Практическое занятие № 7
Тема: «Построение отношений, отображений»
Цель работы: научиться записывать бинарные отношения, определять их свойства и типы, определять функции и их типы
Теория
1 Пусть А и В – два множества. Бинарным отношением из множества А во множество В называется любое подмножество R множества А×В : RAB. Если (a,b)R, то пишут aRb и говорят, что а и b находятся в отношении R. Если А=В, то говорят, что R – отношение на множестве А.
2 На конечных множествах бинарное отношение удобно задавать матрицей. Пусть А={а1,а2 ,...,аm}, B={b1,b2 ,...,bn}, R AB. Матрицей P=(pij) бинарного отношения R называется матрица размера m×n, элементы которой определяются так:
3 Областью определения RA бинарного отношения R называется подмножество множества А, Областью значений RB бинарного отношения R называется подмножество множества В,
4 Отношением R-1 , обратным к отношению R, называется подмножество декартового произведения В×А. Матрица обратного отношения получается транспонированием матрицы отношения R.
5 Отношение R называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично, транзитивно.
6 Бинарное отношение R называется отношением нестрогого порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично, транзитивно.
7 Бинарное отношение R называется отношением строгого порядка, если оно антирефлексивно, антисимметрично, транзитивно.
Ход работы
1 Найти элементы бинарного отношения R = {(a,b)|b кратно a} из множества A во множество B. Отношение R задать с помощью перечисления пар и матрицей. Определить обратное отношение.
2 На множестве А задано бинарное отношение R. Указать элементы отношения R, записать матрицу отношения R, определить, является ли R отношением эквивалентности.
3 Определить свойства бинарного отношения Q, заданного на данном множестве с обоснованием.
4 Определить тип заданного отношения W.
Пример решения задачи.
Исходные данные:
1. A = {1; 3; 7; 8; 15}; B = {21; 35; 40; 60}
Решение:
а) Декартово произведение A×B = {(1; 21); (1; 35); (1; 40); (1; 60); (3; 21); (3; 35); (3; 40); (3; 60); (7; 21); (7; 35); (7; 40); (7; 60); (8; 21); (8; 35); (8; 40); (8;
60); (15; 21); (15; 35); (15; 40); (15; 60)}
б) Выберем те пары, которые соответствуют отношению R = {(1; 21); (1;
35); (1; 40); (1; 60); (3; 21); (3; 60); (7; 21); (7; 35); (8; 40); (15; 60)}
в) Выпишем обратное отношение в виде перечисления пар: R-1 = {(21; 1); (21; 3); (35; 1); (35; 7); (40; 1); (40; 8); (60; 1); (60; 3); (60; 15)}
Исходные данные:
2. А={2, 5, 15, 23} R={(a, b) (a + b) кратно 5}
Решение:
а) Декартов квадрат А2 = A×А = {(2; 2); (2; 5); (2; 15); (2; 23); (5; 2); (5; 5); (5; 15); (5; 23); (15; 2); (15; 5); (15; 15); (15; 23); (23; 2); (23; 5); (23; 15); (23; 23)}
б) Выберем те пары, которые соответствуют отношению R = {(2; 23); (5;
5); (5; 15); (15; 5); (15; 15); (23; 2)}
в) Отношение не является рефлексивным, т.к. главная диагональ матри-
цы не состоит из единиц
г) Матрица бинарного отношения и обратного совпадают, значит, отно-
шение симметрично
д) Отношение не является транзитивным, т.к. если (а + b) и (b + c) крат-
ны 5, (a + c) не обязательно кратно 5 ( например, 2 + 23, 23 + 7, 2 + 7 не кратно
5)
е) Значит, данное отношение не является отношением эквивалентности
Исходные данные:
3 Q – отношение параллельности на множестве всех прямых плоскости Решение:
а) Отношение Q рефлексивно, т.к. любая прямая a ║ а.
б) Q симметрично, т.к. если прямая a ║ b, то b ║ a
в) Q транзитивно, т.к. a ║ b, b ║ с, то a ║ с
Исходные данные:
4. W – отношение предшествования букв в русском алфавите на множестве {а; б; в; г; д; е; ж; з}
Решение:
Отношение W антирефлексивно, т.к. любая буква не предшествует самой себе. W антисимметрично, т.к. если буква a предшествует б, то б не предшествует а. W транзитивно, т.к. если, а предшествует б, б предшествует в, то а предшествует в.
Значит, отношение W является отношение строгого порядка.
Задания к практической работе.
