Практикум по построению интерполяционных многочленов.

  • Раздаточные материалы
  • pdf
  • 31.05.2018
Публикация в СМИ для учителей

Публикация в СМИ для учителей

Бесплатное участие. Свидетельство СМИ сразу.
Мгновенные 10 документов в портфолио.

Рассмотрены интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона. Рассмотрен метод наименьших квадратов для нахождения наилучшего приближения среднеквадратичного приближения. Даны образцы построения интерполяционных многочленов Лагранжа и Ньютона, построения их графиков. Приведены примеры для самостоятельного решения, номер варианта подставляется вместо буквы V. При решении примеров предпологается использование программы excel.
Иконка файла материала Практикум по построению интерполяционных многочленов.pdf

 

Практикум по построению интерполяционных многочленов.

 

Задания для самостоятельного решения. V –  номер варианта.

 

I.                    Функция задана таблично

 

x

V-10

V-5

V

y

-3

1

4

 

1.      Построить интерполяционный многочлен в форме Лагранжа и построить его график.

2.      Построить интерполяционный многочлен в форме Ньютона и построить его график.

II.                 Построить на отрезке [ 0, 1] многочлен наилучшего  среднеквадратичного приближения Ф1(x)=C0+C1x для функции f(x)= sin2Vx .

 

Образцы решения задач.

Задача №1. Функция задана таблично

 

x

1

3

4

y

-1

1

5

 

1.      Построить интерполяционный многочлен в форме Лагранжа и построить его график.

 

Решение.

 

Интерполяционный многочлен Лагранжа для функции, заданной таблицей

 

x

x0

x1

xn

y

y0

y1

yn

 

имеет вид:

 

Ln =

 

У нас есть 3 точки, следовательно, степень полинома не больше, чем 2.

 

При помощи y координат составим запись полинома Лагранжа.

 

Подставляем базисные полиномы Лагранжа в формулу интерполяционного полинома и суммируем члены с одинаковыми степенными показателями.

 

Ответ: L(x) = x2  3x 1

2.      Построить интерполяционный многочлен в форме Ньютона и построить его график.

Интерполяционный многочлен Ньютона, записанный для неравноотстоящих узлов:

 

 

      

А разделенные разности k-ого порядка определяются через разделенные разности k-1-ого порядка:

                                                ) f x(       1 1

f x x( 1, 2)                               

                                            x2 x1                  4 3

f x x x( 0 1, , 2) f x x( 1, 2) f x x( 0 1, ) 4 1 1

                                                            x2 x0                           4 1

L x     1 1 x 1 1 x 1x 3

 

 

Ответ: L(x) = x2  3 1x

 

Задача №2.  Построить на отрезке [ 0, 1] многочлен наилучшего  среднеквадратичного приближения Ф1(x)=C0+C1x для функции f(x)=e2x.

 

Решение.

 

Выберем шаг 0,1. Задаем функцию f(x)=e2x  на отрезке [ 0, 1]  таблицей, выполняя расчеты средствами ЕXCEL:

 

 

 По методу наименьших квадратов коэффициенты для функции Ф1(x)=C0+C1x  могут быть найдены по формулам 

c1  n xi2 c0 n xi n x yi      i

i1                        i1              i1

         n                               n

c1x c ni 0 yi                  

     i1                           i1

 

Используя ЕXCEL получаем таблицу:

        x          y               x2        xy

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Суммы.

 

 

 

 

 

Решаем систему линейных уравнений:

c1 3,85c0 5,5 24,84337

c1 5,5c0 1136,24622

Отсюда  c1=6,10933, c0 =0,24045

 

Ф1(x)= 6,10933x+0,24045

 

 

Этот результат можно получить, используя в ЕXCEL функцию ТЕНДЕНЦИЯ.

 

 

Графики данной и полученной функций:

 

 

 

Ответ: Ф1(x)= 6,10933x+0,24045 - многочлен наилучшего  среднеквадратичного

приближения для функции f(x)=e2x