Презентация на тему: "Комбинаторика вокруг нас"

Презентация на тему: "Комбинаторика вокруг нас"

Презентации учебные
pptx
Математика
11 кл
16.01.2020
Презентация по теме : "Комбинаторика вокруг нас"
скачать по прямой ссылке
комбинаторика презентация.pptx

Исследовательский проект по математике на тему: «Комбинаторика вокруг нас»

Среди студентов группы П-111 Белгородского правоохранительного колледжа имени Героя России В.В. Бурцева был проведен опрос для анализа общих знаний комбинаторики. В качестве способа коммуникации с респондентами было выбрано анкетирование. В опросе участвовало 15 человек из них 6 девушек (40%) и 9 парней (60%). Среди опрошенных студентов 3 человека (20%) в 17-тилетнем возрасте, 1 человек, которому 15 лет, остальным 11 (73%) - 16 лет.

Продолжите определение. Комбинаторика – это наука ….

7%

…изучающая движение реальных тел под действием сил.

60%

…о расположении элементов в определенном порядке и о подсчете числа способов такого расположения.

33%

…изучающая случайные события, случайные величины, их свойства и операции.

Какие понятия относятся к комбинаторике?

13%

Кот Шрёдингера

20%

Дискриминант

67%

Факториал

0%

Интеграл

Какие из нижеперечисленных формул относятся к комбинаторике?

13%

.𝐷𝐷= 𝑏 2 𝑏𝑏 𝑏 2 2 𝑏 2 −4𝑎𝑎𝑐𝑐

20%

.𝐼=2𝜋𝑟

67%

. 𝐶 𝑛 𝑚 𝐶𝐶 𝐶 𝑛 𝑚 𝑛𝑛 𝐶 𝑛 𝑚 𝑚𝑚 𝐶 𝑛 𝑚 = 𝑛! 𝑚! 𝑛−𝑚 ! 𝑛𝑛! 𝑛! 𝑚! 𝑛−𝑚 ! 𝑚𝑚! 𝑛−𝑚 𝑛𝑛−𝑚𝑚 𝑛−𝑚 ! 𝑛! 𝑚! 𝑛−𝑚 !

0%

. 𝑥 1,2 𝑥𝑥 𝑥 1,2 1,2 𝑥 1,2 = −𝑏± 𝐷 2𝑎 −𝑏𝑏± 𝐷 𝐷 𝐷𝐷 𝐷 −𝑏± 𝐷 2𝑎 2𝑎𝑎 −𝑏± 𝐷 2𝑎

Что такое факториал?

n!=1*2*3*4*……*n

60% опрошенных студентов смогли дать определение факториалу, 40% - воздержались!

При помощи какой формулы можно решить следующие задачи? (ответ можно записать формулой или написать что это сочетание, размещение или перестановка)

Размещение

Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из 3-х горизонтальных полос различных цветов, если имеется матерал 5-ти цветов?

Перестановка

Сколькими способами можно расставить 8 ладей на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга? (Траектория движения ладьи – по прямой (по горизонтали или вертикали), в любую сторону на любое расстояние.)

Сочетание

Сколькими способами можно в игре «спортлото» выбрать 5 номеров из 36?

Определите какому понятию соответствует определение?
(сочетание, размещение или перестановка)

Размещение

…. из n элементов по k называется упорядоченный набор из k различных элементов некоторого n-элементного множества.

Перестановка

…. из n элементов называется всякий упорядоченный набор из этих элементов.

Сочетание

…. из n по k называется набор k элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов, считаются одинаковыми

Пять студентов (33%) знают точные определения для размещения, перестановки и сочетания, 3 человека дали 2 правильных ответа из 3-х. 1 человек дал один правильный ответ из 3-х. Воздержались от ответа 6 человек (40%).

Из данных опроса видно, что большинство опрошенных имеют общее представление о комбинаторике и могут вычленить правильный ответ из предложенных вариантов, однако более глубокие знания, позволяющие решать комбинаторные задачи, лишь у 40% студентов.
Основная цель презентации на популярном уровне познакомить с разделом дискретной математики, который приобрел значимость в связи с развитием теории вероятностей, математической логики и информационных технологий.
После презентации учащимся будет предложено
решить 3 комбинаторные задачи, чтобы оценить
эффективность данной презентации.

 Комбинаторика – раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами.

Комбинаторика – возникла в XVI в., но как наука стала развиваться в XVIII в. параллельно с возникновением теории вероятностей, так как для решения вероятностных задач необходимо было подсчитать число различных комбинаций элементов.

