Вы умеете по заданной функции находить её    производную, знаете, что производная     применяется  во    многих   областях знаний.   В     частности,     умея дифференцировать, по данному закону 𝑦 = 𝑠 𝑡    движения материальной точки по координатной прямой можно найти закон 𝑦 = 𝑣 𝑡 измерения её скорости, а именно: 𝑣 𝑡 = 𝑠^′ 𝑡 .

Нередко в механике     приходится    решать обратную задачу: находить закон движения по известному закону изменения скорости.

Например, из курса физики вам известен такой факт: если скорость тела

изменяется по закону 𝑣 𝑡 = 𝑔𝑡 и 𝑠 0 = 0, то закон его движения задаётся формулой

𝑔𝑡²

𝑆 𝑡 =           .

2

′

В самом деле, 𝑠^′ 𝑡 =                       = ^𝑔 𝑡^{2 ′} = ^𝑔 ⋅ 2𝑡 = 𝑔𝑡

22

Вы   знаете,    что  нахождение   производной заданной функции называют дифференцированием. Обратную операцию, т. е. нахождение функции по её производной, называют интегрированием.

Определение: Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на некотором промежутке, если для всех х из этого промежутка выполняется равенство F^/(x) = f(x).

Пример1: Доказать, что функции 𝐹₁ = 𝑥³, 𝐹₂ = 𝑥³ + 1, 𝐹₃ = 𝑥³ − 4 являются первообразными функции 𝑓 𝑥 = 3𝑥².

Решение: Найдем производные для данных функций:

𝐹= 3𝑥²;

𝐹₂^′= 3𝑥² + 0 = 3𝑥²;

𝐹₃^′= 3𝑥² − 0 = 3𝑥²

•     Каждая из них имеет одну и ту же производную 𝑓 𝑥 =3𝑥². Поэтому все функции F₁, F₂, F₃ являются первообразными функции 𝑓 𝑥 = 3𝑥².

•     Понятно, что каждая из функций 𝐹=𝑥³+𝐶, где 𝐶- любое число, является первообразной функции 𝑓 𝑥 = 3𝑥². Следовательно задача нахождения первообразной имеет бесконечно много решений.

•     Задача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все её первообразные на заданном промежутке.

ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО

ПЕРВООБРАЗНОЙ

Если функция F(x) является первообразной функции f(x) на некотором промежутке, то все первообразные функции f(x) записываются в виде F(x) + C, где С – любое число.

•     Запись  вида    F(x)     +    C   называется общим видом первообразных функции f(x) на некотором промежутке.

•     Из основного свойства первообразных следует,  что графики    любых двух первообразных  данной      функции можно  получить  друг    из  друга параллельным переносом вдоль оси ординат.

ПРАВИЛО   1.   Первообразная   суммы      равна сумме первообразных.

Пример 2: Найти первообразную для функции 𝑦 = 𝑥³ + 𝑐𝑜𝑠 𝑥

³ является 𝑥4, первообразной для

Решение: Первообразной для 𝑥

4

𝑐𝑜𝑠 𝑥 является 𝑠𝑖𝑛 𝑥.Значит, первообразной для f(x)= 𝑥³ + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 будет являться функция

ПРАВИЛО 2. Если F(x) – первообразная для функции f(x), то 𝒌F(x) – первообразная для 𝒌f(x).

Пример 3: Найти первообразную для функции

𝑦 = 7 𝑐𝑜𝑠 𝑥

Решение: Первообразной       для 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 является

𝐹 𝑥    = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 . Значит, для функции

𝑦 = 7 𝑐𝑜𝑠 𝑥 первообразной будет функция 𝐹 𝑥 = 7 𝑠𝑖𝑛 𝑥 (и вообще любая функция вида 𝐹 𝑥 = 7 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + С).

ПРАВИЛО 2. Если F(x) – первообразная для функции f(x), то 𝒌F(x) – первообразная для 𝒌f(x).

sin 𝑥

Пример 4: Найти первообразную для функции 𝑦 = .

5

Решение: Первообразной для 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 является 𝐹 𝑥 = −cos𝑥 . Значит, для функции 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 первообразной будет функция 𝐹 𝑥 = −  𝑐𝑜𝑠 𝑥(и вообще любая функция вида 𝐹 𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥+С).

Пример 5: Найти первообразную для функции 𝑦 = 2𝑥³ − 4𝑥 − 2

                                                                                                                                                                              ³ является 𝐹 𝑥                                                                                            𝑥4

Решение: Первообразной для 𝑓 𝑥     = 2𝑥

𝑥4

. Первообразной для функции 𝑓 𝑥               = 4𝑥                                                             является функция

2

𝑥2

𝐹 𝑥  . Первообразной для функции 𝑓 𝑥 = 2 является 𝐹 𝑥 = 2𝑥 . Используя первое и второе правила нахождения первообразных, получим, что первообразной для функции 𝑦 = 2𝑥³ − 4𝑥 − 2 является функция 𝐹 𝑥 ^𝑥4

^𝑥2 − 2𝑥 = ^𝑥4 − 2𝑥² − 2𝑥 ( и вообще любая функция вида

2                             2

𝐹 𝑥        = ^𝑥4 − 2 ² − 2𝑥 + С).

