Презентация 2

Нелинейные уравнения с двумя переменными и их системы

Цели обучения:

9.4.2.1 решать текстовые задачи с помощью систем уравнений;

Критерии оценивания

Знает алгоритм решения текстовых задач;
Составляет математическую модель задачи;
Составляет систему уравнений с двумя переменными;
Знает способы решения систем уравнений с двумя переменными;
Решает системы уравнений с двумя переменными.

Актуализация знаний

Что называется решением системы уравнений?
Какие способы решения систем уравнений вы знаете?
Каков алгоритм решения задач с помощью системы уравнений?
Какие виды задач мы решали на последних уроках

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить за 1.Находим производительность труда каждого рабочего в отдельности, т.е. , где t – время, за которое этот рабочий может выполнить всю работу, работая отдельно.
Находим ту часть всей работы, которую выполняет каждый рабочий отдельно за то время, которое он работал.
Составляем уравнение, приравнивая объем всей работы к сумме слагаемых, каждое из которых есть часть всей работы, выполненная отдельно каждым из рабочих.

Пример

Мастер и eгo ученик планировали сообща выполнить некоторую работу за 6 дней. Сначала за дело взялся ученик. Выполнив 20% задания, он заболел. Остальная работа пришлась на долю мастера. В итогe выполнение задания растянулосъ на 11 дней. За Сколько дней мог бы eгo выполнить мастер и за cколько дней ученик, действуя в одиночку, если известно, что и то и другoе количество дней выражаются целыми числами?

Решение

Первый этап.Составление математической модели.
Пусть 𝑥𝑥 – число дней, необходимых мастеру, чтобы выполнить в одиночку всю работу, а у – число дней, необходимых ученику, чтобы справиться в одиночку со всей работой. Если объем всей работы (т.е. 1) разделить на число дней, то узнаем долю работы, выполняемую за 1 день.
1 𝑥 1 1 𝑥 𝑥𝑥 1 𝑥 – доля работы, которую выполняет мастер за 1 день,
1 𝑦 1 1 𝑦 𝑦𝑦 1 𝑦 – доля работы, которую выполняет ученик за 1 день.

Решение

Доля работы мастера за 6 дней выражается формулой 6 𝑥 6 6 𝑥 𝑥𝑥 6 𝑥 .
Доля работы ученика за 6 дней выражается формулой 6 𝑦 6 6 𝑦 𝑦𝑦 6 𝑦 .
Поскольку вместе они выполнят всю работу (т.е. 1), составляем уравнение
6 𝑥 6 6 𝑥 𝑥𝑥 6 𝑥 + 6 𝑦 6 6 𝑦 𝑦𝑦 6 𝑦 =1.

Решение

По условию, ученик выполнил, трудясь в одиночку до своей болезни, 20% задания, т.е. 1 5 1 1 5 5 1 5 часть всей работы. Сколько времени он потратил?
Естественно, что 1 5 1 1 5 5 1 5 часть тoгo времени, которое нужно ему на выполнение всей работы, т.е. 1 5 1 1 5 5 1 5 ∙𝑦𝑦дней. Потом пришел мастер, сделал оставшуюся работу, т.е. 4 5 4 4 5 5 4 5 задания, на что затратил 4 5 4 4 5 5 4 5 ∙𝑥𝑥 дней.

Решение

По условию, выполнение задания растянулось на 11 дней, т.е.
𝑦 5 𝑦𝑦 𝑦 5 5 𝑦 5 + 4𝑥 5 4𝑥𝑥 4𝑥 5 5 4𝑥 5 =11
или
𝑦𝑦+4𝑥𝑥=55.

Решение

Таким образом, математическая модель задачи составлена ­
система двух уравнений с двумя переменными
6 𝑥 + 6 𝑦 =1 𝑦+4𝑥=55 6 𝑥 + 6 𝑦 =1 𝑦+4𝑥=55 6 𝑥 6 6 𝑥 𝑥𝑥 6 𝑥 + 6 𝑦 6 6 𝑦 𝑦𝑦 6 𝑦 =1 6 𝑥 + 6 𝑦 =1 𝑦+4𝑥=55 𝑦𝑦+4𝑥𝑥=55 6 𝑥 + 6 𝑦 =1 𝑦+4𝑥=55 6 𝑥 + 6 𝑦 =1 𝑦+4𝑥=55

Решение

Второй этап.Работа с составленной моделью.
Итак, составленная система уравнений имеет два решения:
(10; 15) и 33 4 ; 22 33 4 33 33 4 4 33 4 ; 22 33 4 ; 22 .
Третий этап.Ответ на вопрос задачи.
По условию, количество дней, необходимых как мастеру, так и ученику для выполнения в одиночку вceгo задания, выражается целым числом. Значит, пара 33 4 ; 22 33 4 33 33 4 4 33 4 ; 22 33 4 ; 22 нас не устраивает. Остается лишь одна возможность: 𝑥𝑥=10, 𝑦𝑦=15.
Ответ: 10 дней; 15 дней.

1. Два экскаватора, работая одновременно, выполнят некоторый объем земляных работ за 3 ч 45 мин. Один экскаватор, работая отдельно, может выполнить этот объем работ на 4 ч быстрее, чем другой. Сколько времени требуется каждому экскаватору в отдельности для выполнения того же объема земляных работ?
2. В бассейн проведены две трубы разного сечения. Одна равномерно подает, а вторая равномерно отводит воду, причем через первую бассейн наполняется на 2 ч дольше, чем через вторую опорожняется. При заполненном на — бассейне были открыты обе трубы, и бассейн оказался пустым спустя 8 ч. За сколько часов, действуя отдельно, первая труба наполняет, а вторая опорожняет бассейн?
3.. Две бригады, работая вместе, должны отремонтировать участок шоссейной дороги за 18 дней. В действительности же получилось так, что сначала работала первая бригада, а заканчивала ремонт участка дороги вторая бригада. В результате ремонт участка дороги продолжался 40 дней, причем первая бригада в свое рабочее время выполнила - всей работы. За сколько дней был бы отремонтирован участок дороги каждой бригадой отдельно?

HOME WORK

1. Артель выполнила работу за 20 дней. Если бы в артели было на 4 человека больше и рабочий день увеличился бы на 1 ч, то работа была бы выполнена за 10 дней. Если бы в артели было на 1 человека меньше, а рабочий день сократился на 1 ч, то для выполнения работы потребовалось бы 30 дней. Сколько человек было в артели и какой продолжительности был у них рабочий день?
2. Два комбайна, работая совместно, могут выполнить задание за 6 ч. Первый комбайн, работая один, может выполнить это задание на 5 ч скорее, чем второй комбайн. За сколько времени может выполнить задание первый комбайн, работая один?
3. Две бригады, работая вместе, могут выполнить задание за 8 ч. Первая бригада, работая одна, могла бы выполнить задание на 12 ч быстрее, чем вторая бригада. За сколько часов могла бы выполнить задание первая бригада, если бы она работала одна?

Рефлексия