Презентация к уроку геометрии по теме "Вписанные и центральные углы. " (8 класс)

Центральные и вписанные углы.

Определение центрального угла

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается. На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается.

Определение вписанного угла

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности. Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается. На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Теорема о центральном угле

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:
ㄥAOB = ◡ AB

Свойства центральных и вписанных углов

Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу. AOC — центральный, ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае AOC = AC, а  ABC = 1 2 1 1 2 2 1 2 AOC.

Свойства центральных и вписанных углов

Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:
ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

Свойства центральных и вписанных углов

Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:
ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 , ㄥАCB равен половине дуги, на которую он опирается, значит, ㄥАCB = 90 .

Свойства центральных и вписанных углов

Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.
ㄥBAC = ㄥCDB, поскольку лежат на хорде BC.

Свойства центральных и вписанных углов

Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.
ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

ЗАДАЧА 1

Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?
Решение.
⌣ AВ = 360° − ⌣ AC − ⌣ CB =
=360° − 200° − 80° = 80°
ㄥACB = ½ ⌣ AB = 40°
Ответ: 40°

ЗАДАЧА 2

Дана окружность, ㄥAOC = 140°.
Найдите ㄥABC.
Решение.
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального,
то ㄥABC = ½  AOC = 140/2 = 70°
Ответ:70°

ЗАДАЧА 3

Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга равна ⅕ окружности?
Решение.
⌣ AС = ⅕  360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому
ㄥABC = ½ ⌣ AC = 72° / 2 = 36°
Ответ:36°