Презентация к занятию по теме: "Неопределенный интеграл".

неопределенный интеграл

Определение:

Если  функция 𝑦=𝑓 𝑥     имеет на     промежутке     I первообразную 𝑦=𝐹 𝑥 ,     то множество  всех первообразных, т.е. множество функций вида

𝑦=𝐹 𝑥 +𝐶 называют неопределенным интегралом от функции 𝑦=𝑓 𝑥 и обозначают ∫𝑓 𝑥 ⅆ𝑥

(читают: неопределенныйинтегралэфотиксдэикс).

неопределенный интеграл

Определение:    То есть записывают

∫ 𝒇 𝒙 ⅆ𝒙 = 𝑭 𝒙 + 𝑪

(читают: неопределенный интеграл эф от икс дэ икс).

Где ∫− знак интеграла,

𝑓 𝑥 – подынтегральная функция,

𝑓 𝑥 ⅆ𝑥 – подынтегральное выражение,

𝐹 𝑥 – одна из первообразных

Таблица неопределённых интегралов:

Таблица неопределённых интегралов:

ПРАВИЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ:

ПРАВИЛО 1.

Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов этих функций:

∫    𝒇 𝒙    + 𝒈 𝒙   ⅆ𝒙 = ∫ 𝒇 𝒙 ⅆ𝒙 + ∫ 𝒈 𝒙 ⅆ𝒙

Пример 1:

Вычислить неопределенный интеграл:

∫ 𝑥⁴ + 𝑐𝑜𝑠𝑥 ⅆ𝑥 =

Пример 1(решение):

Вычислить неопределенный интеграл:

∫ 𝑥⁴ + 𝑐𝑜𝑠𝑥 ⅆ𝑥 =

Применяя первое правило интегрирования, получим =∫ 𝑥⁴ ⅆ𝑥 + ∫ cos𝑥 ⅆ𝑥 =

𝑥5

 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐶

ПРАВИЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ:

ПРАВИЛО 2.

Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:

∫ 𝒌𝒇 𝒙 ⅆ𝒙 = 𝒌∫ 𝒇 𝒙 ⅆ𝒙

Пример 2:

Вычислить неопределенный интеграл:

න2𝑥³ ⅆ𝑥 =

Пример 2(решение):

Вычислить неопределенный интеграл: න2𝑥³ ⅆ𝑥 =

Воспользовавшись вторым  правилом интегрирования, получим

                                                                                                                                                                 𝑥4              𝑥4

 𝐶

Пример 3:

Вычислить неопределенный интеграл:

න5𝑠𝑖𝑛𝑥 ⅆ𝑥 =

Пример 3(решение):

Вычислить неопределенный интеграл: න5𝑠𝑖𝑛𝑥 ⅆ𝑥 =

Воспользовавшись вторым правилом интегрирования, получим

= 5∫ sin𝑥ⅆ𝑥 = −5cos𝑥 + 𝐶

ПРАВИЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ:

ПРАВИЛО 3.

Если ∫ 𝒇 𝒙 ⅆ𝒙 = 𝑭 𝒙       + 𝑪, то

𝟏

∫ 𝒇𝒌𝒙 + 𝒃 ⅆ𝒙 =  𝑭𝒌𝒙 + 𝒃 + С

𝒌

Пример 4:

Вычислить неопределенный интеграл:

∫ 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 4 ⅆ𝑥 =

Пример 4(решение):

Вычислить неопределенный интеграл: ∫ 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 4 ⅆ𝑥 =

Воспользовавшись третьим  правилом интегрирования, получим

= sin3𝑥 + 4 + 𝐶

Пример 5:

Вычислить неопределенный интеграл:

∫ 2𝑥 + 1⁴ ⅆ𝑥 =

Пример 5(решение):

Вычислить неопределенный интеграл:

∫ 2𝑥 + 1⁴ ⅆ𝑥 =

Воспользовавшись третьим  правилом интегрирования, получим

 𝐶

Пример 6:

Найти неопределённый интеграл: ⅆ𝑥

∫

Пример 6(решение):

Найти неопределённый интеграл:

ⅆ𝑥

∫

Решение: Воспользовавшись третьим правилом интегрирования и формулой 𝑡𝑔𝑥 + 𝐶, получим:

𝑐𝑜𝑠 𝑥

                                                                                                   ⅆ𝑥                         1𝜋

                                             ∫                        𝜋 = 3𝑡𝑔

𝑐𝑜𝑠2 3𝑥 − 3

Пример 7:

Найти неопределённый интеграл:

∫ 𝑥 − 2𝑥² + 5 ⅆ𝑥

Пример 7(решение):

Найти неопределённый интеграл: ∫ ሺ𝑥 − 2𝑥² + 5ሻ ⅆ𝑥

Решение: Воспользовавшись первым и вторым правилами интегрирования, получим:

∫ 𝑥 − 2𝑥² + 5 ⅆ𝑥 =

=∫ 𝑥ⅆ𝑥 − 2∫ 𝑥² ⅆ𝑥 + 5∫ ⅆ𝑥=

= ^𝑥2 − 2 ⋅ ^𝑥3 + 5𝑥 + 𝐶

                 2                  3

Пример 8:

Найти неопределённый интеграл:

5

∫− 𝑥₂ ⅆ𝑥

Пример 8(решение):

Решение: Преобразуем выражение

5

∫− 𝑥₂ ⅆ𝑥 =

Пример 8(решение):

Воспользовавшись первым и вторым правилами интегрирования, получим:

 𝐶

                                                                                                                              𝑥                   𝑥

Домашнее задание

Найдите следующие интегралы:

1.∫ 2𝑥³ + 4𝑥 ⅆ𝑥

2.∫ 𝑥 ⋅ 𝑥² + 4 ⅆ𝑥

3.𝑥

𝑥

4.∫2𝑥 𝑥−3𝑥ⅆ𝑥

𝑥

5.