Презентация к уроку "Свойства пределов"

. Свойства пределов

.
Свойства пределов

Задание 1 Рассмотрим функцию 𝒚𝒚= sin 𝒙 𝒙 sin 𝒙 sin sin 𝒙 𝒙𝒙 sin 𝒙 sin 𝒙 𝒙 𝒙𝒙 sin 𝒙 𝒙

Задание 1 Рассмотрим функцию 𝒚𝒚= sin 𝒙 𝒙 sin 𝒙 sin sin 𝒙 𝒙𝒙 sin 𝒙 sin 𝒙 𝒙 𝒙𝒙 sin 𝒙 𝒙 . 𝑫𝑫 𝒚 𝒚𝒚 𝒚 = −∞;𝟎 −∞;𝟎𝟎 −∞;𝟎 ∪ 𝟎;+∞ 𝟎𝟎;+∞ 𝟎;+∞ .

𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝒙>𝟎 sin 𝒙 𝒙 =𝟏. 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝒙>𝟎 𝒍𝒍𝒊𝒊𝒎𝒎 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝒙>𝟎 𝒙→𝟎 𝒙>𝟎 𝒙𝒙→𝟎𝟎 𝒙→𝟎 𝒙>𝟎 𝒙𝒙>𝟎𝟎 𝒙→𝟎 𝒙>𝟎 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝒙>𝟎 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝒙>𝟎 sin 𝒙 𝒙 =𝟏. sin 𝒙 𝒙 sin 𝒙 sin sin 𝒙 𝒙𝒙 sin 𝒙 sin 𝒙 𝒙 𝒙𝒙 sin 𝒙 𝒙 =𝟏𝟏. 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝒙>𝟎 sin 𝒙 𝒙 =𝟏.

𝒙	0,5	0,1	0,05
*𝒚𝒚=* sin 𝒙 𝒙 sin 𝒙 sin sin 𝒙 𝒙𝒙 sin 𝒙 sin 𝒙 𝒙 𝒙𝒙 sin 𝒙 𝒙	0,9589	0,9983	0,9996

Задание 1 Рассмотрим функцию 𝒚𝒚= sin 𝒙 𝒙 sin 𝒙 sin sin 𝒙 𝒙𝒙 sin 𝒙 sin 𝒙 𝒙 𝒙𝒙 sin 𝒙 𝒙

𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝒙<𝟎 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒙 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝒙<𝟎 𝒔𝒊𝒏 −𝒙 −𝒙 = 𝒍𝒊𝒎 𝒖→𝟎 𝒖>𝟎 𝒔𝒊𝒏 𝒖 𝒖 =𝟏.
Заменим 𝒙𝒙=−𝒖𝒖. 𝒙𝒙→𝟎𝟎,𝒙𝒙<𝟎𝟎, то 𝒖𝒖→𝟎𝟎, 𝒖𝒖>𝟎𝟎

𝒚𝒚= 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐬𝐬𝐢𝐢𝐧𝐧 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒙𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒙 𝒙𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒙 . 𝑫𝑫 𝒚 𝒚𝒚 𝒚 =…

𝒚𝒚= 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐬𝐬𝐢𝐢𝐧𝐧 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒙𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒙 𝒙𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒙 . 𝑫𝑫 𝒚 𝒚𝒚 𝒚 = −∞;𝟎 −∞;𝟎𝟎 −∞;𝟎 ∪ 𝟎;+∞ 𝟎𝟎;+∞ 𝟎;+∞ .

𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒙 =𝟏 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝒍𝒍𝒊𝒊𝒎𝒎 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝒙𝒙→𝟎𝟎 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒙 =𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐬𝐬𝐢𝐢𝐧𝐧 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒙𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒙 𝒙𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒙 =𝟏𝟏 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒙 =𝟏

первый замечательный предел

Рассмотрим функцию 𝒚𝒚= 𝟏+𝒙 𝟏 𝒙 𝟏+𝒙 𝟏𝟏+𝒙𝒙 𝟏+𝒙 𝟏+𝒙 𝟏 𝒙 𝟏 𝒙 𝟏𝟏 𝟏 𝒙 𝒙𝒙 𝟏 𝒙 𝟏+𝒙 𝟏 𝒙

Рассмотрим функцию 𝒚𝒚= 𝟏+𝒙 𝟏 𝒙 𝟏+𝒙 𝟏𝟏+𝒙𝒙 𝟏+𝒙 𝟏+𝒙 𝟏 𝒙 𝟏 𝒙 𝟏𝟏 𝟏 𝒙 𝒙𝒙 𝟏 𝒙 𝟏+𝒙 𝟏 𝒙 . 𝑫𝑫 𝒚 𝒚𝒚 𝒚 :𝟎𝟎< 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 <𝟏𝟏.

𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝟏+𝒙 𝟏 𝒙 =𝒆 , 𝒆≈𝟐,𝟕.

