Предел числовой последовательности

lim 𝑛→∞ 𝑦 𝑛 =𝑏 lim 𝑛→∞ lim lim 𝑛→∞ 𝑛𝑛→∞ lim 𝑛→∞ lim 𝑛→∞ 𝑦 𝑛 =𝑏 𝑦 𝑛 𝑦𝑦 𝑦 𝑛 𝑛𝑛 𝑦 𝑛 =𝑏𝑏 lim 𝑛→∞ 𝑦 𝑛 =𝑏

𝑦 𝑛 𝑦𝑦 𝑦 𝑛 𝑛𝑛 𝑦 𝑛 →𝑏𝑏 читают: 𝑦 𝑛 𝑦𝑦 𝑦 𝑛 𝑛𝑛 𝑦 𝑛 стремится к b или 𝑦 𝑛 𝑦𝑦 𝑦 𝑛 𝑛𝑛 𝑦 𝑛 сходится к b

r-окрестностью точки b называют интервал вида (b-r; b+r), а число r – радиусом окрестности

Докажем, что lim 𝑛→∞ 1 𝑛 =0 lim 𝑛→∞ lim lim 𝑛→∞ 𝑛𝑛→∞ lim 𝑛→∞ lim 𝑛→∞ 1 𝑛 =0 1 𝑛 1 1 𝑛 𝑛𝑛 1 𝑛 =0 lim 𝑛→∞ 1 𝑛 =0

Если 𝑟𝑟=0,001, то начиная с номера 1001 все члены последовательности попадают в окрестность точки 0
Если 𝑟𝑟= 5 7523 5 5 7523 7523 5 7523 , очевидно, что с номера 7523, все члены последовательности попадают в окрестность точки 0.

Рассмотрим функцию 𝑦𝑦=( 1 2 ) 𝑥 1 2 1 1 2 2 1 2 ) 1 2 ) 𝑥 𝑥𝑥 1 2 ) 𝑥

Прямая y=0 является горизонтальной асимптотой

Разбор задания 38.7 а)

График данной функции натурального аргумента построить не сложно. Для этого посчитаем для некоторых 𝑛𝑛∈𝑁𝑁 значения 𝑦 𝑛 𝑦𝑦 𝑦 𝑛 𝑛𝑛 𝑦 𝑛 и отметим их как точки на прямоугольной системе координат
Найдем уравнение горизонтальной асимптоты. Вспомним следующее.

lim 𝑛→∞ 2 𝑛 =0 lim 𝑛→∞ lim lim 𝑛→∞ 𝑛𝑛→∞ lim 𝑛→∞ lim 𝑛→∞ 2 𝑛 =0 2 𝑛 2 2 𝑛 𝑛𝑛 2 𝑛 =0 lim 𝑛→∞ 2 𝑛 =0

Разберем несколько пределов функций натурального аргумента

lim 𝑛→∞ 5 𝑛 2 =5 lim 𝑛→∞ lim lim 𝑛→∞ 𝑛𝑛→∞ lim 𝑛→∞ lim 𝑛→∞ 5 𝑛 2 =5 5 𝑛 2 5 5 𝑛 2 𝑛 2 𝑛𝑛 𝑛 2 2 𝑛 2 5 𝑛 2 =5 lim 𝑛→∞ 5 𝑛 2 =5 lim 𝑛→∞ 1 𝑛 2 =5 lim 𝑛→∞ lim lim 𝑛→∞ 𝑛𝑛→∞ lim 𝑛→∞ lim 𝑛→∞ 1 𝑛 2 =5 1 𝑛 2 1 1 𝑛 2 𝑛 2 𝑛𝑛 𝑛 2 2 𝑛 2 1 𝑛 2 =5 lim 𝑛→∞ 1 𝑛 2 =5 lim 𝑛→∞ lim lim 𝑛→∞ 𝑛𝑛→∞ lim 𝑛→∞ 1 𝑛 1 1 𝑛 𝑛𝑛 1 𝑛 ∗ lim 𝑛→∞ lim lim 𝑛→∞ 𝑛𝑛→∞ lim 𝑛→∞ 1 𝑛 1 1 𝑛 𝑛𝑛 1 𝑛 =5∗0∗0=0

