Одним из разделов высшей математики является интегральное исчисление функции оной переменной. В презентации рассматриваются понятия первообразная, неопределенный интеграл, его свойства. Таблица интегралов. Кроме того, рассмотрены основные методы интегрирования, а именно- непосредственное интегрирование, интегрирование методом замены переменной и интегрирование по частям. Приводятся примеры и методы их решения.
Первообразная и неопределенный
xf
Функция называется первообразной для функции
на промежутке X , если для всех
.
интеграл
)(
xF
Хx
xF
)(
xf
xf
CxF
)(
Совокупность всех первообразных для
)(
xf
dxxf
функции на некотором промежутке X, называется
неопределенным интегралом от функции на этом
промежутке и обозначается символом .
xf
dxxf
Таким образом, по определению: , где
– подынтегральная функция,
– подынтегральное выражение,
х – переменная интегрирования,
dxxf
)(
CxF
)(
С – постоянная,
- знак неопределенного интеграла
Основные свойства неопределенного
интеграла.
dx
)(
dxxf
xf
kf
)(
x
dx
.1
.2
.3
(
xf
).
.
Cxf
)(
xfk
)(
.
dx
.4
.5
.6
xf
)(
xf
2
1
f
dxb
xgdxf
kx
dx
)(
xf
2
xf
)(
dx
1
1
kxF
.
Cb
k
xgxf
xfdxg
.
dx
.
Таблица основных неопределенных интегралов
Основные методы интегрирования
1.Табличный.
2.Сведение к табличному преобразованием
подынтегрального выражения в сумму
или разность.
3.Интегрирование с помощью замены
переменной (подстановкой).
4.Интегрирование по частям.
Нахождение интеграла методом преобразования
подынтегральной функции в сумму или
.1
3sin
x
cos
x
1
2
4sin
x
cos
4
x
1
4
cos
2
Cx
.
разность.
1
8
2sin
dx
x
.2
sin
2
5
dx
x
cos
2
5
x
cos
dx
1
2
sin
5
x
1
2
cos
5
x
dx
x
5
2
5
x
2
x
5
2
5
x
sin
1
5
ctg
5
2
sin
cos
1
5
x
tg
5
Cx
.
4
x
.3
x
3
x
2
2
1
1
dx
2
x
2
1
2
x
1
dx
1
3
3
x
2
x
arctg
Cx
.
Интегрирование методом замены переменной.
.1
x
2
3
x
1
dx
1
2
t
1
6
dt
C
2
3
x
31
2
x
1
C
.
1
9
3
1
t
2
36
2
6
dxx
Пусть
3 2
x
1
t
,
тогда
dt
,
..
ет
dxx
1
6
dt
.
.2
2sin
dxx
7
cos
x
2
1
2
t
7
dt
t
1
2
6
6
C
12
1
cos
6
2
x
C
.
Пусть
cos
2
x
t
,
тогда
dt
2sin2
dxx
,
ет
.
.
2sin
dxx
1
2
dt
.
.3
е
2
cos
x
dx
x
e
1
dt
2
cos
t
tgCt
tg
x
e
1
C
.
Пусть
x
e
t
1
,
тогда
dt
x
e
dx
.
Интегрирование выражений, содержащих радикалы,
методом подстановки.
.1
x
2
x
1
dx
1
2
t
2
tt
dt
4
2
t
dt
t
1
2
1
10
5
t
1
6
3
Ct
1
10
2
x
2
1
2
x
1
1
6
2
x
21
x
1
C
.
Пусть
2
x
1
t
,
тогда
x
2
t
1
,
2
dx
t
dt
.
.2
2
x
dx
2
x
3
23
2
t
2
6
t
t
12
5
x
3
dt
2
3
t
5
t
3
8
43
t
4
4
t
7
t
dt
8
t
C
2
2
x
3
8
2
x
2
3
2
2
x
C
.
26
3
2
x
2
12
5
Пусть
3
2
,
t
x
.
dx
ет
.
тогда
2
dt
3
t
x
2
t
3
,
.
Интегрирование по частям.
.1
x
cos
dxx
dx
sin
x
x
sin
x
sin
dxx
x
sin
x
cos
Cx
.
.2
ex
2
x
dx
1
2
dex
2
x
1
2
2
x
ex
e
2
x
dx
1
2
2
x
ex
1
4
2
x
e
C
.
2
2sin
dxx
1
2
2
dx
cos
2
x
1
2
2
x
cos
2
x
2
dxx
2
cos
2sin
x
.3
x
1
2
1
2
1
2
2
x
cos
2
x
2
x
cos
2
x
2
x
cos
2
x
x
1
2
1
2
cos
2
dxx
1
2
2
x
2
x
1
2
dx
cos
dxx
x
2sin
x
2sin
1
4
cos
2
x
2sin
x
Cx
.
.4
e
e
x
x
sin
sin
x
x
sin
cos
dxx
x
dex
x
e
sin
e
ex
x
cos
e
sin
x
cos
x
sin
dxx
.
dxx
e
sin
x
x
sin
edx
x
x
x
x
de
cos
cos
x
e
x
x
sin
x
x
de
e
x
:
Получили
e
dxx
sin
x
x
e
sin
x
cos
x
x
e
sin
.
dxx
Таким
образом
2:
значит
x
e
sin
dxx
sin
dxx
x
e
sin
x
cos
Cx
,
sin
x
cos
Cx
.
x
e
e
2
x
Неопределенный интеграл. Методы интегрирования.pptx
