Презентация 1

Нелинейные уравнения с двумя переменными и их системы

Цели обучения:

9.4.2.1 решать текстовые задачи с помощью систем уравнений;

Критерии оценивания

Знает алгоритм решения текстовых задач;
Составляет математическую модель задачи;
Составляет систему уравнений с двумя переменными;
Знает способы решения систем уравнений с двумя переменными;
Решает системы уравнений с двумя переменными.

Актуализация знаний

1. Сколько решений может иметь система вида:

𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 ; 𝑥𝑦=𝑘. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 ; 𝑥𝑦=𝑘. 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 = 𝑟 2 𝑟𝑟 𝑟 2 2 𝑟 2 ; 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 ; 𝑥𝑦=𝑘. 𝑥𝑥𝑦𝑦=𝑘𝑘. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 ; 𝑥𝑦=𝑘. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 ; 𝑥𝑦=𝑘.

Актуализация знаний

2. Решите систему уравнений:
𝑥+𝑦=10; (𝑥−1)(𝑦+1)=0. 𝑥+𝑦=10; (𝑥−1)(𝑦+1)=0. 𝑥𝑥+𝑦𝑦=10; 𝑥+𝑦=10; (𝑥−1)(𝑦+1)=0. (𝑥𝑥−1)(𝑦𝑦+1)=0. 𝑥+𝑦=10; (𝑥−1)(𝑦+1)=0. 𝑥+𝑦=10; (𝑥−1)(𝑦+1)=0.
𝑥−2𝑦=3; 𝑦 (𝑥−2𝑦)=6. 𝑥−2𝑦=3; 𝑦 (𝑥−2𝑦)=6. 𝑥𝑥−2𝑦𝑦=3; 𝑥−2𝑦=3; 𝑦 (𝑥−2𝑦)=6. 𝑦𝑦 (𝑥𝑥−2𝑦𝑦)=6. 𝑥−2𝑦=3; 𝑦 (𝑥−2𝑦)=6. 𝑥−2𝑦=3; 𝑦 (𝑥−2𝑦)=6.

Задача

Пристани В и С находятся ниже пристани А по течению рекки соответственно на 30 км и 45 км. Моторная лодка отходит от пристани А, доходит до С, сразу поворачивает назад и доходит в В, затратив на весь путь 7 ч. Чему равна собственная скорость лодки и скорость течения реки?

Решение

Первый этап.Составление математической модели
Введем две переменные:
х км/ч – собственная скорость лодки,
у км/ч – скорость течения река.
Тогда х+у км/ч – скорость движения лодки по течению реки, х-у км/ч – скорость движения лодки против течения реки.
Рассмотрим первый рейс лодки. Он составил 45 км по течению и 15 км против течения. Имеем:
45 𝑥+𝑦 45 45 𝑥+𝑦 𝑥𝑥+𝑦𝑦 45 𝑥+𝑦 ч – время движения лодки от А до С (в первом рейсе),
15 𝑥−𝑦 15 15 𝑥−𝑦 𝑥𝑥−𝑦𝑦 15 𝑥−𝑦 ч – время движения лодки от С до В (в первом рейсе).

Решение

Всего на первый рейс лодка затратила 4 ч 40 мин, т.е. 4 2 3 2 2 3 3 2 3 = 14 3 14 14 3 3 14 3 ч.
Таким образом, получаем уравнение
45 𝑥+𝑦 45 45 𝑥+𝑦 𝑥𝑥+𝑦𝑦 45 𝑥+𝑦 + 15 𝑥−𝑦 15 15 𝑥−𝑦 𝑥𝑥−𝑦𝑦 15 𝑥−𝑦 = 14 3 14 14 3 3 14 3

Решение

Рассмотрим второй рейс лодки. Он составил 45 км против течения и 30 км по течению. Имеем:
45 𝑥−𝑦 45 45 𝑥−𝑦 𝑥𝑥−𝑦𝑦 45 𝑥−𝑦 – время движения лодки от С до А (во втором рейсе),
30 𝑥+𝑦 30 30 𝑥+𝑦 𝑥𝑥+𝑦𝑦 30 𝑥+𝑦 – время движения лодки от А до В (во втором рейсе).
Bceгo на второй рейс лодка затратила 7 ч. Таким образом, получаем уравнение
45 𝑥−𝑦 45 45 𝑥−𝑦 𝑥𝑥−𝑦𝑦 45 𝑥−𝑦 + 30 𝑥+𝑦 30 30 𝑥+𝑦 𝑥𝑥+𝑦𝑦 30 𝑥+𝑦 =7

