Практическая работа на тему: Применение интеграла при решении прикладных задач

Тема занятия: Применение определенного интеграла к решению прикладных задач. Цель занятия: Научиться применять интегралы для вычисления прикладных задач. Практическая работа   Известно, что площадь криволинейной трапеции (рис. 2) вычисляется как  5.1. Вычисление площади плоской фигуры   у      0      a                       b      x  Рис. 2.  S b   a ( ) f x dx . (2)  Отметим,   что   если   криволинейная   трапеция , то площадь может f x  ( ) 0  расположена ниже оси 0х,   быть найдена по формуле S b   a ( ) f x dx .               (3) Формулы (2) и (3) можно объединить в одну   S b   a ( ) f x dx .     Площадь   фигуры,   ограниченной   кривыми   ( ) x  x a x b f   , 2  1( ) f x y   ( ) f x 1  f y   и    можно найти по формуле 2( ) x ,   прямыми у  у = f2(x)  у = f1(x)      0      a                       b      x  Рис. 3.  S             b  a ( ) x  f 2 f x dx 1 ( )  .       Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то её следует   разбить   на   части   по   прямым,   параллельным   оси Oy ;  чтобы можно было применить известные формулы. Если   криволинейная   трапеция   ограничена   кривой,   заданной параметрически       находится по формуле    x y x t ( ) ( ) y t t    ] [ , , прямыми   x  , a x b    и осью  Ox , то площадь  =  ()                S     y t ( )   x t dt ( ) .               0                               x  Рис. 4.  1    Если уравнение линии задано в полярных координатах   площадь криволинейного сектора определяется по формуле     ( ),        (см. рис.4),  то  S  1 2    Примеры.  2    ( ) d . 1) Вычислить площадь  S  фигуры, ограниченной кривыми   y x   и  y x 3  (см. рис. 5).   у  у =x3  у =  x         0            1              x  Рис. 5.  у  0  b  S/4  Рис. 6.  x  a  (см. рис. 6).  Находим точки пересечения кривых:  3 x x ,   x x 6 x и, значит,  1  0, x 2  . 1 Следовательно S   1  0 x  3 x dx   3/ 2 x 2 3 1 0  4 x 4 1 0    2 3 1 4 5 12 .      Вычислить площадь   S   фигуры, ограниченной эллипсом   x a   y b cos sin t t t   [0;2 ]. Сначала найдем площадь 1 4  части  эллипса Здесь х изменяется от 0 до  , следовательно, t  изменяется от  2  до 0. Находим, что 1 4 S  0   2 b sin t   a sin  t dt     (1 cos2 ) t dt    ab 0   2 2 sin t dt  ab 2 0   2 Таким образом,  S   ab .  ab 2 t  1 2 t sin 2   2 0   ab 4 . 2         2) Вычислить площадь S фигуры, ограниченной  «трехлепестковой розой»: r a  cos3 . 0  /6    Рис. 7.  Найдем вначале площадь половины одного лепестка «розы» (см. рис. 7).  1 6 1 6 S  1 2  6  0 2 a 2 cos 3   d S  1 2 6   0 2 a 2 cos 3   d 2 a 1 2 6   0  1 2  1 cos6    d 2 a 4   sin 6 6   0 6  2 a 4  6  0   2  a 24 .   Следовательно,   S 2  a   24 6 2 .  a  4 5.2. Вычисление длины дуги плоской кривой. Длина  L  дуги  АВ  кривой,  заданной уравнением   y  )(xf значению   (см. рис. 8)  находится по формуле: точка     x a ,  В  соответствует , где точка  А  соответствует   значению   x b     у  А      0      a                        b     x  Рис. 8.  L  b  a 1    ( ) f x  2 dx . В  Длина дуги АВ кривой L, заданной параметрическими уравнениями       x y     t t t    ] [ ; находится по формуле    L   '  t 2     2  ' t dt .    Если плоская линия задана уравнением            в полярных координатах, то  ( ), , L        ( ) 2       ( )  2 d  .   b  Примеры.  у  0  L/4  r  Рис. 9.  1) Найти длину окружности   2 x Вычислим длину окружности.   2 y 2  r  (см. рис. 9). x  Вначале найдем L/4. 3             y  2 r 2  x ,  y    1 2 2  r x 2 x . 2 L 4  r  0 1  2 x  2 x 2 r dx  r  0 r  2 r 2 x dx r   arcsin x r r 0   r 2 . Длина окружности   L  r   2 4   2 . R 2) Вычислить длину дуги винтовой линии   x a   cos , t y   a sin , t z b t  между точками t  0,и t   . Поскольку  l    0  x    a sin , t  y   a cos , t  ' x t 2    ' y t  z 2   , то b   ' z t 2   2 a 2 . b  2 a  2 b dt  2 a 2  b  .  Найти длину кардиоиды   r a    (1 cos ). Кардиоида имеет вид  (см. рис. 10).  Она симметрична относительно полярной оси   . Найдем половину длины кардиоиды  L/2:   0 l  2 Длина кардиоиды        l   2 4 a  8 . a 5.3. Вычисление объема тела.   L/2  0    2а  Рис. 10.  1 2  a    0   a 0 a    1 cos   2    sin a    0  4 . a  2 2cos 2 2cos     d cos  2 d   4 sin a   2 a  0 Пусть   требуется   найти   объем  V  тела,   причем   известна   площадь   ( )S x   сечения тела, плоскостями, перпендикулярными к оси  Ox : S  ( ), S x a     то          x b , S b   a ( ) S x dx . Пример.  Найти объем эллипсоида   2 2 x a  2 2 y b  2 2 z c  1. Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной плоскости Oyz  и на расстоянии  x  от неё x a      получим эллипс a  2 2 y b 1  2  2  x a 2 x c 1  2  2  x a  1. 2 4                     Площадь этого эллипса равна   ( ) S x   bc  1 2   2 x a , поэтому    V   bc a   a 1  2   2 x a dx   abc . 4 3 5.4. Вычисление объема тела вращения. Объем   тела,   полученного   вращением   кривой   вокруг   оси   ох    у  d  с      0      a                        b     x  Рис. 11.  (см. рис. 11), определяется интегралом V x b   a 2 y dx . Аналогично, вокруг оси  0у.  V y d   c 2 x dy . Пример. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями   y  2 x 2 , x  0, y  2 2 ,  вокруг оси  Oy .       b  r    у  y  2 2                                                                   0  Рис. 12.  Находим      V   y d  c 2 x dy  2 2  0 2 ydy  y 2 2 2 0   8 y    2 x 2 x  5            Тема занятия: Применение определенного интеграла к решению прикладных задач. Закрепление материала по занятию №5.    Найти площадь фигур ограниченных линиями: .1 y  3 x       , y  ­9x 2.y  sinx, y     2sinx,     x  0,     x   7 4 .3 y  x 2       , y  1 2 x y     ,  0,     x  0,     x  3 2 4.y  2 x ,1       y  1­x 5.y  2 ,x       y  2x, y      x 6.y  x 2 2 x  ,3          y  1­3x 6