Презентация на тему " Задачи на работу"

Текстовые задачи

Задачи на работу

Производительность – это объем работы, который выполняется за единицу времени (например, за час или за день).

Производительность – это скорость выполнения той или иной работы.

Заказ на 112 деталей первый рабочий выполняет на 2 часа дольше, чем второй. Сколько деталей за 1 час делает первый рабочий, если известно, что второй рабочий за 1 час делает на 1 деталь больше, чем первый?

𝑥𝑥 деталей/час − производительность первого рабочего

𝑥𝑥+1 деталей/час − производительность второго рабочего

𝑡𝑡 часов − выполнял заказ первый рабочий

𝑡𝑡−2 часа − выполнял заказ второй рабочий

Заказ на 112 деталей первый рабочий выполняет на 2 часа дольше, чем второй. Сколько деталей за 1 час делает первый рабочий, если известно, что второй рабочий за 1 час делает на 1 деталь больше, чем первый?

𝑡𝑡= 112 𝑥 112 112 𝑥 𝑥𝑥 112 𝑥

𝑡𝑡−2= 112 𝑥+1 112 112 𝑥+1 𝑥𝑥+1 112 𝑥+1

⇒𝑡𝑡= 112 𝑥+1 112 112 𝑥+1 𝑥𝑥+1 112 𝑥+1 +2

⇒ 112 𝑥 112 112 𝑥 𝑥𝑥 112 𝑥 = 112 𝑥+1 112 112 𝑥+1 𝑥𝑥+1 112 𝑥+1 +2

112 𝑥 112 112 𝑥 𝑥𝑥 112 𝑥 = 112 𝑥+1 112 112 𝑥+1 𝑥𝑥+1 112 𝑥+1 +2⇒ 112 𝑥 112 112 𝑥 𝑥𝑥 112 𝑥 − 112 𝑥+1 112 112 𝑥+1 𝑥𝑥+1 112 𝑥+1 −2=0⇒ 112 𝑥+1 −112𝑥−2𝑥 𝑥+1 𝑥 𝑥+1 112 𝑥+1 𝑥𝑥+1 𝑥+1 −112𝑥𝑥−2𝑥𝑥 𝑥+1 𝑥𝑥+1 𝑥+1 112 𝑥+1 −112𝑥−2𝑥 𝑥+1 𝑥 𝑥+1 𝑥𝑥 𝑥+1 𝑥𝑥+1 𝑥+1 112 𝑥+1 −112𝑥−2𝑥 𝑥+1 𝑥 𝑥+1 =0

Ответ: 7 деталей делает первый рабочий за 1 час.

Катя и Настя узнали, что у Кости день рождения. И решили его поздравить с помощью эсэмэсок. Катя умеет набирать 24 слова за 4 минуты, а Настя – 35 слов за 7 минут. Катя набрала поздравление из 30 слов, а Настя – из 20. Чье поздравление Костя получит первым?

𝑃 К 𝑃𝑃 𝑃 К К 𝑃 К = 24 4 24 24 4 4 24 4 =6 слов в минуту − производительность Кати

𝑃 Н 𝑃𝑃 𝑃 Н Н 𝑃 Н = 35 7 35 35 7 7 35 7 =5 слов в минуту − производительность Насти

𝑡 К 𝑡𝑡 𝑡 К К 𝑡 К = 30 6 30 30 6 6 30 6 =5 мин

𝑡 Н 𝑡𝑡 𝑡 Н Н 𝑡 Н = 20 5 20 20 5 5 20 5 =4 мин

Ответ: Настино поздравление.

Миша и Женя выполняют одинаковый тест. Миша отвечает за час на 8 вопросов теста, а Женя − на 9. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Миша закончил свой тест позже Жени на 20 мин. Найдите, сколько вопросов в тесте.

8

9

𝑥 8 𝑥𝑥 𝑥 8 8 𝑥 8

𝑥 9 𝑥𝑥 𝑥 9 9 𝑥 9

20 мин = 60 20 60 60 20 20 60 20 = 1 3 1 1 3 3 1 3 ч

𝑥 8 𝑥𝑥 𝑥 8 8 𝑥 8 = 𝑥 9 𝑥𝑥 𝑥 9 9 𝑥 9 + 1 3 1 1 3 3 1 3

Ответ: 24.

⇒ 9𝑥−8𝑥−24 72 9𝑥𝑥−8𝑥𝑥−24 9𝑥−8𝑥−24 72 72 9𝑥−8𝑥−24 72 =0

Задачи на совместную работу

Их отличие от задач просто на работу в том, что в этих задачах работа выполняется одновременно (совместно) несколькими рабочими (трубами и др.) в зависимости от условия задачи.

