерения времени, 24 ­ количество часов в сутках, 7 ­ дни  недели, 12 – месяцы, 2 – компьютерная система счисления, 10 – арабские цифры и т.д.; потому что  нас окружает множество чисел…) Сообщение целей занятия. 2. Актуализация знаний Дайте определение понятию «число»? Дайте определение множества натуральных чисел? Чем является натуральное число с теоретико­множественных позиций? Что такое нуль с теоретико­множественных позиций? Дайте определение целых неотрицательных чисел. Каков смысл суммы целых неотрицательных чисел? 3.Сообщения: «История систем счисления» 4. Объяснение нового материала История систем счисления. Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с  числами: мы запоминаем номера автобусов и телефонов, в магазине подсчитываем стоимость  покупок, ведём свой семейный бюджет . Числа, цифры... они с нами везде. А что знал человек о  числах несколько тысяч лет назад?  Сегодня, в самом конце XX века, для записи чисел человечество использует в основном  десятичную систему счисления. А что такое система счисления? Система счисления. Перевод чисел. Система счисления – это способ записи чисел  с помощью специальных знаков – цифр. Система счисления: даёт представления множества чисел; даёт каждому числу уникальное представление  (или, по крайней мере, стандартное представление);отражает алгебраическую и арифметическую структуру  чисел. Язык чисел, как и любой другой, имеет свой алфавит. Числа: 123, 45678, 1010011, CXL Цифры:– символы, при помощи которых записывается число.             0, 1, 2, …         I, V, X, L, …  Разряд­ позиция цифры в числе   5 4 3 2 1  0  разряд   9 5 6 7 8 4  Алфавит – это набор цифр.  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}  Основание системы счисления – это количество цифр, используемых в данной системе счисления. Базис системы счисления – последовательность степеней основания. 10СС: 10n,10n­1,...,105,104, 103 102,101,100  2CC: 2n,2n­1,...,25,24, 23,22,21,20  8СС:  8n,8n­1,...,85,84, 83 ,82,81,80  16СС: 16n,16n­1,...,165,164, 163,162,161,160  Типы систем счисления: позиционные, непозиционные. Позиционные – значение цифры зависит  от её места (позиции) в записи числа.  Позиционные: шестидесятеричная, двоичная, шестнадцатеричная, десятичная … В числе 555 первая 5 стоит в позиции сотен, вторая 5 – в позиции десятков, третья5 – в позиции единицы  (555=500+50+5). V 5 Непозиционные – значение цифры не зависит от её места (позиции) в записи числа. Непозиционные: Единичная (унарная) система, римская система, Древнеегипетская десятичная система,  алфавитная система счисления. Римская система счисления I 1 Алгоритм перевода из 10СС в другие позиционные системы счисления: Разделить десятичное число на основание системы счисления. Получится частное и остаток. Выполнять деление до тех пор, пока последнее частное не станет меньшим основания новой системы  счисления. Записать последнее частное и все остатки в обратном порядке. Полученное число и будет записью в новой  системе счисления. M 1000 D 500 C 100 X 10 L 50 121 2 60    1   0    2 30   0 12110 = 11110012 571    3 8 71   7    8 8   0 57110 = 10738 2 7 1 2 3 1 2 1 2 15   1 8 1 7467    11 16 466    2    16 29 13 16 1 746710 = 1 13 2 1116= 1D2В16 Алгоритм перевода чисел из любой  системы счисления в десятичную. Записать данное число в общем виде:  АВСр=А∙р2+В∙р1+С∙р0  Найти сумму ряда.         