Презентация к уроку геометрии по теме "Определение тригонометрических функций острого угла прямоугольного треугольника, тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике" (8 класс)

Подготовила:
учитель математики
МБОУ Г.ГОРЛОВКИ «ШКОЛА № 42
Рыбина М.В.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.Котангенс острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

Из формул для синуса и косинуса получим:
𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝛼𝛼 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝛼𝛼 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑏 𝑐 𝑏𝑏 𝑏 𝑐 𝑐𝑐 𝑏 𝑐 : 𝑎 𝑐 𝑎𝑎 𝑎 𝑐 𝑐𝑐 𝑎 𝑐 = 𝑏 𝑐 𝑏𝑏 𝑏 𝑐 𝑐𝑐 𝑏 𝑐 * 𝑐 𝑎 𝑐𝑐 𝑐 𝑎 𝑎𝑎 𝑐 𝑎 = 𝑏 𝑎 𝑏𝑏 𝑏 𝑎 𝑎𝑎 𝑏 𝑎 = tg tg = 𝒔𝒊𝒏𝜶 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝜶𝜶 𝒔𝒊𝒏𝜶 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝜶𝜶 𝒔𝒊𝒏𝜶 𝒄𝒐𝒔𝜶

𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝛼𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝛼𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝑎 𝑐 𝑎𝑎 𝑎 𝑐 𝑐𝑐 𝑎 𝑐 : 𝑏 𝑐 𝑏𝑏 𝑏 𝑐 𝑐𝑐 𝑏 𝑐 = 𝑎 𝑐 𝑎𝑎 𝑎 𝑐 𝑐𝑐 𝑎 𝑐 * 𝑐 𝑏 𝑐𝑐 𝑐 𝑏 𝑏𝑏 𝑐 𝑏 = 𝑎 𝑏 𝑎𝑎 𝑎 𝑏 𝑏𝑏 𝑎 𝑏 = ctg ctg = 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒔𝒊𝒏𝜶 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝜶𝜶 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒔𝒊𝒏𝜶 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝜶𝜶 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒔𝒊𝒏𝜶

Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, а также косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.
Доказательство:
Пусть  А =  А1 и  С =  С1 = 90.Тогда  АВС А1С1В1 по двум углам. Поэтому равны отношения
AB A1B1 AB AB A1B1 A1B1 AB A1B1 = AC A1C1 AC AC A1C1 A1C1 AC A1C1 = BC B1C1 BC BC B1C1 B1C1 BC B1C1 следовательно  ВС АВ ВС ВС АВ АВ ВС АВ = B1C1 A1B1 B1C1 B1C1 A1B1 A1B1 B1C1 A1B1 ,
поэтому sinA = sinA1
Из равенства отношений
AC AB AC AC AB AB AC AB = A1C1 A1B1 A1C1 A1C1 A1B1 A1B1 A1C1 A1B1 , следовательно cosA = cosA1
Из равенства отношений
BC AC BC BC AC AC BC AC = B1C1 A1C1 B1C1 B1C1 A1C1 A1C1 B1C1 A1C1 , следовательно tgA = tgA1

В прямоугольном треугольнике выполняется теорема Пифагора
BC2 + AC2 = AB2.Разделим почленно обе части равенства на  AB2
BC2 AB2 BC2 BC2 AB2 AB2 BC2 AB2 + AC2 AB2 AC2 AC2 AB2 AB2 AC2 AB2 = AB2 AB2 AB2 AB2 AB2 AB2 AB2 AB2
𝑠𝑖𝑛 2 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑠𝑖𝑛 2 2 𝑠𝑖𝑛 2 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 𝑐𝑜𝑠 2 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼𝛼 = 1
основное тригонометрическое тождество

Катет b, противолежащий углу α, равен произведению гипотенузы на sin α:
b = c · sin α
Катет a, прилежащий к углу α, равен произведению гипотенузы на cos α:
a = c · cos α
Катет b, противоположный углу α, равен произведению второго катета на tg α:
b = a · tg α
Катет a, прилежащий к углу α, равен произведению второго катета на ctg α:
a = b · ctg α

Выберите правильный ответ.
Определите синус угла P прямоугольного треугольника NQP, если угол Q – прямой.

Выберите верный ответ.
В треугольнике MNK угол M – прямой, MK = 12 см, NК = 15 см. Найдите косинус угла N.

Выберите правильные ответы.
Известны катеты прямоугольного треугольника АС, ВС и высота CD.Как можно определить тангенс угла B?

Выберите правильный ответ.
В прямоугольном треугольнике АВС угол С – прямой, угол А равен 64°, АВ = 20 см. Найдите ВС.

Найдите синус угла, если косинус этого угла равен 0,8

Выберите верный ответ.
В прямоугольном треугольнике косинус острого угла равен 0,7. Найти тангенс этого угла.

Найдите:
sin и tg, если cos = 2 3 2 2 3 3 2 3 ;
cos и tg, если sin= 3 2 3 3 3 3 3 2 2 3 2

Постройте угол , если
tg = 1 2 1 1 2 2 1 2 ,


2) cos = 2 3 2 2 3 3 2 3


3) sin = 0,4 = 4 10 4 4 10 10 4 10 = 2 5 2 2 5 5 2 5

1 см

2 см



2 см

3 см



2 см

5 см



Выучить правила и формулы § 4, п. 68
Выполнить в тетради № 591, 592 (б, в, д), 593 (б, г)

Использованные источники

https://www.yaklass.ru/p/geometria/8-klass/podobnye-treugolniki-9236/trigonometricheskie-funktcii-ostrogo-ugla-priamougolnogo-treugolnika-9226
https://resh.edu.ru/subject/lesson/2019/conspect/