Задание 1
|
1 A = {2; 3; 9; 15; 16}; B = {20; 36; 45; 64} |
2 A = {2; 6; 7; 11; 20}; B = {20; 36; 42; 140} |
3 A = {2; 3; 6; 7; 12}; B = {6; 16; 42; 60} |
|
4 A = {1; 4; 9; 10; 12}; B = {20; 36; 45; 72} |
5 A = {1; 2; 3; 10; 15}; B = {3; 8; 30; 90} |
6 A = {2; 3; 9; 11; 17}; B = {6; 18; 44; 51} |
|
7 A = {1; 4; 7; 20; 25}; B = {20; 36; 50; 125} |
8 A = {2; 3; 7; 8; 13}; B = {20; 39; 42; 72} |
9 A = {2; 5; 6; 7; 10}; B = {6; 16; 40; 140} |
|
10 A = {3; 4; 5; 11; 12}; |
11 A = {1; 4; 6; 12; 18}; |
12 A = {5; 6; 9; 15; 18}; |
|
B = {20; 36; 55; 72} |
B = {3; 30; 36; 84} |
B = {6; 18; 45; 75} |
|
13 A = {3; 5; 10; 11; 20}; B = {20; 35; 44; 80} |
14 A = {2; 7; 8; 12; 22}; B = {20; 35; 48; 66} |
15 A = {2; 3; 8; 9; 15}; B = {6; 16; 45; 90} |
|
16 A = {3; 4; 5; 11; 12}; B = {12; 36; 45; 72} |
17 A = {1; 2; 3; 11; 14}; B = {3; 22; 30; 42} |
18 A = {2; 3; 5; 10; 17}; B = {6; 18; 40; 51} |
|
19 A = {1; 4; 7; 20; 25}; B = {20; 35; 50; 120} |
20 A = {3; 4; 7; 8; 10}; B = {3; 35; 48; 60} |
21 A = {1; 3; 6; 7; 12}; B = {6; 18; 49; 120} |
|
22 A = {1; 4; 5; 6; 14}; B = {12; 30; 45; 70} |
23 A = {2; 3; 5; 9; 16}; B = {3; 12; 30; 48} |
24 A = {2; 5; 6; 10; 17}; B = {6; 18; 50; 68} |
|
25 A = {1; 4; 8; 9; 25}; B = {20; 32; 50; 90} |
26 A = {3; 5; 7; 8; 10}; B = {3; 35; 48; 50} |
27 A = {1; 2; 6; 8; 15}; B = {6; 16; 50; 60} |
|
28 A = {1; 3; 4; 6; 7}; B = {2; 12; 30; 42} |
29 A = {2; 5; 6; 7; 13}; B = {2; 35; 48; 65} |
30 A = {1; 2; 3; 9; 11}; B = {6; 18; 55; 63} |
Задание 2
|
1 {2, 3, 4, 5} R={( a,b ) a <b } |
2 А={12, 13, 14, 15} R={(a, b) a >b} |
|
3 А={1, 2, 3, 4} R={(a, b) a ≤b} |
4 А={6, 7, 8, 9} R={(a, b) a ≥ b} |
|
5 А={2, 3, 4, 7} R={(a, b) a кратно b} |
6 А={5, 6, 10, 18} R={(a, b) b кратно a} |
|
7 А={2, 4, 6, 8} R={(a, b) а : b -четное } |
8 А={1, 2, 4, 6} R={(a, b) а : b - четное} |
|
9 А={1, 2, 3, 4} R={(a, b) a‒b<1} |
10 А={2, 4, 16, 22} R={(a, b) (a + b) кратно 6} |
|
11 А={2, 4, 8, 10} R={(a, b) (a‒b) кратно 3} |
12 А={2, 3, 4, 5} R={(a, b) b - a <1} |
|
13 А={1, 2, 5, 7} R={(a, b) (a + b) кратно 3} |
14 А={2, 6, 10, 14} R={(a, b) (a + b) кратно 4} |
|
15 А={2, 6, 18, 30} R={(a, b) а : b ‒ нечетное} |
16 А={3, 9, 21, 27} R={(a,b) а : b - нечетное} |
|
17 А={1, 3, 7, 9} R={(a, b) (a + b) кратно 4} |
18 А={2, 4, 16, 22} R={(a, b ) (a + b) кратно 3} |
|
19 А={6, 7, 8, 9} R={(a, b) b ‒ a <1} |
20 А={1, 4, 7,10} R={(a, b) (a ‒ b) кратно 3} |
|
21 А={3, 9, 15, 21} R={(a, b) ( a + b ) кратно 6} |
22 А={5, 6, 7, 8} R={(a, b) a ‒ b<1} |
|
23 А={4, 8, 16, 20} R={(a, b) а : b четное} |
24 А={3, 6, 12, 18} R={(a, b) а : b четное} |
|
25 А={4, 8, 16, 20} R={(a, b) b кратно a} |
26 А={2, 3, 5, 9} R={(a, b) a кратно b } |
|
27 А={10, 11, 12, 13} R={(a, b) a крат- |
28 А={5, 6, 7, 8} R={(a, b) a ≤ b } |
|
но b} |
|
|
29 А={16, 17, 18, 19} R={(a, b) a >b} |
30 А={7, 8, 9, 10} R={(a, b) a < b } |
Задание 3
|
1 Отношение «не равно» на множестве действительных чисел |
2 Отношение «больше» на множестве действительных чисел |
|
3 Отношение «меньше или равно» на множестве действительных чисел |
4 Отношение «больше или равно» на множестве действительных чисел |
|
5 Отношение «остатком от деления нацело» на множестве действительных чисел |
6 Отношение «быть делителем» на множестве действительных чисел |
|
7 Отношение «подобия» на множестве треугольников |
8 Отношение «равенства» на множестве треугольников |
|
9 Отношение «быть старше» на множестве людей |
10 Отношение «быть руководителем» на множестве людей |
|
11 Отношение «быть однокурсником» на множестве людей |
12 Отношение «быть соседом» на множестве людей |
|
13 Отношение «быть братом» на множестве людей |
14 Отношение «быть отцом» на множестве людей |