Огромный вклад в развитие комбинаторики внесли такие ученые как Блез Паскаль, Готфрид Вильгельм Лейбниц,
Якоб Бернулли и Леонард Эйлер.

Основные понятия комбинаторики:
- размещение;
- перестановка;
- сочетание.

n– факториал ‒ произведение первых n ‒ натуральных чисел (обозначается n!)
𝑛𝑛!=1×2×3…×𝑛𝑛

Размещением из n элементов по k называется упорядоченный набор из k различных элементов некоторого n-элементного множества.
А 𝒏 𝒌 А А 𝒏 𝒌 𝒏𝒏 А 𝒏 𝒌 𝒌𝒌 А 𝒏 𝒌 = 𝒏! 𝒏−𝒌 ! 𝒏𝒏! 𝒏! 𝒏−𝒌 ! 𝒏−𝒌 𝒏𝒏−𝒌𝒌 𝒏−𝒌 ! 𝒏! 𝒏−𝒌 !

Перестановкой из n элементов называется всякий упорядоченный набор из этих элементов. Перестановка также является размещением из n элементов по n и вычисляется по формуле
𝑷 𝒏 𝑷𝑷 𝑷 𝒏 𝒏𝒏 𝑷 𝒏 =𝒏𝒏!

Сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов, считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений.
𝑪 𝒏 𝒌 𝑪𝑪 𝑪 𝒏 𝒌 𝒏𝒏 𝑪 𝒏 𝒌 𝒌𝒌 𝑪 𝒏 𝒌 = 𝒏! 𝒌! 𝒏−𝒌 ! 𝒏𝒏! 𝒏! 𝒌! 𝒏−𝒌 ! 𝒌𝒌! 𝒏−𝒌 𝒏𝒏−𝒌𝒌 𝒏−𝒌 ! 𝒏! 𝒌! 𝒏−𝒌 !


Свойства сочетаний:

𝐶 𝑛 𝑘 𝐶𝐶 𝐶 𝑛 𝑘 𝑛𝑛 𝐶 𝑛 𝑘 𝑘𝑘 𝐶 𝑛 𝑘 = 𝐶 𝑛 𝑛−𝑘 𝐶𝐶 𝐶 𝑛 𝑛−𝑘 𝑛𝑛 𝐶 𝑛 𝑛−𝑘 𝑛𝑛−𝑘𝑘 𝐶 𝑛 𝑛−𝑘

𝐶 𝑛 𝑘 = 𝐶 𝑛−1 𝑘−1 + 𝐶 𝑛−1 𝑘

𝐶 𝑛 0 =1= 𝐶 𝑛 𝑛

𝐶 𝑛 1 =𝑛

Алгоритм выбора формулы при решении комбинаторных задач

Правило сложения в комбинаторике

 Правило суммы гласит, что если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причем действие А можно выполнить m способами, а В – n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно n + m способами.

Правило умножения в комбинаторике
 
Правило произведения. Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие n2 способами, третье – n3 способами и так до k-го действия, которое можно выполнить nk способами, то все k действий вместе могут быть выполнены: 𝑁=𝑛 1 𝑁𝑁=𝑛𝑛 𝑁=𝑛 1 1 𝑁=𝑛 1 × 𝑛 2 𝑛𝑛 𝑛 2 2 𝑛 2 ×…× 𝑛 𝑘 𝑛𝑛 𝑛 𝑘 𝑘𝑘 𝑛 𝑘 способами.

Размещений без повторений отвечает на вопрос: сколькими способами можно выбрать и разместить по k различным местам k из n различных предметов?
А 𝒏 𝒌 А А 𝒏 𝒌 𝒏𝒏 А 𝒏 𝒌 𝒌𝒌 А 𝒏 𝒌 = 𝒏! 𝒏−𝒌 ! 𝒏𝒏! 𝒏! 𝒏−𝒌 ! 𝒏−𝒌 𝒏𝒏𝒌𝒌 𝒏−𝒌 ! 𝒏! 𝒏−𝒌 !





Размещений с повторениями отвечает на вопрос: сколькими способами можно выбрать и разместить по k различным местам k из n предметов, среди которых есть одинаковые?
− 𝐴 𝑛 𝑘 − − 𝐴 𝑛 𝑘 𝐴 𝑛 𝑘 𝐴𝐴 𝐴 𝑛 𝑘 𝑛𝑛 𝐴 𝑛 𝑘 𝑘𝑘 𝐴 𝑛 𝑘 − 𝐴 𝑛 𝑘 = 𝑛 𝑘 𝑛𝑛 𝑛 𝑘 𝑘𝑘 𝑛 𝑘

Пример задачи на размещение с повторениями и её решение

Сколько различных сигналов могут дать 4 светофора одновременно?

