Презентация к занятию по теме: "Геометрический смысл производной".

Сегодня на занятии

•       Выясним геометрический смысл производной функции.

•       Выведем уравнение касательной к графику дифференцируемой функции.

Геометрический смысл производной

Пример: Найти угол между касательной к графику функции 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 в точке − ^𝜋 ; 0  и осью Ох 2 Решение:

Геометрический смысл производной

Пример: Найти угол между касательной к графику функции 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 в точке − ^𝜋 ; 0  и осью Ох 2 Решение:

Пример: Найти уравнение касательной к графику функции 𝑦 = 3𝑠𝑖𝑛𝑥 в точке с абсциссой 𝑥₀ = ^𝜋₃ Решение:

Пример: Найти уравнение касательной к графику функции 𝑦 = 3𝑠𝑖𝑛𝑥 в точке с абсциссой 𝑥₀ = ^𝜋₃

Пример: Найти уравнение касательной к графику функции 𝑦 = 3𝑠𝑖𝑛𝑥 в точке с абсциссой 𝑥₀ = ^𝜋₃

Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) в точке с абсциссой 𝑥₀:

𝜋² + 2𝑥, 𝑥₀ = 1.

а) 𝑓 𝑥       = 2 cos 𝑥, 𝑥₀ = ₂; б) 𝑓 𝑥     = 𝑥

Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) в точке с абсциссой 𝑥₀:

𝜋² + 2𝑥, 𝑥₀ = 1.

а) 𝑓 𝑥 = 2 cos 𝑥, 𝑥₀ = ₂; б) 𝑓 𝑥   = 𝑥 Решение:

а) 𝑓 𝑥 = 2 cos 𝑥, 𝑥₀ = ^𝜋₂; 𝑓^′(𝑥) = 2 cos 𝑥^′ = −2 sin 𝑥

𝑘 = 𝑓^′ 𝑥₀        = −2 sin ^𝜋₂ = −2.

Ответ: а) −2;

Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) в точке с абсциссой 𝑥₀:

𝜋² + 2𝑥, 𝑥₀ = 1.

а) 𝑓 𝑥       = 2 cos 𝑥, 𝑥₀ = ₂; б) 𝑓 𝑥     = 𝑥

Решение:

б) 𝑓 𝑥 = 𝑥² + 2𝑥, 𝑥₀ = 1; 𝑓^′(𝑥) =    𝑥² + 2𝑥^′ = 2𝑥 + 2 𝑘 = 𝑓^′ 𝑥₀ = 2 ∙ 1 + 2 = 4.

Ответ: б) 4.

Найдите угол между касательной к графику функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) в точке с абсциссой 𝑥₀ и осью 𝑂𝑥:

1 ³ − 𝑥, 𝑥₀ = 2.

а) 𝑓 𝑥 = ln𝑥, 𝑥₀ = 1; б) 𝑓 𝑥 = ₃𝑥

Найдите угол между касательной к графику функции 𝑦 =𝑓(𝑥) в точке с абсциссой 𝑥₀ и осью 𝑂𝑥:

1 ³ − 𝑥, 𝑥₀ = 2.

а) 𝑓 𝑥 = ln𝑥, 𝑥₀ = 1; б) 𝑓 𝑥 = ₃𝑥

Решение:

а) 𝑓 𝑥      = ln 𝑥, 𝑥₀ = 1;

¹

𝑓^′(𝑥) = ln 𝑥^′ =

𝑥

tg 𝛼 = 𝑓^′ 𝑥₀           =  = 1

𝜋

𝛼 = arctg 1 = .

4

𝜋

Ответ: а) ;

4

Найдите угол между касательной к графику функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) в точке с абсциссой 𝑥₀ и осью 𝑂𝑥:

1 ³ − 𝑥, 𝑥₀ = 2.

а) 𝑓 𝑥 = ln𝑥, 𝑥₀ = 1; б) 𝑓 𝑥 = ₃𝑥

Решение:

б) 𝑓 𝑥       =𝑥

                                                   13     ³ − 𝑥, 𝑥₀ = 2;

𝑓^′(𝑥) =        ¹ 𝑥³ − 𝑥^′ = 𝑥² − 1,

3

tg 𝛼 = 𝑓^′ 𝑥₀    = 2² − 1 = 3, 𝛼 = arctg 3.

Ответ: б) arctg 3.

Напишите уравнение касательной к графику функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) в точке с абсциссой 𝑥₀:

а) 𝑓 𝑥       = 𝑥³ − 1, 𝑥₀ = −1; б) 𝑓 𝑥  = 𝑥 + _{𝑥 +}¹ ₁, 𝑥₀ = 0.

Напишите уравнение касательной к графику функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) в точке с абсциссой 𝑥₀:

а) 𝑓 𝑥       = 𝑥³ − 1, 𝑥₀ = −1; б) 𝑓 𝑥  = 𝑥 + _{𝑥 +}¹ ₁, 𝑥₀ = 0.

Решение:

а) 𝑓 𝑥  = 𝑥³ − 1, 𝑥₀ = −1; 𝑓 𝑥₀   = (−1)³−1 = −2,

𝑓^′(𝑥) = 𝑥³ − 1^′ = 3𝑥²,

𝑓^′(𝑥₀) = 3(−1)²= 3,

𝑦 = −2 + 3𝑥 + 1

𝑦 = −2 + 3𝑥 + 3, 𝑦 = 3𝑥 + 1

Ответ: а) 𝑦 = 3𝑥 + 1,

Напишите уравнение касательной к графику функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) в точке с абсциссой 𝑥₀:

1

а) 𝑓 𝑥     = 𝑥                       = 𝑥 + 𝑥 + 1, 𝑥₀ = 0.

Решение:

1

б) 𝑓 𝑥  = 𝑥 + 𝑥 + 1, 𝑥₀ = 0;

 𝑓 𝑥₀        = 0 +   = 1,

𝑓^′(𝑥) = 𝑥 + 𝑥 +¹ 1 ^′ = 1 −       𝑥 +¹1 ₂ ,

𝑓^′ 𝑥₀          = 1 −  =0

𝑦 = 1 + 0𝑥 − 0, 𝑦 = 1.  Ответ:  б) 𝑦 = 1.