𝑥

2

Пример 6: Для функции 𝑓 𝑥 = 𝑥 найти такую первообразную, график которой проходит через точку (2;5).

Решение: Все первообразные данной функции находятся по

𝑥2 формуле 𝐹 𝑥 =  + 𝐶.

2

𝑥2

Найдём число С, такое, чтобы график функции у =  + 𝐶

2

проходил через точку (2;5). Подставляя 𝑥 = 2, 𝑦 = 5, получаем

22𝑥2

5 =  + 𝐶, откуда находим 𝐶 = 3. Следовательно, 𝐹 𝑥                                                                                 =  + 3.

22

ПРАВИЛО 3: Если у=F(x) – первообразная для функции у=f(x), то для функции 𝒚 = 𝒇𝒌𝒙 + 𝒃 является функция

𝟏

𝒚 =     𝑭 𝒌𝒙 + 𝒃.

𝒌

Пример 7: Найти первообразную для функции 𝑓 𝑥                                                                     =  .

Решение:      Так      как      для      функции 𝑓 𝑥 =                   ¹

𝑘𝑥+𝑏

1 первообразная равна 𝐹 𝑥    =  𝑙𝑛𝑘𝑥 + 𝑏,то для функции

𝑘

𝑓 𝑥 =  первообразная равна 𝐹 𝑥 = 𝑙𝑛3𝑥 + 1.

ПРАВИЛО 3: Если у=F(x) – первообразная для функции у=f(x), то

𝟏 для функции 𝒚 = 𝒇𝒌𝒙 + 𝒃 является функция 𝒚 =     𝑭 𝒌𝒙 + 𝒃.

𝒌

Пример 8: Найти первообразную для функции 𝑓 𝑥                                                                               = 2 𝑠𝑖𝑛 3𝑥

Решение: Так как для функции 𝑓 𝑥        = 𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥 + 𝑏                                                                         первообразная

1 равна      𝐹 𝑥 = −  𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥 + 𝑏 , то  для функции   𝑓 𝑥 = 2 𝑠𝑖𝑛 3𝑥

𝑘

первообразная равна F(x)= −  𝑐𝑜𝑠 3𝑥

ПРАВИЛО 3: Если у=F(x) – первообразная для функции у=f(x), то

𝟏 для функции 𝒚 = 𝒇𝒌𝒙 + 𝒃 является функция 𝒚 =     𝑭 𝒌𝒙 + 𝒃.

𝒌

Пример 9: Найти первообразную для функции 𝑓 𝑥                                                                        = 𝑐𝑜𝑠4𝑥 − 3

Решение: Так как для функции 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥 + 𝑏 первообразная равна

1

𝐹 𝑥      =  𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥 + 𝑏 ,     то    для        функции   𝑓 𝑥              = 𝑐𝑜𝑠4𝑥 − 3

𝑘 первообразная равна

𝐹 𝑥      =  𝑠𝑖𝑛4𝑥 − 3

ПРАВИЛО 3: Если у=F(x) – первообразная для функции у=f(x), то

𝟏 для функции 𝒚 = 𝒇𝒌𝒙 + 𝒃 является функция 𝒚 =     𝑭 𝒌𝒙 + 𝒃.

𝒌

Пример 10: Найти первообразную для функции 𝑓 𝑥                                                                             = 2𝑥 − 3⁵

Решение: Так как для функции 𝑓 𝑥              = 𝑘𝑥 + 𝑏                                                                      первообразная

𝑘𝑥+𝑏 𝑎+1 равна 𝐹 𝑥 =, то для функции

𝑘 𝛼+1

𝑓 𝑥        = 2𝑥 − 3 ⁵ первообразная равна

                                                       𝐹 𝑥

ПРАВИЛО 3: Если у=F(x) – первообразная для функции у=f(x), то

𝟏 для функции 𝒚 = 𝒇𝒌𝒙 + 𝒃 является функция 𝒚 =     𝑭 𝒌𝒙 + 𝒃.

𝒌

Пример11: Найти первообразную для функции 𝑓 𝑥 =

Решение: Преобразуем данную функцию по формуле 𝑥¹_𝑛 =𝑥^−𝑛

Получим𝑓 𝑥 =                      =7𝑥+2⁻⁴

Так как для функции 𝑓 𝑥 = 𝑘𝑥+𝑏 ^𝑎 первообразная равна 𝐹 𝑥 = ^{𝑘𝑥+𝑏 𝑎+1}, то

𝑘 𝛼+1

для функции 𝑓 𝑥 =                    = 7𝑥+2 ⁻⁴ первообразная равна

                                                                                              7𝑥+2 −4+1                 7𝑥+2 −3                              1

                                                                       𝐹 𝑥 = 7 −4+1 =               −21   =−21 7𝑥+2 ₃

Домашнее задание