Первая труба заполняет бассейн за 6 часов, а вторая – за 4 часа. За какое время обе трубы заполнят бассейн, работая вместе?

1 6 1 1 6 6 1 6

1 4 1 1 4 4 1 4

𝑃𝑃= 𝑃 1 𝑃𝑃 𝑃 1 1 𝑃 1 + 𝑃 2 𝑃𝑃 𝑃 2 2 𝑃 2 = 1 6 1 1 6 6 1 6 + 1 4 1 1 4 4 1 4 = 2+3 12 2+3 2+3 12 12 2+3 12 = 5 12 5 5 12 12 5 12

𝑡𝑡= 1 5 12 1 1 5 12 5 12 5 5 12 12 5 12 1 5 12 = 12 5 12 12 5 5 12 5 =2,4 (ч) =2 ч 24 мин

Ответ: 2 ч 24 мин.

5 12 5 5 12 12 5 12

В помощь садовому насосу, который перекачивает 5 литров воды за 2 минуты, подключили второй насос, который перекачивает 5 литров за 3 минуты. Сколько минут эти два насоса должны работать вместе, чтобы перекачать 25 литров воды?

5 2 5 5 2 2 5 2 =2,5

5 3 5 5 3 3 5 3 =1 2 3 2 2 3 3 2 3

2

𝑃𝑃= 𝑃 1 𝑃𝑃 𝑃 1 1 𝑃 1 + 𝑃 2 𝑃𝑃 𝑃 2 2 𝑃 2 = 5 2 5 5 2 2 5 2 + 5 3 5 5 3 3 5 3 = 15+12 6 15+12 15+12 6 6 15+12 6 = 25 6 25 25 6 6 25 6 =4 1 6 1 1 6 6 1 6

𝑡𝑡= 25 25 6 25 25 25 6 25 6 25 25 6 6 25 6 25 25 6 =6 (мин)

Ответ: 6 мин.

25 6 25 25 6 6 25 6

Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты.
За сколько минут наполняет этот резервуар одна первая труба?

1 𝑥 1 1 𝑥 𝑥𝑥 1 𝑥

1 𝑥−6 1 1 𝑥−6 𝑥𝑥−6 1 𝑥−6

𝑥𝑥

𝑃𝑃= 𝑃 1 𝑃𝑃 𝑃 1 1 𝑃 1 + 𝑃 2 𝑃𝑃 𝑃 2 2 𝑃 2 = 1 𝑥 1 1 𝑥 𝑥𝑥 1 𝑥 + 1 𝑥−6 1 1 𝑥−6 𝑥𝑥−6 1 𝑥−6 = 𝑥−6+𝑥 𝑥(𝑥−6) 𝑥𝑥−6+𝑥𝑥 𝑥−6+𝑥 𝑥(𝑥−6) 𝑥𝑥(𝑥𝑥−6) 𝑥−6+𝑥 𝑥(𝑥−6) = 2𝑥−6 𝑥(𝑥−6) 2𝑥𝑥−6 2𝑥−6 𝑥(𝑥−6) 𝑥𝑥(𝑥𝑥−6) 2𝑥−6 𝑥(𝑥−6)

4=1: 2𝑥−6 𝑥(𝑥−6) 2𝑥𝑥−6 2𝑥−6 𝑥(𝑥−6) 𝑥𝑥(𝑥𝑥−6) 2𝑥−6 𝑥(𝑥−6) ⇒ 𝑥(𝑥−6) 2𝑥−6 𝑥𝑥(𝑥𝑥−6) 𝑥(𝑥−6) 2𝑥−6 2𝑥𝑥−6 𝑥(𝑥−6) 2𝑥−6 =4⇔ 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −6𝑥𝑥−8𝑥𝑥+24=0⇔ 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −14𝑥𝑥+24=0

Ответ: 12 мин.

2𝑥−6 𝑥(𝑥−6) 2𝑥𝑥−6 2𝑥−6 𝑥(𝑥−6) 𝑥𝑥(𝑥𝑥−6) 2𝑥−6 𝑥(𝑥−6)

Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь − за 18 часов.
За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

1− весь забор, который надо покрасить

2 𝑃 И + 𝑃 П + 𝑃 В 𝑃 И 𝑃𝑃 𝑃 И И 𝑃 И + 𝑃 П 𝑃𝑃 𝑃 П П 𝑃 П + 𝑃 В 𝑃𝑃 𝑃 В В 𝑃 В 𝑃 И + 𝑃 П + 𝑃 В = 1 4 1 1 4 4 1 4 ⇔ 𝑃 И 𝑃𝑃 𝑃 И И 𝑃 И + 𝑃 П 𝑃𝑃 𝑃 П П 𝑃 П + 𝑃 В 𝑃𝑃 𝑃 В В 𝑃 В = 1 8 1 1 8 8 1 8 ⇒𝑡𝑡=1: 1 8 1 1 8 8 1 8 =8 (ч)

Ответ: 8 ч.

Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе.
Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?

1 15 1 1 15 15 1 15 ⋅3= 1 5 1 1 5 5 1 5 − всей работы сделал первый рабочий за 3 часа

1− 1 5 1− 1 5 1 1 5 5 1 5 1− 1 5 : 1 15 + 1 15 1 15 1 1 15 15 1 15 + 1 15 1 1 15 15 1 15 1 15 + 1 15 = 4 5 4 4 5 5 4 5 ⋅ 15 2 15 15 2 2 15 2 =6 (ч) − работали оба рабочих над остатком работы

3+6=9 (ч) − время выполнения всего заказа

Ответ: 9 ч.

Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за 2 дня выполняет такую же часть работы, какую второй – за 3 дня?

Ответ: 20 дней.

⇔ 12 3 2 𝑦+𝑦 =1 𝑥= 3 2 𝑦 12 3 2 𝑦+𝑦 =1 𝑥= 3 2 𝑦 12 3 2 𝑦+𝑦 3 2 3 3 2 2 3 2 𝑦𝑦+𝑦𝑦 3 2 𝑦+𝑦 =1 12 3 2 𝑦+𝑦 =1 𝑥= 3 2 𝑦 𝑥𝑥= 3 2 3 3 2 2 3 2 𝑦𝑦 12 3 2 𝑦+𝑦 =1 𝑥= 3 2 𝑦 12 3 2 𝑦+𝑦 =1 𝑥= 3 2 𝑦 ⇔ 30𝑦=1 𝑥= 3 2 𝑦 30𝑦=1 𝑥= 3 2 𝑦 30𝑦𝑦=1 30𝑦=1 𝑥= 3 2 𝑦 𝑥𝑥= 3 2 3 3 2 2 3 2 𝑦𝑦 30𝑦=1 𝑥= 3 2 𝑦 30𝑦=1 𝑥= 3 2 𝑦 ⇔ 𝑦= 1 30 𝑥= 1 20 𝑦= 1 30 𝑥= 1 20 𝑦𝑦= 1 30 1 1 30 30 1 30 𝑦= 1 30 𝑥= 1 20 𝑥𝑥= 1 20 1 1 20 20 1 20 𝑦= 1 30 𝑥= 1 20 𝑦= 1 30 𝑥= 1 20

𝑡𝑡=1: 1 20 1 1 20 20 1 20 =20 (дней)

В бассейн проведены две трубы – подающая и отводящая, причем через первую трубу бассейн наполняется на 2 часа дольше, чем через вторую опорожняется. При заполнении бассейна на 1 3 1 1 3 3 1 3 были открыты обе трубы, и бассейн оказался пустым спустя 8 часов. За какое время первая труба наполнит бассейн?

𝑃 1 𝑃𝑃 𝑃 1 1 𝑃 1 =𝑥𝑥 литров в час

𝑃 2 𝑃𝑃 𝑃 2 2 𝑃 2 =𝑦𝑦 литров в час

1 𝑥 1 1 𝑥 𝑥𝑥 1 𝑥 ч − за которое подающая труба наполнит бассейн

1 𝑦 1 1 𝑦 𝑦𝑦 1 𝑦 ч − за которое отводящая труба опорожнит бассейн

1 𝑥 1 1 𝑥 𝑥𝑥 1 𝑥 − 1 𝑦 1 1 𝑦 𝑦𝑦 1 𝑦 =2

𝑦𝑦>𝑥𝑥⇒𝑡𝑡= 1 3 1 1 3 3 1 3 : 𝑦−𝑥 𝑦𝑦−𝑥𝑥 𝑦−𝑥

⇒ 1 3(𝑦−𝑥) 1 1 3(𝑦−𝑥) 3(𝑦𝑦−𝑥𝑥) 1 3(𝑦−𝑥) =8

⇒ 1 𝑥 − 1 𝑦 =2 1 3 𝑦−𝑥 =8 1 𝑥 − 1 𝑦 =2 1 3 𝑦−𝑥 =8 1 𝑥 1 1 𝑥 𝑥𝑥 1 𝑥 − 1 𝑦 1 1 𝑦 𝑦𝑦 1 𝑦 =2 1 𝑥 − 1 𝑦 =2 1 3 𝑦−𝑥 =8 1 3 𝑦−𝑥 1 1 3 𝑦−𝑥 3 𝑦−𝑥 𝑦𝑦−𝑥𝑥 𝑦−𝑥 1 3 𝑦−𝑥 =8 1 𝑥 − 1 𝑦 =2 1 3 𝑦−𝑥 =8 1 𝑥 − 1 𝑦 =2 1 3 𝑦−𝑥 =8