Такое решение подразумевает использование свойств предела и значение ранее доказанного нами предела числовой последовательности 1 𝑛 1 1 𝑛 𝑛𝑛 1 𝑛

Интуитивно можно заметить, что при увеличении n последовательность 𝟓 𝒏 𝟐 𝟓𝟓 𝟓 𝒏 𝟐 𝒏 𝟐 𝒏𝒏 𝒏 𝟐 𝟐𝟐 𝒏 𝟐 𝟓 𝒏 𝟐 стремится к числу ноль, а это и есть предел в данном случае.

Тогда можно вывести интуитивное правило, которое потом упростит нам жизнь в курсе математического анализа.

Если наивысшая степень многочлена в числителе меньше наивысшей степени многочлена в знаменателе – предел равен нулю

lim 𝑛→∞ lim lim 𝑛→∞ 𝑛𝑛→∞ lim 𝑛→∞ 1 𝑛 1 1 𝑛 𝑛𝑛 1 𝑛 =0

lim 𝑛→∞ lim lim 𝑛→∞ 𝑛𝑛→∞ lim 𝑛→∞ 27𝑛 2 𝑛 5 27𝑛 2 27𝑛𝑛 27𝑛 2 2 27𝑛 2 27𝑛 2 𝑛 5 𝑛 5 𝑛𝑛 𝑛 5 5 𝑛 5 27𝑛 2 𝑛 5 =0

lim 𝑛→∞ lim lim 𝑛→∞ 𝑛𝑛→∞ lim 𝑛→∞ 𝑛(2𝑛+2) 7 𝑛 3 𝑛𝑛(2𝑛𝑛+2) 𝑛(2𝑛+2) 7 𝑛 3 7 𝑛 3 𝑛𝑛 𝑛 3 3 𝑛 3 𝑛(2𝑛+2) 7 𝑛 3 =0

lim 𝑛→∞ lim lim 𝑛→∞ 𝑛𝑛→∞ lim 𝑛→∞ 𝑛−3 𝑛 2 −9 𝑛𝑛−3 𝑛−3 𝑛 2 −9 𝑛 2 𝑛𝑛 𝑛 2 2 𝑛 2 −9 𝑛−3 𝑛 2 −9 =0

lim 𝑛→∞ 5(𝑛−3) 𝑛 lim 𝑛→∞ lim lim 𝑛→∞ 𝑛𝑛→∞ lim 𝑛→∞ lim 𝑛→∞ 5(𝑛−3) 𝑛 5(𝑛−3) 𝑛 5(𝑛𝑛−3) 5(𝑛−3) 𝑛 𝑛𝑛 5(𝑛−3) 𝑛 lim 𝑛→∞ 5(𝑛−3) 𝑛 = lim 𝑛→∞ 5𝑛 𝑛 lim 𝑛→∞ lim lim 𝑛→∞ 𝑛𝑛→∞ lim 𝑛→∞ lim 𝑛→∞ 5𝑛 𝑛 5𝑛 𝑛 5𝑛𝑛 5𝑛 𝑛 𝑛𝑛 5𝑛 𝑛 lim 𝑛→∞ 5𝑛 𝑛 − lim 𝑛→∞ 15 𝑛 lim 𝑛→∞ lim lim 𝑛→∞ 𝑛𝑛→∞ lim 𝑛→∞ lim 𝑛→∞ 15 𝑛 15 𝑛 15 15 𝑛 𝑛𝑛 15 𝑛 lim 𝑛→∞ 15 𝑛 = lim 𝑛→∞ 5−15 lim 𝑛→∞ 1 𝑛 =5−0=5 lim 𝑛→∞ lim lim 𝑛→∞ 𝑛𝑛→∞ lim 𝑛→∞ lim 𝑛→∞ 5−15 lim 𝑛→∞ 1 𝑛 =5−0=5 5−15 lim 𝑛→∞ 1 𝑛 =5−0=5 lim 𝑛→∞ lim lim 𝑛→∞ 𝑛𝑛→∞ lim 𝑛→∞ lim 𝑛→∞ 1 𝑛 =5−0=5 1 𝑛 1 1 𝑛 𝑛𝑛 1 𝑛 =5−0=5 lim 𝑛→∞ 1 𝑛 =5−0=5 lim 𝑛→∞ 5−15 lim 𝑛→∞ 1 𝑛 =5−0=5