|
15 Отношение «быть ровесником» на множестве людей |
16 Отношение «быть моложе» на множестве людей |
|
17 Отношение «коллинеарности» на множестве векторов |
18 Отношение «ортогональности» на множестве векторов |
|
19 Отношение «быть конкурентом» на множестве людей |
20 Отношение «быть другом» на множестве людей |
|
21 Отношение «не равно» на множестве натуральных чисел |
22 Отношение «больше» на множестве натуральных чисел |
|
23 Отношение «меньше или равно» на множестве натуральных чисел |
24 Отношение «больше или равно» на множестве натуральных чисел |
|
25 Отношение «остатком от деления нацело» на множестве натуральных чисел |
26 Отношение «быть делителем» на множестве натуральных чисел |
|
27 Отношение «подобия» на множестве многоугольников |
28 Отношение «равенства» на множестве многоугольников |
|
29 Отношение «коллинеарности» на множестве векторов |
30 Отношение «ортогональности» на множестве векторов |
Задание 4
|
1 Отношение «равенства» на множестве многоугольников |
2 Отношение «подобия» на множестве многоугольников |
|
3 Отношение «ортогональности» на множестве векторов на плоскости |
4 Отношение «коллинеарности» на множестве векторов |
|
5 Отношение «быть руководителем» на множестве людей |
6 Отношение «быть старше» на множестве людей |
|
7 Отношение «быть соседом» на множестве людей |
8 Отношение «быть однокурсником» на множестве людей |
|
9 Отношение «больше или равно» на множестве действительных чисел |
10 Отношение «меньше или равно» на множестве действительных чисел |
|
11 Отношение «быть делителем» на множестве действительных чисел |
12 Отношение «обучаться на одном факультете» на множестве студентов |
|
13 Отношение «равенства» на множестве треугольников |
14 Отношение «подобия» на множестве треугольников |
|
15 Отношение «быть предком» на множестве людей |
16 Отношение «быть братом» на множестве людей |
|
17 Отношение «быть моложе» на множестве людей |
18 Отношение «быть ровесником» на множестве людей |
|
19 Отношение «больше или равно» на множестве натуральных чисел |
20 Отношение «меньше или равно» на множестве натуральных чисел |
|
21 Отношение «быть делителем» на множестве натуральных чисел |
22 Отношение «обучаться в одном институте» на множестве студентов |
|
23 Отношение «ортогональности» на множестве векторов на плоскости |
24 Отношение «коллинеарности» на множестве векторов |
|
25 Отношение «быть другом» на множестве людей |
26 Отношение «быть конкурентом» на множестве людей |
|
27 Отношение «больше» на множестве натуральных чисел |
28 Отношение «не равно» на множестве натуральных чисел |
|
29 Отношение «больше» на множестве действительных чисел |
30 Отношение «не равно» на множестве действительных чисел |
Порядок выполнения задания, методические указания: - ознакомиться с теоретическими положениями по данной теме; - изучить схему решения задач; - выполнить задания практической работы; - сформулировать вывод
Контрольные вопросы
1 Что такое бинарное отношение?
2 В чем заключается свойство рефлективности, антирефлексивности бинарного отношения?
3 В чем заключается свойство симметричности, антисимметричности бинарного отношения?
4 В чем заключается свойство транзитивности бинарного отношения?
5 Что такое эквивалентное бинарное отношение.
6
Практическое занятие № 7 Тема: «Построение отношений, отображений»
Пример решения задачи. Исходные данные: 1
Q транзитивно, т.к. a ║ b , b ║ с , то a ║ с
A = {1; 3; 4; 6; 7};
Отношение «остатком от деления нацело» на множестве действительных чисел 6
Задание 4 1 Отношение «равенства» на множестве многоугольников 2
Контрольные вопросы 1
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
