Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах
Перпендикуляр и наклонная.
Теорема о трех перпендикулярах.
Актуализация опорных знаний 1.1
Актуализация опорных знаний
1.1 Угол между прямыми равен 900. Как называются такие прямые?
1.2 Верно ли утверждение: «Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости?»
1.3 Продолжите предложение: «Прямая перпендикулярна плоскости, если она…»
1.4 Что можно сказать о двух (3-х, 4-х) прямых, перпендикулярных к одной плоскости?
1.5 Две прямые, перпендикулярные третьей
прямой, …
А М Н а 1.6 Как определяется расстояние от точки до прямой на плоскости? 1
А
М
Н
а
1.6 Как определяется расстояние от точки до прямой на плоскости?
1.7 Вспомним, как называются отрезки АМ -?
АН -? МН -? Точка М ? Точка Н ?
1.8 А как же определить расстояние от точки до плоскости?
А М Н α Изучение нового материала а
А
М
Н
α
Изучение нового материала
а
АН – перпендикуляр к плоскости α
АМ – наклонная
к плоскости α
МН – проекция наклонной
Н – основание перпендикуляра, М – основание наклонной
а ┴ α
А α Н Расстояние от точки А до плоскости α – ρ(А,α) – перпендикуляр
А
α
Н
Расстояние от точки А до плоскости α – ρ(А,α) – перпендикуляр АН, опущенный из точки А на плоскость α
α β ρ(α,β) – расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости α || β А0 А М М0
α
β
ρ(α,β) – расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости
α || β
А0
А
М
М0
α а а1 а || α ρ(а,α) – расстояние от произвольной точки прямой до плоскости
α
а
а1
а || α
ρ(а,α) – расстояние от произвольной точки прямой до плоскости
М а А а1 b А1 α ρ(а,b) – расстояние от одной прямой до плоскости, проходящей через другую прямую, параллельно первой а · b
М
а
А
а1
b
А1
α
ρ(а,b) – расстояние от одной прямой до плоскости, проходящей через другую прямую, параллельно первой
а · b
К
А Н М а α Теорема о трех перпендикулярах
А
Н
М
а
α
Теорема о трех перпендикулярах
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
Дано : α, АН – перпендикуляр,
Дано: α, АН – перпендикуляр, АМ – наклонная, НМ – проекция, а α, а НМ.
Доказать: а АМ
Доказательство: АН α, значит АН а (по определению прямой, перпендикулярной плоскости). Тогда а (АМН)
(по признаку, т.к. она перпендикулярна двум пересекающимся прямым АН и НМ в этой плоскости). Но тогда а перпендикулярна любой прямой в (АМН) (по определению), т.е. а АМ. Теорема доказана.
Обратная теорема: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.
Закрепление № 1 (устно) Докажите, что: а) если наклонные равны, то равны их проекции; б) если проекции наклонных равны, то равны наклонные; в) если наклонные…
Закрепление
№ 1 (устно)
Докажите, что: а) если наклонные равны, то равны их проекции; б) если проекции наклонных равны, то равны наклонные; в) если наклонные не равны, то большая наклонная имеет большую проекцию.
α
А
Н
В
С
М
Задача № 145 А D С В а) Докажите , что треугольник
Задача № 145
А
D
С
В
а) Докажите, что треугольник СВD прямоугольный
б) Найдите ВD, если ВС = а, DC = b
Домашнее задание пп. 19, 20, № 140, 143
Домашнее задание
пп. 19, 20, № 140, 143
Итоги урока
Какие новые понятия и определения мы сегодня изучили?
Что научились определять?
Какую важную теорему стереометрии доказали?
Какие этапы урока вам понравились больше всего?
Что оказалось трудным для восприятия и понимания?
Как вы думаете, много ли времени вам потребуется для подготовки домашнего задания?
Определите свое состояние и настроение в цветовой гамме:
красный – тревожно, не уверен в себе, синий – спокойно, у меня все получится, коричневый – безразлично, что будет, то и будет
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
