Презентация к уроку геометрии по теме "Соотношения между сторонами в прямоугольных треугольниках с углами в 45° и 45°; 30° и 60°" (8 класс)

Подготовила:
учитель математики
МБОУ Г.ГОРЛОВКИ «ШКОЛА № 42
Рыбина М.В.

Рассмотрим равносторонний треугольник AВС, у которого сторона равна a.
AB = BC = AC = a
Опустим высоту BD на основание треугольника, она же будет являться медианой и биссектрисой.
ABD - прямоугольный, ∠BAD=60°, ∠ABD=30°, AD= 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 𝒂𝒂, AB=a
По теореме Пифагора найдем сторону BD
BD2=AB2−AD2=a2− 1 4 1 1 4 4 1 4 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 = 3 4 3 3 4 4 3 4 a2, BD= 𝟑 𝟐 𝟑 𝟑 𝟑𝟑 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐𝟐 𝟑 𝟐 𝒂𝒂

Запишем, чему равен синус, косинус и тангенс угла в 60° (∠BAD )
сos 60°=cos∠BAD = 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐴𝐷𝐷 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝐴𝐷 𝐴𝐵 = 1 2 𝑎 𝑎 1 2 1 1 2 2 1 2 𝑎𝑎 1 2 𝑎 𝑎 𝑎𝑎 1 2 𝑎 𝑎 = 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐
sin 60°=𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛∠BAD= 𝐵𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐵𝐷𝐷 𝐵𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝐵𝐷 𝐴𝐵 = 3 2 𝑎 𝑎 3 2 3 3 3 3 3 2 2 3 2 𝑎𝑎 3 2 𝑎 𝑎 𝑎𝑎 3 2 𝑎 𝑎 = 𝟑 𝟐 𝟑 𝟑 𝟑𝟑 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐𝟐 𝟑 𝟐
tg 60°=tg∠BAD = 𝐵𝐷 𝐴𝐷 𝐵𝐵𝐷𝐷 𝐵𝐷 𝐴𝐷 𝐴𝐴𝐷𝐷 𝐵𝐷 𝐴𝐷 = 3 2 𝑎 1 2 𝑎 3 2 3 3 3 3 3 2 2 3 2 𝑎𝑎 3 2 𝑎 1 2 𝑎 1 2 1 1 2 2 1 2 𝑎𝑎 3 2 𝑎 1 2 𝑎 = 𝟑 𝟑 𝟑𝟑 𝟑

AD= 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 𝒂𝒂,
AB=a
BD= 𝟑 𝟐 𝟑 𝟑 𝟑𝟑 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐𝟐 𝟑 𝟐 𝒂𝒂

В прямоугольном треугольнике ABD угол ABD равен 30°
Запишем, чему равен косинус, синус и тангенс угла 30°
cos 30° = cos∠𝐴𝐴𝐵𝐵𝐷𝐷= 𝐵𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐵𝐷𝐷 𝐵𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝐵𝐷 𝐴𝐵 = 3 2 𝑎 𝑎 3 2 3 3 3 3 3 2 2 3 2 𝑎𝑎 3 2 𝑎 𝑎 𝑎𝑎 3 2 𝑎 𝑎 = 𝟑 𝟐 𝟑 𝟑 𝟑𝟑 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐𝟐 𝟑 𝟐
sin 30°=𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛∠𝐴𝐴𝐵𝐵𝐷𝐷= 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐴𝐷𝐷 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝐴𝐷 𝐴𝐵 = 1 2 𝑎 𝑎 1 2 1 1 2 2 1 2 𝑎𝑎 1 2 𝑎 𝑎 𝑎𝑎 1 2 𝑎 𝑎 = 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐
tg 30°=𝑡𝑡𝑔𝑔∠𝐴𝐴𝐵𝐵𝐷𝐷= 𝐴𝐷 𝐵𝐷 𝐴𝐴𝐷𝐷 𝐴𝐷 𝐵𝐷 𝐵𝐵𝐷𝐷 𝐴𝐷 𝐵𝐷 = 1 2 𝑎 3 2 𝑎 1 2 1 1 2 2 1 2 𝑎𝑎 1 2 𝑎 3 2 𝑎 3 2 3 3 3 3 3 2 2 3 2 𝑎𝑎 1 2 𝑎 3 2 𝑎 = 1 3 1 1 3 3 3 3 3 1 3 = 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑𝟑 𝟑 𝟑

AD= 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 𝒂𝒂,
AB=a
BD= 𝟑 𝟐 𝟑 𝟑 𝟑𝟑 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐𝟐 𝟑 𝟐 𝒂𝒂

Чтобы найти значения косинуса, синуса и тангенса угла, равного 45°, рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник с катетами, равными а.
∆𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶−прямоугольный, ∠𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶=∠𝐵𝐵𝐴𝐴𝐶𝐶=45°, AC = BC = a
По теореме Пифагора найдем сторону АВ
AB2=AC2+BC2,
AB2=a2+a2,
AB2=2a2,
AB=a 2 2 2 2

AC = BC = a
AB=a 2 2 2 2

Найдем, чему равен косинус, синус и тангенс угла 45°
cos 45° = cos∠𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶= 𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐵𝐶𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝐵 = 𝑎 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 𝑎 2 𝑎𝑎 2 2 2 2 𝑎 𝑎 2 = 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 = 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐𝟐 𝟐 𝟐
sin 45°=𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛∠𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 = 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐴𝐶𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐵 = 𝑎 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 𝑎 2 𝑎𝑎 2 2 2 2 𝑎 𝑎 2 = 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 = 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐𝟐 𝟐 𝟐
tg 45°=𝑡𝑡𝑔𝑔∠𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶= 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐴𝐶𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐵𝐵𝐶𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐶 = 𝑎 𝑎 𝑎𝑎 𝑎 𝑎 𝑎𝑎 𝑎 𝑎 =1

Выберите правильный ответ.
Найдите длину катета, лежащего против угла α, если α = 60°, а гипотенуза равна 18 см.Ответ дайте в сантиметрах.

Найдите высоту ВК трапеции АВСD (BC  AD), если угол А равен 60°, АК = 5 см. Ответ дайте в сантиметрах.

Выберите правильный ответ.
В треугольнике MNP угол P – прямой, угол M равен 30°, MP = 12 см. Найдите сторону MN.Ответ дайте в сантиметрах.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С, сторона АВ =  8 2 2 2 2 см, угол A равен 45°. Найдите площадь треугольника АВС. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

ОТВЕТ: 32 см 2 см см 2 2 см 2