Полученное число является значением числа в 10СС. 100112=1∙24+0∙23+0∙22+1∙21+1∙20==1910 1448=1∙82+4∙81+4∙80=64+32+4=10010 1С516=1∙162+12∙161+5∙160=256+192+5=45310 Перевод из 2ССв 8СС. Таблица систем счисления 10­ая 16­ая 10­ая 2­ая 8­ая 16­ая  0 1 2 3 4  5 6 7 8 0 1 10  11  100  101  110  111  1000  0 1 2 3 4 5 6 7 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 A  B  C  D  E  F  10 2­ая 1001  1010  1011  1100  1101  1110  1111  10000  8­ая 11 12 13 14 15 16 17 20 Степени числа: 2;8;16. n(степень) 2n 8n 16n 1 2 8 16 0 1 1 1 2 4 64 256 3 8 512 4096 4 16 4096 65536 5 32 32768 1048576 6 64 262144 16777216 7 128 8 256 9 512 10 1024 Разбиваем данное число на триады (на группы по три цифры). По таблице смотрим соответствие двоичной и  восьмеричной систем счисления. 1  100  101  0112=14538 Перевод из 2ССв 16СС. Разбиваем данное число на тетрады (на группы по четыре цифры). По таблице смотрим соответствие  двоичной и шестнадцатеричной систем счисления. 11  0010  10112=32В16 Операции с числами. Пример.  Пусть t = 5. Вычислить 3445 + 2425. Решение.    3445   +2425   11415  1) 4 + 2 = 6 = 115: 1 записываем в результат и один "десяток" добавляем к "десяткам"  одного из слагаемых.  2) 4 + 4 +1 = 9 = 145: 4 записываем в результат и одну "сотню" добавляем к "сотням"  одного из слагаемых.  3).3 + 2 + 1 =6 = 115: записываем в результат.  Получаем: 3445 + 2425 = 11415.  Пример.                                      101102                        +1110112 10100012 Пример.    1101112 +1011012 11001002 Задача. Решить задачу:Один человек имел 100 монет. Он поровну разделил их между двумя своими  детьми. Каждому досталось по 11 монет и одна осталась лишней. Какая система счисления  использовалась, и сколько было монет?  Решение: 100х = 11х + 11х + 1      х2 – 2х – 3 = 0      х1 = 3, х2 = – 1 (не является решением) Ответ: 1003 = 9, 113 = 4) 5.Закрепление нового материала. Задание  Перевести из 10 в 2СС:15 (1111) Перевести из 10 в 8СС(473) и 16 СС:315 (13В) Задание. Найти сумму:10010111011112 = 113578 101101+11111;  10111+101110. Задание.Перевести:        А).10 0002 вХ10( Ответ:16) В)  1100102в Х10 ( Ответ:50)       С)37108в Х10(Ответ:1992) Д)   151 16 в Х10(Ответ: 97) Задание. Используя таблицу кодировки букв и правила перевода чисел  210, расшифруйте приведенное  слово (полученные числа расположить в порядке возрастания. 010 1000 110 100 001 011 111 101 Т В Е С И Н О Д Задание.Прочитайте шуточное стихотворение А. Н. Старикова «Необыкновенная девочка» и  попробуйте разгадать загадку поэта. Для этого выпишите упомянутые в стихотворении числа и  переведите их в десятичную систему счисления.   Ей было тысяча сто лет, Она в 101 класс ходила.                                                  В портфеле по 100 книг носила.  Все это правда, а не бред.  Когда пыля десятком ног,  Она шагала по дороге,  За ней всегда бежал щенок  С одним хвостом, зато стоногий,  Она ловила каждый звук  Своими десятью ушами,  И десять загорелых рук  Портфель и поводок держали.  И десять темно­синих глаз  Оглядывали мир привычно.  Но станет все совсем обычным,  Когда поймете наш рассказ . Она ловила каждый звук  Своими двумя ушами,  И две загорелые руки  Портфель  и поводок держали.  И двое темно­синих глаз  Рассматривали мир привычно …  Но станет все совсем обычным,  Когда поймете наш рассказ.  Ей было 12 лет,  Она в 5  класс ходила,  В портфеле по четыре книги носила.  Все это правда, а не бред.  Когда, пыля двумя ногами,  Она шагала по дороге,  За ней всегда бежал щенок  С одним хвостом, зато четырехногий.  