Поделиться
Обратные функцииd.pptx
«Взаимно обратные функции»
Алгебра
10 класс
Полезные навыки.
Выразить:
Какая функция называется обратимой?
Любая ли функция обратима?
Какая функция называется обратной данной?
Как связаны область определения и множество значений функции и обратной ей функции?
Если функция задана аналитически, как задать формулой обратную функцию?
Если функция задана графически, как построить график обратной ей функции?
Актуальные вопросы:
Области определения и множества значений двух различных функций одинаковы, но одна из функций обратимая (т.е. имеет обратную), а другая нет.
мы НЕ знаем определение обратимой и обратной функции.
Как в этом разобраться ?
Что такое обратная функция?
Как найти функцию, обратную данной?
Определение.
Пусть функция y=f(x) определена на множестве D, а E — множество её значений.
Таким образом, область определения функции y=f(x) является областью значений обратной к ней функции, а область значений y=f(x) — областью определения обратной функции.
Чтобы найти функцию, обратную данной функции y=f(x), надо:
1) В формулу функции вместо y подставить x, вместо x — y:
x=f(y).
2) Из полученного равенства выразить y через x:
y=g(x).
Пример.
Найти функцию, обратную функции y=2x-6.
1) x=2y-6
2) -2y=-x-6
y=0,5x+3.
Функции y=2x-6 и y=0,5x+3 являются взаимно обратными.
Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой y=x (биссектрисы I и III координатных четвертей).
y=2x-6 и y=0,5x+3 — линейные функции.
Графиком линейной функции является прямая.
Для построения прямой берём две точки.
Если функция y=f(x) монотонна на множестве X , то она обратима
обратимая
Как это понять
Теорема (необходимое и достаточное условие обратимости функции)
Если функция y=f(x) определена и непрерывна на числовом промежутке, то для обратимости функции необходимо и достаточно, чтобы f(x) была строго монотонна.
Причем, если y=f(x) возрастает на промежутке, то и обратная к ней функция также возрастает на этом промежутке;
если y=f(x) убывает, то и обратная функция убывает.
Если условие обратимости не выполнено на всей области определения, можно выделить промежуток, где функция только возрастает либо только убывает, и на этом промежутке найти функцию, обратную данной.
Классический пример — функция y=x².
На промежутке [0;∞) функция возрастает.
Условие обратимости выполнено, следовательно, можем искать обратную функцию.
Так как область определения функции y=x² — промежуток [0;∞), область значений на этом промежутке — также [0;∞), то область определения и область значений обратной функции — также [0;∞).
1) x=y².
2) Так как y≥0, то
то есть на промежутке [0;∞) y=√x — функция, обратная к функции y=x².
Их графики симметричны относительно биссектрисы I и III координатных четвертей:
В алгебре наиболее известными примерами взаимно обратных функций являются показательная и логарифмическая функция, а также тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
Практический приём нахождения формулы функции, обратной к функции y=f(x)
Алгоритм
Пример
Примеры решения задач
Решение
Комментарий
Найдите функцию, обратную к функции
Выполнить задания
Для заданной функции найти обратную функцию:
а) у=3х-1
б) у=2+4х
в) у=5х+2
г) у=3-х
Выполнить задания
Для заданной функции найти обратную функцию:
Выполнить задания
Построить график данной функции и обратной к ней.
Выполнить задания
Выясните, существует ли обратная функция для заданной функции.
Если да, то задайте обратную функцию аналитически, постройте график заданной функции и обратной функции:
Итоги урока:
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
