Презентация к уроку по математике "Ряды: числовой, геометрический, гармонический".

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть - и далее подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели. Г. Лейбниц 

«Ряды: числовой,геометрический, гармонический»

- актуализация пройденного материала: числовые множества, возрастающая и убывающая геометрические прогрессии и их формулы;
- познакомить с новыми понятиями «ряды и их виды»;
- научить нахождению числовой последовательности по формуле n-члена, алгебраической сумме первых n–членов ряда, исследовать заданный ряд;
- познакомить с историей развития данной темы на примере ученых математиков.

Назовите числовые множества и их обозначения…
Значение словосочетания «числовой ряд », что оно означает?
Дайте определение геометрической прогрессии…
При каких условиях геометрическая прогрессия называется возрастающей и при каких-убывающей…
Какова формула общего члена геометрической прогрессии? 

1) N – множество всех натуральных чисел; Z – множество целых чисел;
Q – множество рациональных чисел; J – множество иррациональных чисел;
R – множество действительных чисел;
2) Числовой ряд — числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда);
3) Геометрическая прогрессия – последовательность чисел, в которой каждое число, начиная со второго, равно предыдущему, умноженному на одно и то же число, отличное от нуля.
4) Прогрессия называется возрастающей, если модуль числа |q| > 1, и убывающей,
если |q| < 1.
5)an = a1 · qn-1
n-ый член геометрической прогрессии равен произведению её первого члена на знаменатель прогрессии в степени n-1.

Правила арифметики дают нам возможность определить сумму двух, трех, четырех и вообще любого конечного набора чисел. А если количество слагаемых бесконечно? Пусть это даже «самая маленькая» бесконечность, т.е. пусть число слагаемых счетно.
Нахождение бесконечных сумм являлось составной частью так называемого метода исчерпывания, широко используемого древнегреческими учеными для нахождения площадей фигур, объемов тел, длин кривых и т.д. Так, например, Архимед для вычисления площади параболического сегмента (т.е. фигуры, ограниченной прямой и параболой) нашел сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем 1/4.
Почти две с половиной тысячи лет назад греческий математик и астроном Евдокс Книдский применял метод «исчерпывания» к нахождению площадей и объемов. Идея этого метода состоит в том, чтобы исследуемое тело разбить на счетное число частей, площади или объемы которых известны, а затем эти объемы сложить. Этот метод применяли и Эвклид, и Архимед. Естественно, полного и аккуратного обоснования метода в работах античных математиков не было. До этого нужно было пройти еще долгий двухтысячелетний путь, на котором были и блестящие откровения, и ошибки, и курьезы.

Вот, например, как рассуждал один средневековый богослов при доказательстве - не более и не менее - существования Всемогущего Бога.Запишем в равновеликих величинах S как бесконечную суммуS = 1010101010… (1)«Заменим в правой части этого равенства каждый нуль на сумму 1+(-1)S =1+(-1)+ 1+(-1)+ 1+(-1)+… (2)Оставив в одиночестве первое слагаемое в правой части (2), объединим с помощью скобок второе слагаемое с третьим, четвертое с пятым и т.д. ТогдаS=1 + ((-1) +1) + ((-1) +1) +… = 1+0+0+… = 1.»Начав с равенства S = 0, автор приходит к тому, что S = 1 и торжественно заканчивает:«Если из нуля можно по желанию получить единицу, то допустимо и предположение о сотворении мира из ничего!»

Согласимся ли мы с таким рассуждением? Конечно, нет. С точки зрения современной математики ошибка автора состоит в том, что он пытается оперировать с понятиями, которым не дано определения (что это такое - «сумма бесконечного числа слагаемых»), и совершает преобразования (раскрытие скобок, перегруппировка), законность которых не была им обоснована.
Широко пользовались счетными суммами, не уделяя достаточного внимания вопросу о том, что же точно означает это понятие, крупнейшие математики XVII и XVIII веков - Исаак Ньютон (1642-1727), Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716), Брук Тейлор (1685-1731), Колин Маклорен (1698-1746), Жозеф Луи Лагранж (1736-1813). Виртуозным мастерством обращения с рядами отмечался Леонард, Эйлер (1707-1783), вместе с тем он нередко признавал недостаточное обоснование используемых им приемов. В ста работах неоднократно встречаются предложения вроде такого «Мы обнаружили, что эти два бесконечных выражения равны, хотя и оказалось невозможным это доказать». Он предостерегает математиков от использования «расходящихся рядов», хотя сам не всегда заботился от этом, и лишь гениальная интуиция защищает его от неверных заключений; правда, и у него случаются «проколы».

К началу XIX века необходимость аккуратного обоснования свойств «счетных сумм» становится ясной. В 1812 году Карл Фридрих Гаусс (1777-1865) дает первый образец исследования сходимости ряда, в 1821 году наш хороший знакомый Огюстен Луи Коши (1789-1857) устанавливает основные современные принципы теории рядов.

Суммирование бесконечных геометрических прогрессий со знаменателем, меньшим 1, производилось уже в древности (Архимед). Расходимость гармонического ряда была установлена итальянским ученым Менголи в 1650 г. Степенные ряды появились у Ньютона (1665), который полагал, что степенным рядом можно представить любую функцию. У ученых XVIII века ряды постоянно встречались в вычислениях, но далеко не всегда уделялось внимание вопросу о сходимости. Точная теория рядов начинается с работ Гаусса (1812), Больцано (1817) и, наконец, Коши, где впервые дано современное определение суммы сходящегося ряда и установлены основные теоремы. 1821 году Коши публикует «Курс анализа в Политехнической королевской школе», имевший наибольшее значение для распространения новых идей обоснования математического анализа в первой половине XIX века.

-СИСТЕМАТИЗИРОВАТЬ ПОЛУЧЕННЫЕ ЗНАНИЯ ПО ДАННОЙ ТЕМЕ И ПРОДОЛЖИТЬ ФОРМИРОВАНИЕ НАВЫКОВ УЧЕБНОГО ТРУДА;
-приобрести практические навыки для исследования
числового ряда, геометрического ряда, гармонического ряда;
-ФОРМИРОВАТЬ УМЕНИЕ ВЫДЕЛЯТЬ ГЛАВНОЕ ОТ ВТОРОСТЕПЕННОГО, АНАЛИЗИРОВАТЬ ПОЛУЧЕННЫЙ РЕЗУЛЬТАТ.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.
ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.
ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.
ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности

Сборник задач по математике Н.В. Богомолов учеб.пос.для ссузов
1. гл.27 стр. 391
2. №4 (3), №5 (3,5), №8 (1,3)

1. Математика, Н.В.Богомолов, П.И. Самойленко - учеб.пос. для ссузов
2. Сборник задач по математике Н.В.Богомолов- учеб.пос.для ссузов