Такое решение подразумевает использование свойств предела и значение ранее доказанного нами предела числовой последовательности 1 𝑛 1 1 𝑛 𝑛𝑛 1 𝑛

lim 𝑛→∞ 5(𝑛−3) 𝑛 lim 𝑛→∞ lim lim 𝑛→∞ 𝑛𝑛→∞ lim 𝑛→∞ lim 𝑛→∞ 5(𝑛−3) 𝑛 5(𝑛−3) 𝑛 5(𝑛𝑛−3) 5(𝑛−3) 𝑛 𝑛𝑛 5(𝑛−3) 𝑛 lim 𝑛→∞ 5(𝑛−3) 𝑛 = lim 𝑛→∞ 5𝑛−15 𝑛 lim 𝑛→∞ lim lim 𝑛→∞ 𝑛𝑛→∞ lim 𝑛→∞ lim 𝑛→∞ 5𝑛−15 𝑛 5𝑛−15 𝑛 5𝑛𝑛−15 5𝑛−15 𝑛 𝑛𝑛 5𝑛−15 𝑛 lim 𝑛→∞ 5𝑛−15 𝑛

lim 𝑛→∞ 5(𝑛−3) 𝑛 lim 𝑛→∞ lim lim 𝑛→∞ 𝑛𝑛→∞ lim 𝑛→∞ lim 𝑛→∞ 5(𝑛−3) 𝑛 5(𝑛−3) 𝑛 5(𝑛𝑛−3) 5(𝑛−3) 𝑛 𝑛𝑛 5(𝑛−3) 𝑛 lim 𝑛→∞ 5(𝑛−3) 𝑛 = lim 𝑛→∞ 5𝑛−15 𝑛 lim 𝑛→∞ lim lim 𝑛→∞ 𝑛𝑛→∞ lim 𝑛→∞ lim 𝑛→∞ 5𝑛−15 𝑛 5𝑛−15 𝑛 5𝑛𝑛−15 5𝑛−15 𝑛 𝑛𝑛 5𝑛−15 𝑛 lim 𝑛→∞ 5𝑛−15 𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑛(5− 15 𝑛 ) 𝑛 lim 𝑛→∞ lim lim 𝑛→∞ 𝑛𝑛→∞ lim 𝑛→∞ lim 𝑛→∞ 𝑛(5− 15 𝑛 ) 𝑛 𝑛(5− 15 𝑛 ) 𝑛 𝑛𝑛(5− 15 𝑛 15 15 𝑛 𝑛𝑛 15 𝑛 ) 𝑛(5− 15 𝑛 ) 𝑛 𝑛𝑛 𝑛(5− 15 𝑛 ) 𝑛 lim 𝑛→∞ 𝑛(5− 15 𝑛 ) 𝑛 = lim 𝑛→∞ 5− 15 𝑛 =5 lim 𝑛→∞ lim lim 𝑛→∞ 𝑛𝑛→∞ lim 𝑛→∞ lim 𝑛→∞ 5− 15 𝑛 =5 5− 15 𝑛 5− 15 𝑛 15 15 𝑛 𝑛𝑛 15 𝑛 5− 15 𝑛 =5 lim 𝑛→∞ 5− 15 𝑛 =5