Решение:
Число различных сигналов на одном светофоре равно 3. Разные светофоры могут подавать одинаковые сигналы. Тогда число различных сигналов, равно числу различных размещений с повторениями из 3 по 4.
− 𝐴 3 4 − − 𝐴 3 4 𝐴 3 4 𝐴𝐴 𝐴 3 4 3 𝐴 3 4 4 𝐴 3 4 − 𝐴 3 4 = 3 4 3 3 4 4 3 4 =81
              

Сочетание без повторений отвечает на вопрос: сколькими способами можно выбрать k из n различных предметов?
𝐶 𝑛 𝑘 𝐶𝐶 𝐶 𝑛 𝑘 𝑛𝑛 𝐶 𝑛 𝑘 𝑘𝑘 𝐶 𝑛 𝑘 = 𝑛! 𝑘! 𝑛−𝑘 ! 𝑛𝑛! 𝑛! 𝑘! 𝑛−𝑘 ! 𝑘𝑘! 𝑛−𝑘 𝑛𝑛−𝑘𝑘 𝑛−𝑘 ! 𝑛! 𝑘! 𝑛−𝑘 !


Пусть имеется множество N из n элементов. Всевозможные неупорядоченные подмножества из k элементов, составленные так, что любой элемент множества N может входить в эти подмножества от 1 до k раз, либо вообще отсутствовать, называются сочетаниями с повторением. Их число подсчитывают по формуле:
− 𝐶 𝑛 𝑘 − − 𝐶 𝑛 𝑘 𝐶 𝑛 𝑘 𝐶𝐶 𝐶 𝑛 𝑘 𝑛𝑛 𝐶 𝑛 𝑘 𝑘𝑘 𝐶 𝑛 𝑘 − 𝐶 𝑛 𝑘 = 𝐶 𝑛+𝑘−1 𝑘 𝐶𝐶 𝐶 𝑛+𝑘−1 𝑘 𝑛𝑛+𝑘𝑘−1 𝐶 𝑛+𝑘−1 𝑘 𝑘𝑘 𝐶 𝑛+𝑘−1 𝑘 = 𝐶 𝑛+𝑘−1 𝑛−1 𝐶𝐶 𝐶 𝑛+𝑘−1 𝑛−1 𝑛𝑛+𝑘𝑘−1 𝐶 𝑛+𝑘−1 𝑛−1 𝑛𝑛−1 𝐶 𝑛+𝑘−1 𝑛−1 = 𝑛+𝑘−1 ! 𝑘! 𝑛−1 ! 𝑛+𝑘−1 𝑛𝑛+𝑘𝑘−1 𝑛+𝑘−1 ! 𝑛+𝑘−1 ! 𝑘! 𝑛−1 ! 𝑘𝑘! 𝑛−1 𝑛𝑛−1 𝑛−1 ! 𝑛+𝑘−1 ! 𝑘! 𝑛−1 !

Пример задачи на сочетание с повторениями и её решение

В кондитерской продают 3 вида пирожных. Сколькими способами один человек может купить 9 пирожных?

Решение:
В задаче требуется найти число всевозможных групп по 9 элементов, которые можно составить из данных трех различных элементов, причем указанные элементы в каждой группе могут повторяться, а сами группы отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.
. − 𝐶 3 9 − − 𝐶 3 9 𝐶 3 9 𝐶𝐶 𝐶 3 9 3 𝐶 3 9 9 𝐶 3 9 − 𝐶 3 9 = 𝐶 3+9−1 9 𝐶𝐶 𝐶 3+9−1 9 3+9−1 𝐶 3+9−1 9 9 𝐶 3+9−1 9 = 𝐶 3+9−1 3−1 𝐶𝐶 𝐶 3+9−1 3−1 3+9−1 𝐶 3+9−1 3−1 3−1 𝐶 3+9−1 3−1 = 𝐶 11 2 𝐶𝐶 𝐶 11 2 11 𝐶 11 2 2 𝐶 11 2 = 11! 2! 11−2 ! 11! 11! 2! 11−2 ! 2! 11−2 11−2 11−2 ! 11! 2! 11−2 ! = 11! 2!∗9! 11! 11! 2!∗9! 2!∗9! 11! 2!∗9! = 9!∙10∙11 2∗9! 9!∙10∙11 9!∙10∙11 2∗9! 2∗9! 9!∙10∙11 2∗9! = 10∗11 2 10∗11 10∗11 2 2 10∗11 2 =55

Перестановка без повторения отвечает на вопрос: сколькими способами можно разместить n различных предметов на n различных местах?
Pn=n!





