Практическая работа на тему:"Элементы комбинаторики"

Практическая работа №9

Тема: «Элементы комбинаторики»

 

Цель: уметь применять формулы комбинаторики: размещения, сочетания, перестановки, правила сложения и умножения. Использовать при решении задач треугольник Паскаля и бином Ньютона.

 

Оборудование: ручка, методические рекомендации по выполнению работы.

 

Методические рекомендации по выполнению практической работы:

Задание №1.

Сколькими способами можно:

а) отобрать три различного цвета карандаша из 10 разноцветных карандашей, лежащих в коробке;

б) составить расписание различных занятий на пятницу из 8 предметов по 4 пары;

в) расставить на полке 7 книг, среди которых есть трехтомник А.С. Пушкина;

г) отбирать 3 мальчиков и 7 девочек для участия в конкурсе из группы в 25 человек, среди которых 10 мальчиков и 15 девочек.

 

Решение:

а) По условию задачи в коробке имеется 10 разноцветных карандашей, то есть n=10, из которых отбирают три любых карандаша, то есть m=3, так как порядок следования карандашей не важен, то будем использовать формулу сочетаний:

Найдем искомое число способов:

.

 

Ответ: 120.

 

б) По условию задачи в коробке имеется 8 учебных предметов, то есть n=8, расписание пятницы состоит из четырех пар, то есть m=4. В данном случае при составлении расписания порядок следования элементов в подмножестве важен, что означает использование формулы размещений:

 

Найдем искомое число способов составления расписания:

Ответ: 1680.

 

в) так три тома, входящие в трехтомник, должны стоять рядом, причем по возрастанию номера тома слева направо, рассматриваем их как один элемент данного множества, в котором имеется еще  элемента, поэтому выбираем перестановки во множестве, содержащим 5 элементов, то есть n=5.

Ответ: 120.

 

г) так как при отборе мальчиков и девочек не учитывается их порядок следования в подгруппах, то для вычислений воспользуемся формулой сочетаний, с другой стороны, так как выбирается 3 мальчика и 7 девочек, то необходимо воспользоваться правилом умножения:

 

 

 

Ответ: .

 

Задание №2.

Разложить по степеням:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

 

Решение:

а)

 

Воспользуемся формулой бинома Ньютона:

 

.

 

Для подсчета числа сочетаний воспользуемся треугольником Паскаля, а именно его восьмой строчкой, состоящей из чисел:

 

Таким образом, получим наше разложение:

 

 

=

 

 

 

 

.

 

Получили разложение:

.

 

б) необходимо теперь разложить .

Аналогично получаем:

 

 

Для подсчета числа сочетаний воспользуемся треугольником Паскаля, а именно его седьмой строчкой, состоящей из чисел:

 

Получим:

 

 

 

 

 

 

.

 

Получили разложение:

.

 

в)

 

 

Для подсчета числа сочетаний воспользуемся треугольником Паскаля, а именно его шестой строчкой, состоящей из чисел:

 

Получим:

 

 

 

 

.

 

Получили разложение:     .

 

г)

 

 

.

 

Для подсчета числа сочетаний воспользуемся треугольником Паскаля, а именно его девятой строчкой, состоящей из чисел:

 

Получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

Получили разложение:     .

 

Задания для самостоятельной работы:

 

Вариант №1   Задание №1. Сколькими способами можно: а) отобрать 5 различного цвета шариков из 12 шаров, лежащих в ящике; б) сшить трехцветный флаг, имея 11 цветных отрезов ткани; в) переставить 4 первых четных числа; г) выбрать 5 женщин и 7 мужчин из группы, состоящей из 20 человек, среди которых 12 мужчин.             Задание №2. Разложить по степеням: а) ; б) ; в) ; г) .

Вариант №2   Задание №1. Сколькими способами можно: а) отобрать четыре мелка разноцветных или одного цвета из 10 мелков, лежащих в коробке, причем в коробке находится 3 красных, 2 синих, 2 желтых и 3 зеленых мелка; б) составить различные пятизначные телефонные номера без повторяющихся цифр, начиная с цифры 2; в) переставить цифры 1, 3, 5, 7, 9, так, чтобы каждая цифра входила только один раз в любую перестановку; г) выбрать для участия в забеге на дистанцию либо 2 юношей, либо 2 девушек из группы в 18 человек, среди которых 7 девушек.   Задание №2. Разложить по степеням: а) ; б) ; в) ; г) .

 

Контрольные вопросы (ответьте письменно):

1.                  Запишите формулу для вычисления числа сочетаний из n элементов по m.

2.                  Запишите формулу для вычисления числа размещений из n элементов по m.

3.                  Запишите формулу для вычисления числа перестановок из n элементов.

4.                  Запишите формулу бинома Ньютона.

5.                  Составьте треугольник Паскаля.

6.                  Запишите правило сложения элементов.

7.                  Запишите правило умножения элементов.

 

8.