Презенация по математике "Неопределенный интегал. Методы интегрирования"

Первообразная и неопределенный  xf Функция называется первообразной для функции на промежутке X , если для всех . интеграл  )( xF Хx   xF )( xf xf  CxF )( Совокупность всех первообразных для )(  xf  dxxf функции на некотором промежутке X, называется неопределенным интегралом от функции на этом промежутке и обозначается символом .  xf  dxxf  Таким образом, по определению: , где – подынтегральная функция, – подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования,  dxxf )( CxF  )( С – постоянная,  - знак неопределенного интеграла

Основные свойства неопределенного интеграла.   dx   )( dxxf     xf  kf )( x dx .1 .2 .3  ( xf ).   .  Cxf )(  xfk )( . dx .4 .5 .6       xf )( xf 2 1     f dxb       xgdxf kx     dx  )( xf 2  xf )( dx 1 1    kxF . Cb k         xgxf xfdxg    . dx   .

Таблица основных неопределенных интегралов

Основные методы интегрирования 1.Табличный. 2.Сведение к табличному преобразованием подынтегрального выражения в сумму или разность. 3.Интегрирование с помощью замены переменной (подстановкой). 4.Интегрирование по частям.

Нахождение интеграла методом преобразования подынтегральной функции в сумму или .1  3sin x cos x  1 2   4sin x cos 4 x  1 4 cos 2 Cx  . разность. 1 8 2sin  dx x   .2  sin 2 5 dx x cos 2 5 x    cos dx      1 2 sin 5 x  1 2 cos 5 x   dx   x 5 2 5 x 2  x 5 2 5 x sin 1 5 ctg 5 2 sin cos 1 5  x  tg 5 Cx  . 4 x  .3  x 3 x  2 2  1 1 dx      2 x  2 1  2 x 1   dx  1 3 3 x  2 x  arctg Cx  .

Интегрирование методом замены переменной. .1  x 2 3 x  1 dx  1 2  t 1 6 dt  C 2 3 x   31 2 x  1 C .  1 9 3 1 t 2 36 2 6 dxx Пусть 3 2 x  1 t ,    тогда  dt , .. ет dxx  1 6 dt   .  .2 2sin dxx  7 cos x 2  1 2  t  7 dt t   1 2  6 6  C 12 1 cos 6 2 x  C . Пусть cos 2 x  t , тогда dt  2sin2 dxx , ет . . 2sin dxx     1 2 dt   . 

.3 е  2 cos x  dx  x e  1  dt  2 cos t  tgCt tg  x e   1 C .  Пусть x e  t 1 , тогда dt x  e dx .

Интегрирование выражений, содержащих радикалы, методом подстановки. .1  x 2 x  1 dx  1 2 t   2  tt dt 4 2  t  dt   t 1 2  1 10 5 t  1 6 3 Ct   1 10  2 x  2  1 2 x  1 1 6  2 x   21 x  1 C .    Пусть 2 x  1 t , тогда x  2 t 1 ,  2 dx  t dt   . 

.2 2 x dx  2 x 3 23  2  t     2 6 t    t 12 5  x 3  dt 2 3 t 5 t  3 8    43 t  4 4 t 7  t  dt  8 t  C  2  2  x  3 8  2   x 2 3  2  2  x  C .   26 3  2  x   2  12 5     Пусть 3 2  , t x . dx ет . тогда  2 dt 3 t x  2 t 3 ,   .  

Интегрирование по частям. .1  x cos dxx   dx sin x  x sin x   sin dxx  x sin x  cos Cx  . .2  ex 2 x dx  1 2  dex 2 x   1 2 2 x ex   e 2 x dx   1 2 2 x ex  1 4 2 x e  C . 2 2sin dxx  1 2  2 dx  cos 2 x    1 2 2 x cos 2 x  2 dxx 2    cos  2sin  x  .3  x 1 2 1 2 1 2    2 x cos 2 x  2 x cos 2 x  2 x cos 2 x   x  1 2 1 2 cos 2 dxx  1 2 2 x 2 x  1 2  dx cos  dxx  x 2sin x   2sin 1 4 cos 2 x 2sin x  Cx  .

.4  e  e x x sin sin x  x  sin cos dxx x dex x  e sin  e ex  x cos  e sin x  cos x sin dxx .  dxx  e sin  x x  sin  edx x    x    x x de  cos  cos  x    e x x sin   x x de    e x : Получили  e dxx sin x x  e  sin x  cos x  x  e sin . dxx Таким образом 2: значит x  e sin dxx sin dxx x  e  sin x  cos  Cx  ,  sin x  cos  Cx  . x  e e  2 x