Перестановка с повторениями, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые и k различных (k < n) (выборка с возвращением).
− 𝑷 𝒏𝟏∙𝒏𝟐∙…∙𝒏𝒌 − − 𝑷 𝒏𝟏∙𝒏𝟐∙…∙𝒏𝒌 𝑷 𝒏𝟏∙𝒏𝟐∙…∙𝒏𝒌 𝑷𝑷 𝑷 𝒏𝟏∙𝒏𝟐∙…∙𝒏𝒌 𝒏𝒏𝟏𝟏∙𝒏𝒏𝟐𝟐∙…∙𝒏𝒏𝒌𝒌 𝑷 𝒏𝟏∙𝒏𝟐∙…∙𝒏𝒌 − 𝑷 𝒏𝟏∙𝒏𝟐∙…∙𝒏𝒌 = 𝒏! 𝒏𝟏!∙𝒏𝟐!∙…∙𝒏𝒌! 𝒏𝒏! 𝒏! 𝒏𝟏!∙𝒏𝟐!∙…∙𝒏𝒌! 𝒏𝒏𝟏𝟏!∙𝒏𝒏𝟐𝟐!∙…∙𝒏𝒏𝒌𝒌! 𝒏! 𝒏𝟏!∙𝒏𝟐!∙…∙𝒏𝒌!

Выбор

Сочетания

Размещения

Перестановки

Без повторения

𝐶 𝑛 𝑘 𝐶𝐶 𝐶 𝑛 𝑘 𝑛𝑛 𝐶 𝑛 𝑘 𝑘𝑘 𝐶 𝑛 𝑘 = 𝑛! 𝑘! 𝑛−𝑘 ! 𝑛𝑛! 𝑛! 𝑘! 𝑛−𝑘 ! 𝑘𝑘! 𝑛−𝑘 𝑛𝑛−𝑘𝑘 𝑛−𝑘 ! 𝑛! 𝑘! 𝑛−𝑘 !

А 𝑛 𝑘 А А 𝑛 𝑘 𝑛𝑛 А 𝑛 𝑘 𝑘𝑘 А 𝑛 𝑘 = 𝑛! 𝑛−𝑘 ! 𝑛𝑛! 𝑛! 𝑛−𝑘 ! 𝑛−𝑘 𝑛𝑛−𝑘𝑘 𝑛−𝑘 ! 𝑛! 𝑛−𝑘 !

𝑃 𝑛 𝑃𝑃 𝑃 𝑛 𝑛𝑛 𝑃 𝑛 =𝑛𝑛!

С повторением

− 𝐶 𝑛 𝑘 − − 𝐶 𝑛 𝑘 𝐶 𝑛 𝑘 𝐶𝐶 𝐶 𝑛 𝑘 𝑛𝑛 𝐶 𝑛 𝑘 𝑘𝑘 𝐶 𝑛 𝑘 − 𝐶 𝑛 𝑘 = 𝑛+𝑘−1 ! 𝑘! 𝑛−1 ! 𝑛+𝑘−1 𝑛𝑛+𝑘𝑘−1 𝑛+𝑘−1 ! 𝑛+𝑘−1 ! 𝑘! 𝑛−1 ! 𝑘𝑘! 𝑛−1 𝑛𝑛−1 𝑛−1 ! 𝑛+𝑘−1 ! 𝑘! 𝑛−1 !

− 𝐴 𝑛 𝑘 − − 𝐴 𝑛 𝑘 𝐴 𝑛 𝑘 𝐴𝐴 𝐴 𝑛 𝑘 𝑛𝑛 𝐴 𝑛 𝑘 𝑘𝑘 𝐴 𝑛 𝑘 − 𝐴 𝑛 𝑘 = 𝑛 𝑘 𝑛𝑛 𝑛 𝑘 𝑘𝑘 𝑛 𝑘

− 𝑃 𝑛1∙…∙𝑛𝑘 − − 𝑃 𝑛1∙…∙𝑛𝑘 𝑃 𝑛1∙…∙𝑛𝑘 𝑃𝑃 𝑃 𝑛1∙…∙𝑛𝑘 𝑛𝑛1∙…∙𝑛𝑛𝑘𝑘 𝑃 𝑛1∙…∙𝑛𝑘 − 𝑃 𝑛1∙…∙𝑛𝑘 = 𝑛! 𝑛1!∙𝑛2!∙…∙𝑛𝑘! 𝑛𝑛! 𝑛! 𝑛1!∙𝑛2!∙…∙𝑛𝑘! 𝑛𝑛1!∙𝑛𝑛2!∙…∙𝑛𝑛𝑘𝑘! 𝑛! 𝑛1!∙𝑛2!∙…∙𝑛𝑘!