⇒ 1 𝑥 =2+ 1 𝑦 1=24(𝑦−𝑥) 1 𝑥 =2+ 1 𝑦 1=24(𝑦−𝑥) 1 𝑥 1 1 𝑥 𝑥𝑥 1 𝑥 =2+ 1 𝑦 1 1 𝑦 𝑦𝑦 1 𝑦 1 𝑥 =2+ 1 𝑦 1=24(𝑦−𝑥) 1=24(𝑦𝑦−𝑥𝑥) 1 𝑥 =2+ 1 𝑦 1=24(𝑦−𝑥) 1 𝑥 =2+ 1 𝑦 1=24(𝑦−𝑥) ⇒ 1 𝑥 = 2𝑦+1 𝑦 1=24𝑦−24𝑥 1 𝑥 = 2𝑦+1 𝑦 1=24𝑦−24𝑥 1 𝑥 1 1 𝑥 𝑥𝑥 1 𝑥 = 2𝑦+1 𝑦 2𝑦𝑦+1 2𝑦+1 𝑦 𝑦𝑦 2𝑦+1 𝑦 1 𝑥 = 2𝑦+1 𝑦 1=24𝑦−24𝑥 1=24𝑦𝑦−24𝑥𝑥 1 𝑥 = 2𝑦+1 𝑦 1=24𝑦−24𝑥 1 𝑥 = 2𝑦+1 𝑦 1=24𝑦−24𝑥

𝑥= 𝑦 2𝑦+1 1=24𝑦−24 𝑦 2𝑦+1 𝑥= 𝑦 2𝑦+1 1=24𝑦−24 𝑦 2𝑦+1 𝑥𝑥= 𝑦 2𝑦+1 𝑦𝑦 𝑦 2𝑦+1 2𝑦𝑦+1 𝑦 2𝑦+1 𝑥= 𝑦 2𝑦+1 1=24𝑦−24 𝑦 2𝑦+1 1=24𝑦𝑦−24 𝑦 2𝑦+1 𝑦𝑦 𝑦 2𝑦+1 2𝑦𝑦+1 𝑦 2𝑦+1 𝑥= 𝑦 2𝑦+1 1=24𝑦−24 𝑦 2𝑦+1 𝑥= 𝑦 2𝑦+1 1=24𝑦−24 𝑦 2𝑦+1 ⇔ 𝑥= 𝑦 2𝑦+1 2𝑦+1=48 𝑦 2 +24𝑦−24𝑦 𝑥= 𝑦 2𝑦+1 2𝑦+1=48 𝑦 2 +24𝑦−24𝑦 𝑥𝑥= 𝑦 2𝑦+1 𝑦𝑦 𝑦 2𝑦+1 2𝑦𝑦+1 𝑦 2𝑦+1 𝑥= 𝑦 2𝑦+1 2𝑦+1=48 𝑦 2 +24𝑦−24𝑦 2𝑦𝑦+1=48 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 +24𝑦𝑦−24𝑦𝑦 𝑥= 𝑦 2𝑦+1 2𝑦+1=48 𝑦 2 +24𝑦−24𝑦 𝑥= 𝑦 2𝑦+1 2𝑦+1=48 𝑦 2 +24𝑦−24𝑦 ⇔ 𝑥= 𝑦 2𝑦+1 48 𝑦 2 −2𝑦−1=0 𝑥= 𝑦 2𝑦+1 48 𝑦 2 −2𝑦−1=0 𝑥𝑥= 𝑦 2𝑦+1 𝑦𝑦 𝑦 2𝑦+1 2𝑦𝑦+1 𝑦 2𝑦+1 𝑥= 𝑦 2𝑦+1 48 𝑦 2 −2𝑦−1=0 48 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 −2𝑦𝑦−1=0 𝑥= 𝑦 2𝑦+1 48 𝑦 2 −2𝑦−1=0 𝑥= 𝑦 2𝑦+1 48 𝑦 2 −2𝑦−1=0 ⇔ 𝑥= 1 8 𝑦= 1 6 𝑥= 1 8 𝑦= 1 6 𝑥𝑥= 1 8 1 1 8 8 1 8 𝑥= 1 8 𝑦= 1 6 𝑦𝑦= 1 6 1 1 6 6 1 6 𝑥= 1 8 𝑦= 1 6 𝑥= 1 8 𝑦= 1 6

𝑡𝑡=1: 1 8 1 1 8 8 1 8 =8 (ч)

Ответ: 8 ч.

Задачи на работу