Взаимно обратные функции» Алгебра 10 класс
«Взаимно обратные функции»
Алгебра
10 класс
Полезные навыки. Выразить:
Полезные навыки.
Выразить:
Какая функция называется обратимой?
Какая функция называется обратимой?
Любая ли функция обратима?
Какая функция называется обратной данной?
Как связаны область определения и множество значений функции и обратной ей функции?
Если функция задана аналитически, как задать формулой обратную функцию?
Если функция задана графически, как построить график обратной ей функции?
Актуальные вопросы:
Области определения и множества значений двух различных функций одинаковы, но одна из функций обратимая (т
Области определения и множества значений двух различных функций одинаковы, но одна из функций обратимая (т.е. имеет обратную), а другая нет.
мы НЕ знаем определение обратимой и обратной функции.
Как в этом разобраться ?
Что такое обратная функция? Как найти функцию, обратную данной?
Что такое обратная функция?
Как найти функцию, обратную данной?
Определение.
Пусть функция y=f(x) определена на множестве D, а E — множество её значений.
Обратная функция по отношению к функции y=f(x) — это функция x=g(y), которая определена на множестве E и каждому y∈E ставит в соответствие такое значение x∈D, что f(x)=y.
Таким образом, область определения функции y=f(x) является областью значений обратной к ней функции, а область значений y=f(x) — областью определения обратной функции.
Чтобы найти функцию, обратную данной функции y=f(x), надо : 1)
Чтобы найти функцию, обратную данной функции y=f(x), надо:
1) В формулу функции вместо y подставить x, вместо x — y:
x=f(y).
2) Из полученного равенства выразить y через x:
y=g(x).
Пример.
Найти функцию, обратную функции y=2x-6.
1) x=2y-6
2) -2y=-x-6
y=0,5x+3.
Функции y=2x-6 и y=0,5x+3 являются взаимно обратными.
Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой y=x (биссектрисы
Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой y=x (биссектрисы I и III координатных четвертей).
y=2x-6 и y=0,5x+3 — линейные функции.
Графиком линейной функции является прямая.
Для построения прямой берём две точки.
Если функция y=f(x) монотонна на множестве
Если функция y=f(x) монотонна на множестве X , то она обратима
обратимая
Как это понять
Теорема (необходимое и достаточное условие обратимости функции)
Теорема (необходимое и достаточное условие обратимости функции)
Если функция y=f(x) определена и непрерывна на числовом промежутке, то для обратимости функции необходимо и достаточно, чтобы f(x) была строго монотонна.
Причем, если y=f(x) возрастает на промежутке, то и обратная к ней функция также возрастает на этом промежутке;
если y=f(x) убывает, то и обратная функция убывает.
Если условие обратимости не выполнено на всей области определения, можно выделить промежуток, где функция только возрастает либо только убывает, и на этом промежутке найти функцию,…
Если условие обратимости не выполнено на всей области определения, можно выделить промежуток, где функция только возрастает либо только убывает, и на этом промежутке найти функцию, обратную данной.
Классический пример — функция y=x².
На промежутке [0;∞) функция возрастает.
Условие обратимости выполнено, следовательно, можем искать обратную функцию.
Так как область определения функции y=x² — промежуток [0;∞), область значений на этом промежутке — также [0;∞), то область определения и область значений обратной функции…
Так как область определения функции y=x² — промежуток [0;∞), область значений на этом промежутке — также [0;∞), то область определения и область значений обратной функции — также [0;∞).
1) x=y².
2) Так как y≥0, то
то есть на промежутке [0;∞) y=√x — функция, обратная к функции y=x².
Их графики симметричны относительно биссектрисы I и III координатных четвертей:
В алгебре наиболее известными примерами взаимно обратных функций являются показательная и логарифмическая функция, а также тригонометрические и обратные тригонометрические функции
В алгебре наиболее известными примерами взаимно обратных функций являются показательная и логарифмическая функция, а также тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
Практический приём нахождения формулы функции, обратной к функции y=f(x)
Практический приём нахождения формулы функции, обратной к функции y=f(x)
Алгоритм
Пример
Примеры решения задач Решение
Примеры решения задач
Решение
Комментарий
Найдите функцию, обратную к функции
Выполнить задания Для заданной функции найти обратную функцию: а) у=3х-1 б) у=2+4х в) у=5х+2 г) у=3-х
Выполнить задания
Для заданной функции найти обратную функцию:
а) у=3х-1
б) у=2+4х
в) у=5х+2
г) у=3-х
Выполнить задания Для заданной функции найти обратную функцию:
Выполнить задания
Для заданной функции найти обратную функцию:
Выполнить задания Построить график данной функции и обратной к ней
Выполнить задания
Построить график данной функции и обратной к ней.
Выполнить задания Выясните, существует ли обратная функция для заданной функции
Выполнить задания
Выясните, существует ли обратная функция для заданной функции.
Если да, то задайте обратную функцию аналитически, постройте график заданной функции и обратной функции:
Итоги урока:
Итоги урока:
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