Шахматы содержат в себе элементы научного исследования, а задачи, связанные с шахматной теорией (комбинаторикой) широко применяются в математике. Основной способ поиска наилучшего хода заключается в переборе возможных ходов (эвристический метод).
Например, общее число возможных расположений 8 ферзей(королев) на 64-клеточной доске равно 64! 8!∙ 64−8 ! 64! 64! 8!∙ 64−8 ! 8!∙ 64−8 64−8 64−8 ! 64! 8!∙ 64−8 ! =4426165368.

Современные компьютеры позволяют произвести решение задачи (нахождение любого или всех решений) путем прямого перебора всех возможных вариантов расстановки. Общее число возможных расположений, удовлетворяющих условию задачи, равно 92.
Задача этого типа сформулирована и для других фигур, а именно для ладей и слонов, но в этих случаях решение может быть получено несравненно легче.

Клод Шеннон и Михаил Ботвинник внесли огромный вклад в создание математической модели шахматной игры и способствовали прогрессу в интеллектуализации программ для нее.
Впервые компьютерная шахматная программа Deep Blue фирмы IBM обыграла чемпиона мира Каспарова в 1996 году. Однако Каспаров изменил свой стиль игры, выиграв три и сведя вничью две из оставшихся пяти партий.
Компьютерные шахматы — едва ли не самый убедительный пример за полвека развития информационных технологий, когда именно в интеллектуальной деятельности автомат успешно соперничает с человеком.

В современном мире высоких технологий нас окружают всевозможные коды, которые управляют работой любого гаджета. Все компьютерные программы написаны с использованием двоичного кода. От расстановки единиц и нулей в коде зависит работа и назначение той или иной программы.
Даже если не рассматривать самый очевидный пример использования паролей и кодов, в нашей жизни коды встречаются повсеместно, начиная с даты нашего рождения.
Астрологи и нумерологи утверждают, что дата нашего рождения, это некий код, который откладывает отпечаток на наш характер и судьбу в целом.

Слова которыми мы пользуемся в обычной жизни можно тоже представить как коды, значение которых понятно всем. Но во время войны появилась необходимость шифровать послания.
Методом шифрования (шифром) называется совокупность обратимых преобразований открытой информации в закрытую информацию в соответствии с алгоритмом шифрования.
Шифр Цезаря – на основе его разработаны все шпионские шифры, начиная с 10 века до нашей эры. Основой служит сдвиг, одной буквы вправо на один символ.
Шифр Вижнера, состоит из (квадрата) матрицы букв русского алфавита. Шифрование символа происходит путем сдвига буквы в каждой строке алфавита на одну позицию вправо.

Ручные методы шифрования занимали огромное количество времени (до 6 часов) и были недостаточно эффективны. Поэтому в довоенные годы и в годы войны были изобретены различные шифровальные машины.
В 1939 году на Ленинградском заводе была создана шифровальная машина, которая получила название М-100 (141 кг). В 1939 году была запущенна в серийное производство шифровальная машина К-37 «Кристалл».
Шифровальная машина «Энигма» (65x45x35 см, 50 кг), созданная в 1919 году голландцем Гуго Кох де Дельфтю. Затем, немец Арту Шернбус приобрёл патент на неё и назвал «Энигма». В 1928 году появилась «Энигма вермахта»; она отличалась портативностью и усиленной криптостойкостью и работала в сухопутных войсках и ВВС.

В сентябре 1932 года разведка Польши привлекает к разработке дешифратора «Энигмы» трех математиков, специалистов высшего класса – Мариана Режевского, Тадеуша Лисицкого и Генриха Зыгальского. В декабре 1938 они создали настоящую счетную машину, предка ЭВМ, нареченную "Бомбой". В результате совместных усилий к марту 1940 года дешифровальные машины заработали на полную мощность. В Англии это был источник "Ультра" — эквивалент французскому "Зэд".

В Советском Союзе математики высокого класса были привлечены в криптографическую службу лишь в конце 40–х годов.
На машинную шифросвязь в годы войны легла основная нагрузка при передаче секретных телеграмм: громоздкие М-100 заменили на более компактные М-101 («Изумруд»).
Широко использовалось и ручное шифрование. Телеграммы отправлялись с помощью легких радиостанций с автономным питанием и возможностью работать в плавном диапазоне «Север» (около 2 кг) выпускающихся в Ленинграде (Б. П. Асеев - инженер-конструктор, изобретатель, ученый).

