Презентация к уроку математики на тему "Правильные многогранники"

«Многогранники». Задание 1.

Многогранник называется правильным, если:
а) он выпуклый;
б) все его грани – равные друг другу правильные многоугольники;
в) в каждой его вершине сходится одинаковое число граней;
г) все его двугранные углы равны.

Рассмотрим правильный треугольник, каждый угол которого 60 градусов, значит при одной вершине k60<360. k=3, 4, 5. Поэтому число треугольников, состоящих в каждой вершине правильного многогранника, может быть 3, 4 или 5 (три возможности).

Рассмотрим правильный четырехугольник (квадрат): k90< 360, k < 4 , значит k=3. Добавляется только одна возможность k=3, т.е. в каждой вершине сходится по три квадрата.

Рассмотрим правильный пятиугольник (каждый угол которого равен 108): k108 < 360, k<10/3, значит k=3. Еще одна возможность (три пятиугольника в каждой вершине).

Рассмотрим правильный шестиугольник (каждый угол которого 120): k120 < 360, k < 3.

Если при вершине сходится 3 треугольника, то многогранник называется правильный тетраэдр;
если при вершине сходится 3 квадрата, то многогранник называется правильный гексаэдр;
если при вершине сходится 3 пятиугольника, то многогранник называется правильный додекаэдр;
если при вершине сходится 4 треугольника, то многогранник называется правильный октаэдр;
если при вершине сходится 5 треугольников, то многогранник называется правильный икосаэдр.

Задание: Посчитать число граней, ребер, вершин правильных многогранников пяти типов
(результат занести в таблицу 1.)

Все эти типы многогранников были известны в Древней Греции. Именно им посвящена завершающая, XIII книга «Начал» Евклида. Их называют также «Платоновыми телами» - они занимали видное место в идеалистической картине мира древнегреческого философа Платона. Четыре из них олицетворяли в ней четыре «сущности» или «стихии». Тетраэдр – огонь, икосаэдр – воду, куб – землю, октаэдр – воздух. Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе все «сущее», символизировал все мироздание, почитался главнейшим. Уже по латыни в средние века его стали называть «пятая сущность» или «квинта эссенция».
 

Леонардом Эйлером (1707-1783) - великим математиком, физиком и астрономом, швейцарцем по рождению, членом Петербургской академии, работавшим в России в 1727–1741 гг., была доказана удивительная теорема: Для любого выпуклого многогранника число В-Р+Г=2. И вошла теорема в историю математики как теорема Эйлера.

Решить задачи:

1 группа: Вычислить площадь поверхности икосаэдра, длина ребра которого равна а.
2 группа: Поверхность додекаэдра равна 180 см кв. Найти площадь его грани.
3 группа: Вычислить площадь поверхности октаэдра, длина ребра которого а.

Диаграмма Венна. Выбрать любые два многогранника, провести сравнение, используя диаграмму Венна - в чем их сходство и различие?
Задача см. учебник.