второй замечательный предел

Свойства пределов Если 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝐥𝐥𝐢𝐢𝐦𝐦 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒙𝒙→𝒂𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) 𝒇𝒇(𝒙𝒙) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) и 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝝋(𝒙)…

Свойства пределов

Если 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝐥𝐥𝐢𝐢𝐦𝐦 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒙𝒙→𝒂𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) 𝒇𝒇(𝒙𝒙) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) и 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝝋(𝒙) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝐥𝐥𝐢𝐢𝐦𝐦 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒙𝒙→𝒂𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝝋(𝒙) 𝝋𝝋(𝒙𝒙) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝝋(𝒙) действительные числа, то справедливы следующие свойства:
Предел суммы равен сумме пределов: 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙)+𝝋(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) + 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝝋(𝒙) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝐥𝐥𝐢𝐢𝐦𝐦 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒙𝒙→𝒂𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙)+𝝋(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) + 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝝋(𝒙) 𝒇(𝒙)+𝝋(𝒙) 𝒇𝒇(𝒙𝒙)+𝝋𝝋(𝒙𝒙) 𝒇(𝒙)+𝝋(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝐥𝐥𝐢𝐢𝐦𝐦 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒙𝒙→𝒂𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) 𝒇𝒇(𝒙𝒙) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) + 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝝋(𝒙) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝐥𝐥𝐢𝐢𝐦𝐦 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒙𝒙→𝒂𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝝋(𝒙) 𝝋𝝋(𝒙𝒙) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝝋(𝒙) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙)+𝝋(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) + 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝝋(𝒙)
Предел разности равен разности пределов: 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇 𝒙 −𝝋(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) − 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝝋(𝒙) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝐥𝐥𝐢𝐢𝐦𝐦 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒙𝒙→𝒂𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇 𝒙 −𝝋(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) − 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝝋(𝒙) 𝒇 𝒙 −𝝋(𝒙) 𝒇𝒇 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 −𝝋𝝋(𝒙𝒙) 𝒇 𝒙 −𝝋(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝐥𝐥𝐢𝐢𝐦𝐦 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒙𝒙→𝒂𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) 𝒇𝒇(𝒙𝒙) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) − 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝝋(𝒙) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝐥𝐥𝐢𝐢𝐦𝐦 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒙𝒙→𝒂𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝝋(𝒙) 𝝋𝝋(𝒙𝒙) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝝋(𝒙) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇 𝒙 −𝝋(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) − 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝝋(𝒙)
Предел произведения равен произведению пределов: 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇 𝒙 ∙𝝋(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) ∙ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝝋(𝒙) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝐥𝐥𝐢𝐢𝐦𝐦 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒙𝒙→𝒂𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇 𝒙 ∙𝝋(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) ∙ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝝋(𝒙) 𝒇 𝒙 ∙𝝋(𝒙) 𝒇𝒇 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 ∙𝝋𝝋(𝒙𝒙) 𝒇 𝒙 ∙𝝋(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝐥𝐥𝐢𝐢𝐦𝐦 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒙𝒙→𝒂𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) 𝒇𝒇(𝒙𝒙) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) ∙ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝝋(𝒙) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝐥𝐥𝐢𝐢𝐦𝐦 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒙𝒙→𝒂𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝝋(𝒙) 𝝋𝝋(𝒙𝒙) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝝋(𝒙) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇 𝒙 ∙𝝋(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) ∙ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝝋(𝒙)
Предел частного равен частному пределов:
𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇 𝒙 𝝋(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝝋(𝒙) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝐥𝐥𝐢𝐢𝐦𝐦 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒙𝒙→𝒂𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇 𝒙 𝝋(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝝋(𝒙) 𝒇 𝒙 𝝋(𝒙) 𝒇𝒇 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 𝒇 𝒙 𝝋(𝒙) 𝝋𝝋(𝒙𝒙) 𝒇 𝒙 𝝋(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝝋(𝒙) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝐥𝐥𝐢𝐢𝐦𝐦 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒙𝒙→𝒂𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) 𝒇𝒇(𝒙𝒙) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝝋(𝒙) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝝋(𝒙) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝐥𝐥𝐢𝐢𝐦𝐦 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒙𝒙→𝒂𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝝋(𝒙) 𝝋𝝋(𝒙𝒙) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝝋(𝒙) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝝋(𝒙) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇 𝒙 𝝋(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝝋(𝒙)

Свойства пределов Для функции 𝒇𝒇(𝒙𝒙) , такой, что 𝒇𝒇(𝒙𝒙)≠𝟎𝟎 в окрестности точки 𝒂𝒂 , справедливы свойства: если 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇 𝒙 =∞ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝐥𝐥𝐢𝐢𝐦𝐦…

Свойства пределов

Для функции 𝒇𝒇(𝒙𝒙), такой, что 𝒇𝒇(𝒙𝒙)≠𝟎𝟎 в окрестности точки 𝒂𝒂, справедливы свойства:
если 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇 𝒙 =∞ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝐥𝐥𝐢𝐢𝐦𝐦 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒙𝒙→𝒂𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇 𝒙 =∞ 𝒇𝒇 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 =∞ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇 𝒙 =∞ , то 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝟏 𝒇(𝒙) =𝟎; 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝐥𝐥𝐢𝐢𝐦𝐦 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒙𝒙→𝒂𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝟏 𝒇(𝒙) =𝟎; 𝟏 𝒇(𝒙) 𝟏𝟏 𝟏 𝒇(𝒙) 𝒇𝒇(𝒙𝒙) 𝟏 𝒇(𝒙) =𝟎𝟎; 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝟏 𝒇(𝒙) =𝟎;
если 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇 𝒙 =𝟎 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝐥𝐥𝐢𝐢𝐦𝐦 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒙𝒙→𝒂𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇 𝒙 =𝟎 𝒇𝒇 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 =𝟎𝟎 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇 𝒙 =𝟎 , то 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝟏 𝒇(𝒙) =∞ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝐥𝐥𝐢𝐢𝐦𝐦 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒙𝒙→𝒂𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝟏 𝒇(𝒙) =∞ 𝟏 𝒇(𝒙) 𝟏𝟏 𝟏 𝒇(𝒙) 𝒇𝒇(𝒙𝒙) 𝟏 𝒇(𝒙) =∞ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝟏 𝒇(𝒙) =∞ .

Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.

27.09.2020