Решение комбинаторных задач

Задача №1. Предприятие может предоставить работу по одной специальности 4 женщинами, по другой - 6 мужчинам, по третьей - 3 работникам независимо от пола. Сколькими способами можно заполнить вакантные места, если имеются 14 претендентов: 6 женщин и 8 мужчин?
Задача № 2. В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 4 человека, при условии, что все они должны ехать в различных вагонах?
Задача №3. В группе 9 человек. Сколько можно образовать разных подгрупп при условии, что в подгруппу входит не менее 2 человек?

Задача №1. Предприятие может предоставить работу по одной специальности 4 женщинами, по другой - 6 мужчинам, по третьей - 3 работникам независимо от пола. Сколькими способами можно заполнить вакантные места, если имеются 14 претендентов: 6 женщин и 8 мужчин?
Решение задачи №1.
Выбираю из 6 женщин работника на 4 рабочих места женской специальности. 𝑪 𝟔 𝟒 𝑪𝑪 𝑪 𝟔 𝟒 𝟔𝟔 𝑪 𝟔 𝟒 𝟒𝟒 𝑪 𝟔 𝟒 = 𝟔! 𝟒! 𝟔−𝟒 ! 𝟔𝟔! 𝟔! 𝟒! 𝟔−𝟒 ! 𝟒𝟒! 𝟔−𝟒 𝟔𝟔−𝟒𝟒 𝟔−𝟒 ! 𝟔! 𝟒! 𝟔−𝟒 ! = 𝟔! 𝟒!∗𝟐! 𝟔𝟔! 𝟔! 𝟒!∗𝟐! 𝟒𝟒!∗𝟐𝟐! 𝟔! 𝟒!∗𝟐! = 𝟏∙𝟐∙𝟑∙𝟒∙𝟓∙𝟔 𝟏∙𝟐∙𝟑∙𝟒 ∗𝟏∙𝟐 𝟏𝟏∙𝟐𝟐∙𝟑𝟑∙𝟒𝟒∙𝟓𝟓∙𝟔𝟔 𝟏∙𝟐∙𝟑∙𝟒∙𝟓∙𝟔 𝟏∙𝟐∙𝟑∙𝟒 ∗𝟏∙𝟐 𝟏𝟏∙𝟐𝟐∙𝟑𝟑∙𝟒𝟒 ∗𝟏𝟏∙𝟐𝟐 𝟏∙𝟐∙𝟑∙𝟒∙𝟓∙𝟔 𝟏∙𝟐∙𝟑∙𝟒 ∗𝟏∙𝟐 =𝟏𝟏𝟓𝟓
2) Выбираю из 8 мужчин работника на 6 рабочих мест мужской специальности. 𝑪 𝟖 𝟔 𝑪𝑪 𝑪 𝟖 𝟔 𝟖𝟖 𝑪 𝟖 𝟔 𝟔𝟔 𝑪 𝟖 𝟔 = 𝟖! 𝟔! 𝟖−𝟔 ! 𝟖𝟖! 𝟖! 𝟔! 𝟖−𝟔 ! 𝟔𝟔! 𝟖−𝟔 𝟖𝟖−𝟔𝟔 𝟖−𝟔 ! 𝟖! 𝟔! 𝟖−𝟔 ! = 𝟖! 𝟔!∗𝟐! 𝟖𝟖! 𝟖! 𝟔!∗𝟐! 𝟔𝟔!∗𝟐𝟐! 𝟖! 𝟔!∗𝟐! = 𝟏∙𝟐∙𝟑∙𝟒∙𝟓∙𝟔∙𝟕∙𝟖 𝟏∙𝟐∙𝟑∙𝟒∙𝟓∙𝟔∗𝟏∙𝟐 𝟏𝟏∙𝟐𝟐∙𝟑𝟑∙𝟒𝟒∙𝟓𝟓∙𝟔𝟔∙𝟕𝟕∙𝟖𝟖 𝟏∙𝟐∙𝟑∙𝟒∙𝟓∙𝟔∙𝟕∙𝟖 𝟏∙𝟐∙𝟑∙𝟒∙𝟓∙𝟔∗𝟏∙𝟐 𝟏𝟏∙𝟐𝟐∙𝟑𝟑∙𝟒𝟒∙𝟓𝟓∙𝟔𝟔∗𝟏𝟏∙𝟐𝟐 𝟏∙𝟐∙𝟑∙𝟒∙𝟓∙𝟔∙𝟕∙𝟖 𝟏∙𝟐∙𝟑∙𝟒∙𝟓∙𝟔∗𝟏∙𝟐 =𝟐𝟐𝟖𝟖
3) После решения 1-ого и 2-ого пункта остаются 2 женщины и 2 мужчины на оставшиеся 3 вакансии, которые могут занять 4 человека не зависимо от пола. 𝑪 𝟒 𝟑 𝑪𝑪 𝑪 𝟒 𝟑 𝟒𝟒 𝑪 𝟒 𝟑 𝟑𝟑 𝑪 𝟒 𝟑 = 𝟒! 𝟑! 𝟒−𝟑 ! 𝟒𝟒! 𝟒! 𝟑! 𝟒−𝟑 ! 𝟑𝟑! 𝟒−𝟑 𝟒𝟒−𝟑𝟑 𝟒−𝟑 ! 𝟒! 𝟑! 𝟒−𝟑 ! = 𝟒! 𝟑!∗𝟏! 𝟒𝟒! 𝟒! 𝟑!∗𝟏! 𝟑𝟑!∗𝟏𝟏! 𝟒! 𝟑!∗𝟏! = 𝟏∙𝟐∙𝟑∙𝟒 𝟏∙𝟐∙𝟑∗𝟏 𝟏𝟏∙𝟐𝟐∙𝟑𝟑∙𝟒𝟒 𝟏∙𝟐∙𝟑∙𝟒 𝟏∙𝟐∙𝟑∗𝟏 𝟏𝟏∙𝟐𝟐∙𝟑𝟑∗𝟏𝟏 𝟏∙𝟐∙𝟑∙𝟒 𝟏∙𝟐∙𝟑∗𝟏 =𝟒𝟒
4) 15*28*4=1680. Ответ: 1680 способов.