lim 𝑛→∞ (𝑛−3)(𝑛+3) 𝑛 = lim 𝑛→∞ lim lim 𝑛→∞ 𝑛𝑛→∞ lim 𝑛→∞ lim 𝑛→∞ (𝑛−3)(𝑛+3) 𝑛 = (𝑛−3)(𝑛+3) 𝑛 (𝑛𝑛−3)(𝑛𝑛+3) (𝑛−3)(𝑛+3) 𝑛 𝑛𝑛 (𝑛−3)(𝑛+3) 𝑛 = lim 𝑛→∞ (𝑛−3)(𝑛+3) 𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑛 2 −9 𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑛− 9 𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑛 − lim 𝑛→∞ 9 𝑛 =∞−0=∞ lim 𝑛→∞ lim lim 𝑛→∞ 𝑛𝑛→∞ lim 𝑛→∞ lim 𝑛→∞ 𝑛 2 −9 𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑛− 9 𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑛 − lim 𝑛→∞ 9 𝑛 =∞−0=∞ 𝑛 2 −9 𝑛 𝑛 2 𝑛𝑛 𝑛 2 2 𝑛 2 −9 𝑛 2 −9 𝑛 𝑛𝑛 𝑛 2 −9 𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑛− 9 𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑛 − lim 𝑛→∞ 9 𝑛 =∞−0=∞ lim 𝑛→∞ lim lim 𝑛→∞ 𝑛𝑛→∞ lim 𝑛→∞ lim 𝑛→∞ 𝑛− 9 𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑛 − lim 𝑛→∞ 9 𝑛 =∞−0=∞ 𝑛− 9 𝑛 𝑛𝑛− 9 𝑛 9 9 𝑛 𝑛𝑛 9 𝑛 𝑛− 9 𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑛 lim 𝑛→∞ lim lim 𝑛→∞ 𝑛𝑛→∞ lim 𝑛→∞ lim 𝑛→∞ 𝑛 𝑛𝑛 lim 𝑛→∞ 𝑛 − lim 𝑛→∞ 9 𝑛 lim 𝑛→∞ lim lim 𝑛→∞ 𝑛𝑛→∞ lim 𝑛→∞ lim 𝑛→∞ 9 𝑛 9 𝑛 9 9 𝑛 𝑛𝑛 9 𝑛 lim 𝑛→∞ 9 𝑛 =∞−0=∞ lim 𝑛→∞ 𝑛− 9 𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑛 − lim 𝑛→∞ 9 𝑛 =∞−0=∞ lim 𝑛→∞ 𝑛 2 −9 𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑛− 9 𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑛 − lim 𝑛→∞ 9 𝑛 =∞−0=∞

Обратим внимание, что раз предел получился равен бесконечности, то «точки сгущения» не существует, то есть не существует предела этой числовой последовательности

В нашем учебнике подобных заданий на вычисление таких пределов не встречается

Обратим внимание, что в прошлом задании мы встретили вот такой переход ∞−0

Интуитивно понятно, что ∞−0 это ∞
Или ∞−15= ∞

Рекомендация к выполнению данного задания: Мы не можем вычислить этот предел сразу, так как запись предельного выражения представляет собой бесконечную сумму.

Заметим, что в числителе всегда 1, а 1 можно представить как n+1-n
Тогда первая дробь примет вид 2−1 1∗2 2−1 2−1 1∗2 1∗2 2−1 1∗2 =1− 1 2 1 1 2 2 1 2
Следующая 3−2 2∗3 3−2 3−2 2∗3 2∗3 3−2 2∗3 = 1 2 1 1 2 2 1 2 − 1 3 1 1 3 3 1 3 и т.д.
Последняя запись примет вид 1 𝑛 1 1 𝑛 𝑛𝑛 1 𝑛 − 1 (𝑛+1) 1 1 (𝑛+1) (𝑛𝑛+1) 1 (𝑛+1)
При сложении всех этих дробей, исчезнут все элементы - 1 2 1 1 2 2 1 2 и 1 2 1 1 2 2 1 2 и т.д. и останутся только 1− 1 (𝑛+1) 1 1 (𝑛+1) (𝑛𝑛+1) 1 (𝑛+1)
Тем самым, предел данного выражения равен 1