Практическая работа на тему "Определенный интеграл. Вычисление площадей фигур с помощью определенных интегралов"

Специальность: 09.02.03 Программирование в компьютерных системах Дисциплина: Элементы высшей математики Группа: П­2Б, П­2А Семестр 3 Цель: сформировать умение выполнять арифметические действия с матрицами. Тема: «Матрицы и действия с матрицами» Методические указания и теоретические сведения к практической работе Матрицей  называется  прямоугольная таблица чисел, состоящая из  m  строк и  n  столбцов, которую записывают в следующем виде: A . 2 mn       ... ... ... ... a 11 a 21 ... a m 1 a 12 a 22 ... a m n a 1 a 2 n ... a        Для обозначения матрицы используют заглавные латинские буквы, для обозначения элементов матрицы – строчные латинские буквы с указанием номера строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Запись «матрица  B  имеет размер  mxn»  означает, что речь идет о матрице, состоящей из m строк и n столбцов.  3 2   имеет   размер  2x3.   Далее,  bij  ­   обозначение   элемента, Например,   матрица    01 5 3        B стоящего на пересечении i­й строки и j­го столбца данной матрицы (в примере b23=5). При ссылке на i­ю строку матрицы A используют обозначение Ai, при ссылке на j­й столбец – обозначение Aj. Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу размера  nxn  называют  матрицей  n­го порядка.    Элементы  a11  ,  a22  ,…,    ann    квадратной матрицы A (размера nxn) образуют главную диагональ.  Квадратная   матрица,   у   которой   все   элементы,   кроме   элементов   главной   диагонали,   равны нулю, называется диагональной.   Диагональная   матрица,   у   которой   каждый   элемент   главной   диагонали   равен   единице, называется единичной. Обозначается буквой Е. Например,                                                   ­ единичная матрица 4­го порядка. 44 ХЕ        0001 0010 0100 1000         Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали треугольной. Например, среди квадратных матриц размера 3x3 A        32 9 0 0 0 1 3 2       ,    B        002 07 0 0 10      ,    E       001 010 100      ,    C       2 1 3 0 5 4   0 0 2       матрица A является верхней треугольной, B – диагональной, C – нижней треугольной, E – единичной.  Матрицы A, B называются равными (A=B), если они имеют одинаковый размер, и их элементы, стоящие на одинаковых позициях, совпадают. 1. Сложение    Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.  Действия над  матрицами. 1 Специальность: 09.02.03 Программирование в компьютерных системах Дисциплина: Элементы высшей математики Группа: П­2Б, П­2А Семестр 3   одинаковыми индексами (стоящие на одинаковых местах):      Чтобы   найти  сумму   матриц  A,  B  одной   размерности,   необходимо   сложить   элементы   с BA        a 11 a 21 ... a        a m 1 a 11 a 21 m 1 2 a 12 a 22 ... a m  b 11  b 21 ...  b m 1  ... ... ... ... a 12 a 22 a m 2  a  n 1 a  2 n  ...  a  mn  b 12  b 22 ...  b m 2       b 11 b 21 ... b m 1 ... ... ... ... b n 1 b 2 n ... b mn        ... ... ... ... b n 1 b 2 n b 12 b 22 ... b m a n 1 a n 2 2   ...  a mn b mn         1  Пример 1.                       +                                = 4  03 6 5 3 2 3 5 2 4             05 02          1  10  2. Умножение на число Чтобы  умножить матрицу  A  на отличное от нуля действительное число  k,  необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число: kA  k       a 11 a 21 ... a m 1 a 12 a 22 ... a m 2 ... ... ... ... a n 1 a 2 n ... a mn              11 ka ka 21 ... ka m 1 12 ka ka 22 ... ka m 2 ... ... ... ... n ka n 1 ka 2 ... ka mn       . Пример 2.  Найти 2A­B, если  A     4 2   1  3  ,  B     0 1  23    . Решение.  Сначала умножаем матрицу  A  на число 2, затем матрицу  B  на число ­1, и, наконец, находим сумму полученных матриц:   0 1    23                       1 3  1 3 BA 0 2 2 6 2 4 )1( 8 4 7 7 4 2       2 2    3. Произведение  матриц Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведением матрицы Аmxn=(aij) на матрицу Вnxp=(bjk) называется матрица Сmxp=(cik) такая, что элемент i­ой строки и k­ого столбца произведения С равен сумме произведений элементов i­ой строки матрицы  А на соответствующие элементы k­ого столбца матрицы В. Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведение АВ и ВА всегда существует. Пример 3.  Найти произведение матриц   A   11   4 0   2 1        и  B     1 3  2 4    . Решение.   Размер матрицы   A 3x2, матрицы ­ В  2х2. Поэтому произведение АВ найти можно, произведение ВА – нет. Действуя по сформулированному выше правилу, получаем:  2 Специальность: 09.02.03 Программирование в компьютерных системах Дисциплина: Элементы высшей математики Группа: П­2Б, П­2А Семестр 3   11  4 0   2 1    41)2(1   )44)2(0   41)2(2  3111  3410  3112  31  12 0  32                     2 4          1 3  42  16 0  44            2 12 5 6 16 0      Матрица,   полученная   из   данной   заменой   каждой   ее   строки   столбцом   с   тем   же   номером, называется транспонированной к данной. Обозначается AT . Так, если   A     1 2   5 3     , то  TA     1 5   2 3     .        Если   C      2 1 0 1  33    , то  TC        2 0 1  1 3 3      . Пример 4. Найти АВ+СТ  , если A   11   4 0   2 1              B     1 3  2 4            C      2 1 1 0  33    Решение.  Воспользовавшись вычислениями примера 3,   также правилами умножения матрицы на число и сложения матриц, получим:  АВ+СТ  =   11  4 0   2 1           1 3  2 4        2 642 5 37 T         2 12 5 6 16 0             2 52 4 7 6 3             2 20 17 16 30 6      . 3