Задача № 2. В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 4 человека, при условии, что все они должны ехать в различных вагонах?
Решение задачи № 2.
Все пассажиры должны ехать в разных вагонах, поэтому требуется отобрать 4 вагона из 9 с учетом порядка. Для решения задачи использую формулу размещения без повторения.
А 𝟗 𝟒 А А 𝟗 𝟒 𝟗𝟗 А 𝟗 𝟒 𝟒𝟒 А 𝟗 𝟒 = 𝟗! 𝟗−𝟒 ! 𝟗𝟗! 𝟗! 𝟗−𝟒 ! 𝟗−𝟒 𝟗𝟗−𝟒𝟒 𝟗−𝟒 ! 𝟗! 𝟗−𝟒 ! = 𝟏∙𝟐∙𝟑∙𝟒∙𝟓∙𝟔∙𝟕∙𝟖∙𝟗 𝟏∙𝟐∙𝟑∙𝟒∙𝟓 𝟏𝟏∙𝟐𝟐∙𝟑𝟑∙𝟒𝟒∙𝟓𝟓∙𝟔𝟔∙𝟕𝟕∙𝟖𝟖∙𝟗𝟗 𝟏∙𝟐∙𝟑∙𝟒∙𝟓∙𝟔∙𝟕∙𝟖∙𝟗 𝟏∙𝟐∙𝟑∙𝟒∙𝟓 𝟏𝟏∙𝟐𝟐∙𝟑𝟑∙𝟒𝟒∙𝟓𝟓 𝟏∙𝟐∙𝟑∙𝟒∙𝟓∙𝟔∙𝟕∙𝟖∙𝟗 𝟏∙𝟐∙𝟑∙𝟒∙𝟓 =𝟔𝟔∙𝟕𝟕∙𝟖𝟖∙𝟗𝟗=𝟑𝟑𝟎𝟎𝟐𝟐𝟒𝟒
Ответ: 3024 способами можно рассадить в поезде 4 человека.