Она ловила каждый звук  Своими двумя ушами,  И две загорелые руки  Портфель  и поводок держали.  И двое темно­синих глаз  Рассматривали мир привычно …  Но станет все совсем обычным,  Когда поймете наш рассказ.  Решение:Выпишем упомянутые в стихотворении числа: 1, 10, 100, 101,1100. Все встречаемые  цифры – 0 или 1. Если предположить, что зашифровано разложение по степеням двойки, то  получим: «Ей было тысяча сто лет» – 1100 = 1 . 23 + 1 . 22 = 8 + 4 = 12 лет  «Она в сто первый класс ходила» – 101 = 1 . 22 + 1 = 4 + 1 = 5 класс  «…пыля десятком ног» – 10 = 21 = 2 ноги «С одним хвостом, зато стоногий» – 1 = 20 = 1, 100 = 22 = 4 ноги   и т.д. разобранное число 10.  Ответ: двоичная с/с. Задание.  Рождение цветка.  Понаблюдаем за рождением цветка: сначала появился один листочек, затем второй … и вот распустился бутон. Постепенно подрастая, цветок показывает нам некоторое двоичное число. Если вы до конца проследите за ростом цветка, то узнаете, сколько дней ему понадобилось, чтобы вырасти.  ( 100100012=145 дней)  6.Контроль знаний.Тест. 1.В какой системе счисления представлена информация,хранящаяся в компьютере? А.в троичной   Б.в десятичной   В.в двоичной   Г.в двенадцатеричной 2.Преимущество двоичной системы счисления состоит в том,что: А.двоичный код позволяет экономить память компьютера    Б.электронные элементы с двумя состояниями наиболее просты в конструктивном исполнении В. электронные элементы с двумя состояниями потребляют меньше электроэнергии    Г.двоичный код не вызывает сбоя компьютера 3.Восьмеричная система счисления отличается от шестнадцатеричной: А.количеством операций над числом в секунду             Б.глубиной вложенности операций В.количеством цифр,используемых для записи числа    Г.степенью компьютеризации 4.Какое количество цифр используется в троичной системе счисления? А.3         Б.11          В.10          Г.2 5.В шестнадцатеричной системе счисления символ F используется для обозначения: А.конца файла           Б.числа 16            В.конца строки           Г.числа 15 6.Переведите из двоичной системы счисления в десятичную число 101010101 А.361    Б.564       В.455         Г.341 7.Переведите из десятичной системы счисления в двоичную число 216 А.11001100         Б.11011000       В.11100000      Г.11001000 7.Подведение итогов урока. Выставление оценок.  Фронтальный опрос по новому материалу: Что такое система счисления? Какие системы счисления называются позиционными? Какие системы счисления называются непозиционными? Объяснить алгоритм перевода чисел из двоичной системы в десятичную. Объяснить алгоритм перевода чисел из десятичной системы в двоичную. Объяснить алгоритм перевода чисел из любой позиционной системы в десятичную. Объяснить алгоритм перевода чисел из десятичной системы в любую другую позиционную. 8.Рефлексия:  Какое задание было самым интересным?   Какое задание, по вашему мнению, было самым сложным?   С какими трудностями вы столкнулись, выполняя задания? Какие задания вы считаете самыми интересными, и какие задания можете предложить по данной  теме?  9.Домашнее задание. 1. Перевести из 2 системы в 10СС:   111010011;    100011101;   1110111001 2. Переведите   из   десятичной   системы   счисления   в   двоичную,   восьмеричную   и шестнадцатеричную следующие числа: 168, 1042, 1517. 3. Записать в 8 системе: (111001101)2;   (101010101) 2 4. Закодируйте любое крылатое выражение, используя представление номеров букв русского алфавита в различных системах счисления