Решение

Математическая модель задачи представляет собой систему двух уравнений с двумя переменными:
45 𝑥+𝑦 + 15 𝑥−𝑦 = 14 3 45 𝑥−𝑦 + 30 𝑥+𝑦 =7 45 𝑥+𝑦 + 15 𝑥−𝑦 = 14 3 45 𝑥−𝑦 + 30 𝑥+𝑦 =7 45 𝑥+𝑦 45 45 𝑥+𝑦 𝑥𝑥+𝑦𝑦 45 𝑥+𝑦 + 15 𝑥−𝑦 15 15 𝑥−𝑦 𝑥𝑥−𝑦𝑦 15 𝑥−𝑦 = 14 3 14 14 3 3 14 3 45 𝑥+𝑦 + 15 𝑥−𝑦 = 14 3 45 𝑥−𝑦 + 30 𝑥+𝑦 =7 45 𝑥−𝑦 45 45 𝑥−𝑦 𝑥𝑥−𝑦𝑦 45 𝑥−𝑦 + 30 𝑥+𝑦 30 30 𝑥+𝑦 𝑥𝑥+𝑦𝑦 30 𝑥+𝑦 =7 45 𝑥+𝑦 + 15 𝑥−𝑦 = 14 3 45 𝑥−𝑦 + 30 𝑥+𝑦 =7 45 𝑥+𝑦 + 15 𝑥−𝑦 = 14 3 45 𝑥−𝑦 + 30 𝑥+𝑦 =7

Решение

Второй этап.Работа с составленной моделью
Для решения системы уравнений воспользуемся методом введения новых переменных. Положим:
15 𝑥+𝑦 15 15 𝑥+𝑦 𝑥𝑥+𝑦𝑦 15 𝑥+𝑦 =𝑎𝑎, 15 𝑥−𝑦 15 15 𝑥−𝑦 𝑥𝑥−𝑦𝑦 15 𝑥−𝑦 =𝑏𝑏.
Находим значения новых переменных и получаем:
𝑥+𝑦=15 𝑥−𝑦=9 𝑥+𝑦=15 𝑥−𝑦=9 𝑥𝑥+𝑦𝑦=15 𝑥+𝑦=15 𝑥−𝑦=9 𝑥𝑥−𝑦𝑦=9 𝑥+𝑦=15 𝑥−𝑦=9 𝑥+𝑦=15 𝑥−𝑦=9
Получаем 𝑥𝑥=12, 𝑦𝑦=3.

Решение

Третий этап.Ответ на вопрос задачи.
Требуется определить скорость лодки в стоячей воде и скорость течения реки. Первую скорость мы обозначили буквой 𝑥𝑥, получили 𝑥𝑥=12; значит, собственная скорость лодки составляет 12 км/ч. Скорость течения мы обозначили буквой 𝑦𝑦, получили 𝑦𝑦=3. Значит, скорость течения реки составляет 3 км/ч.
Ответ: 12 км/ч; 3 км/ч.

Схема решения задач

Анализ условия
Введение неизвестных
Выделения двух ситуаций
Установление зависимости между данными задачи и неизвестными
Составление уравнений
Решение системы уравнений
Интерпретация ответа.

1. Расстояние между двумя пристанями 60 км. Теплоход проходит это расстояние по течению и против течения за 5,5 ч. Найдите скорость теплохода в стоячей воде и скорость течения, если одна из них больше другой на 20 км/ч.
2. Расстояние в 360 км легковой автомобиль прошел на 2 ч быстрее, чем грузовой. Если скорость каждого автомобиля увеличить на 30 км/ч, то грузовой затратит на весь путь на 1 ч больше, чем легковой. Найдите скорость третей машины.
3.Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В. Каждый идет с постоянной скоростью без остановок и, придя в конечный пункт, тут же поворачивает обратно. Когда они встретились во второй раз, оказалось, что первый прошел на 4 км больше, чем второй. После второй встречи первый прибыл в А через час, а второй в В – через 2,5 ч. Найдите скорости пешеходов.

HOME WORK

1. Из двух городов, расстояние между которыми 700 км, одновременно навстречу друг другу отправляются два поезда и встречаются через 5 ч. Если второй поезд отправится на 7 ч раньше первого, то они встретятся через 2 ч после отправления первого поезда. Найдите скорость каждого поезда.
2. Расстояние между двумя поселками, равное 24 км, первый пешеход преодолел на 2 ч быстрее второго. Если скорость движения первого увеличить на 2 км/ч, а второго на 1 км/ч, то и в этом случае весь путь первый преодолеет на 2 ч быстрее второго. Найдите первоначальные скорости пешеходов.
3. Два поезда отправляются из пунктов A и В навстречу друг другу. Если поезд из А выйдет на 2 ч раньше, чем поезд из В, то встреча произойдет на середине пути. Если поезда выйдут одновременно, то они встретятся через 3 ч 45 мин. Найдите скорости поездов и расстояние между А и В, если известно, что скорость одного поезда на 40 км/ч больше скорости другого.
4. По окружности длиной 60 м равномерно в одном направлении движутся две точки. Одна из них совершает полный оборот на 5 с быстрее другой. При этом совпадение точек происходит каждый раз через 1 мин. Определите скорости движения точек.

Рефлексия