презентация " Решение систем линейных уравнений методом Крамера"

Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.

Составитель: преподаватель кафедры
математических общих и
естественнонаучных дисциплин
СПО КБГУ
Тукова Ольга Владимировна

Теорема Крамера

Теорема. Система n урав-нений с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное.

Решение находится следующим образом:
значение каждого из неизвестных равно дроби, знаменателем которой является определитель системы
числитель получается из определителя системы заменой столбца коэффициентов при искомом неизвестном на столбец свободных членов.

Пусть дана система n линейных уравнений с n переменными:

Из коэффициентов при неизвестных составим матрицу А, а из свободных членов — матрицу-столбец В, т. е.

Определитель матрицы А обозначим ∆ и назовем определителем системы. Таким образом,

Пусть ∆ ≠ 0. Если в определителе системы заменить поочередно столбцы коэффициентов при x1, х2, ..., хn на столбец свободных членов, то получим n определителей (для n неизвестных)

Тогда формулы Крамера для решения системы n линейных урав­нений с n неизвестными запишутся так:

или короче

Рассмотрим случай, когда определитель системы равен нулю. Здесь возможны два варианта:

1. ∆ = 0 и каждый определитель ∆xi = 0. Это имеет место только тогда, когда коэффициенты при неизвестных xi пропорциональны, т. е. каждое уравнение системы получается из первого уравнения умножением обеих его частей на число k. Очевидно, что при этом система имеет бесчисленное множество решений.

2. ∆ = 0 и хотя бы один из опреде-лителей ∆ xi ≠ 0. Это имеет место только тогда, когда коэффициенты при всех неизвестных, кроме xi, пропорциональны. При этом полу-чается система из противоречивых уравнений, которая не имеет решений.

Пример 1. Решить систему уравнений:
5x+3y=12
2x-y=7
Решение. Вычислим определитель системы ∆ и определи­тели ∆х и ∆у:

Пример 1. Решить систему уравнений:
5x+3y=12
2x-y=7
Решение. Вычислим определитель системы ∆ и определи­тели ∆х и ∆у:

Найдем значения х и у по формулам Крамера:

Итак, решение системы есть (3;-1).

Пример 2. Решить систему уравнений3x-2y=56x-4y=11

Решение. Вычислим определитель системы ∆ и определитель ∆х и ∆у:




Так как ∆ = 0, а ∆х ≠ 0, и ∆у ≠ 0, то система не имеет решений (уравнения противоречивы).

Решение. Находим

Данная система имеет бесчисленное множество решений (коэффициенты при неизвестных пропорциональны)

Используемая литература:

Гусак А.А. Высшая математика – Минск: издательство БГУ,1983г.
Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. – М.: Наука, 1986.
Курош А.Г. Курс высшей алгебры – М.,1975г.
Лисичкин В.Т. Математика. – М.:Высшая школа, 1991г.
Солодовников А.С., Торопова Г.А. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии. – М.: высшая школа, 1987.