Задача №3. В группе 9 человек. Сколько можно образовать разных подгрупп при условии, что в подгруппу входит не менее 2 человек?
Решение задачи №3.
Не менее 2-х человек, т.е 2+7 или 3+6 или 4+5 человек (5+4, 6+3, 7+2 – те же самые комбинации).
Из 2-х человек: 𝑪 𝟗 𝟐 𝑪𝑪 𝑪 𝟗 𝟐 𝟗𝟗 𝑪 𝟗 𝟐 𝟐𝟐 𝑪 𝟗 𝟐 = 𝟗! 𝟐! 𝟗−𝟐 ! 𝟗𝟗! 𝟗! 𝟐! 𝟗−𝟐 ! 𝟐𝟐! 𝟗−𝟐 𝟗𝟗−𝟐𝟐 𝟗−𝟐 ! 𝟗! 𝟐! 𝟗−𝟐 ! = 𝟗! 𝟐!∗𝟕! 𝟗𝟗! 𝟗! 𝟐!∗𝟕! 𝟐𝟐!∗𝟕𝟕! 𝟗! 𝟐!∗𝟕! = 𝟏∙𝟐∙𝟑∙𝟒∙𝟓∙𝟔∙𝟕∙𝟖∙𝟗 𝟏∙𝟐∗𝟏∙𝟐∙𝟑∙𝟒∙𝟓∙𝟔∙𝟕 𝟏𝟏∙𝟐𝟐∙𝟑𝟑∙𝟒𝟒∙𝟓𝟓∙𝟔𝟔∙𝟕𝟕∙𝟖𝟖∙𝟗𝟗 𝟏∙𝟐∙𝟑∙𝟒∙𝟓∙𝟔∙𝟕∙𝟖∙𝟗 𝟏∙𝟐∗𝟏∙𝟐∙𝟑∙𝟒∙𝟓∙𝟔∙𝟕 𝟏𝟏∙𝟐𝟐∗𝟏𝟏∙𝟐𝟐∙𝟑𝟑∙𝟒𝟒∙𝟓𝟓∙𝟔𝟔∙𝟕𝟕 𝟏∙𝟐∙𝟑∙𝟒∙𝟓∙𝟔∙𝟕∙𝟖∙𝟗 𝟏∙𝟐∗𝟏∙𝟐∙𝟑∙𝟒∙𝟓∙𝟔∙𝟕 = 𝟖∙𝟗 𝟐 𝟖𝟖∙𝟗𝟗 𝟖∙𝟗 𝟐 𝟐𝟐 𝟖∙𝟗 𝟐 =𝟑𝟑𝟔𝟔
Из 3-х человек: 𝑪 𝟗 𝟑 𝑪𝑪 𝑪 𝟗 𝟑 𝟗𝟗 𝑪 𝟗 𝟑 𝟑𝟑 𝑪 𝟗 𝟑 = 𝟗! 𝟑! 𝟗−𝟑 ! 𝟗𝟗! 𝟗! 𝟑! 𝟗−𝟑 ! 𝟑𝟑! 𝟗−𝟑 𝟗𝟗−𝟑𝟑 𝟗−𝟑 ! 𝟗! 𝟑! 𝟗−𝟑 ! = 𝟗! 𝟑!∗𝟔! 𝟗𝟗! 𝟗! 𝟑!∗𝟔! 𝟑𝟑!∗𝟔𝟔! 𝟗! 𝟑!∗𝟔! = 𝟏∙𝟐∙𝟑∙𝟒∙𝟓∙𝟔∙𝟕∙𝟖∙𝟗 𝟏∙𝟐∙𝟑∗𝟏∙𝟐∙𝟑∙𝟒∙𝟓∙𝟔 𝟏𝟏∙𝟐𝟐∙𝟑𝟑∙𝟒𝟒∙𝟓𝟓∙𝟔𝟔∙𝟕𝟕∙𝟖𝟖∙𝟗𝟗 𝟏∙𝟐∙𝟑∙𝟒∙𝟓∙𝟔∙𝟕∙𝟖∙𝟗 𝟏∙𝟐∙𝟑∗𝟏∙𝟐∙𝟑∙𝟒∙𝟓∙𝟔 𝟏𝟏∙𝟐𝟐∙𝟑𝟑∗𝟏𝟏∙𝟐𝟐∙𝟑𝟑∙𝟒𝟒∙𝟓𝟓∙𝟔𝟔 𝟏∙𝟐∙𝟑∙𝟒∙𝟓∙𝟔∙𝟕∙𝟖∙𝟗 𝟏∙𝟐∙𝟑∗𝟏∙𝟐∙𝟑∙𝟒∙𝟓∙𝟔 = 𝟕∙𝟖∙𝟗 𝟐∙𝟑 𝟕𝟕∙𝟖𝟖∙𝟗𝟗 𝟕∙𝟖∙𝟗 𝟐∙𝟑 𝟐𝟐∙𝟑𝟑 𝟕∙𝟖∙𝟗 𝟐∙𝟑 =𝟖𝟖𝟒𝟒
Из 4-х человек: 𝑪 𝟗 𝟒 𝑪𝑪 𝑪 𝟗 𝟒 𝟗𝟗 𝑪 𝟗 𝟒 𝟒𝟒 𝑪 𝟗 𝟒 = 𝟗! 𝟒! 𝟗−𝟒 ! 𝟗𝟗! 𝟗! 𝟒! 𝟗−𝟒 ! 𝟒𝟒! 𝟗−𝟒 𝟗𝟗−𝟒𝟒 𝟗−𝟒 ! 𝟗! 𝟒! 𝟗−𝟒 ! = 𝟗! 𝟒!∗𝟓! 𝟗𝟗! 𝟗! 𝟒!∗𝟓! 𝟒𝟒!∗𝟓𝟓! 𝟗! 𝟒!∗𝟓! = 𝟏∙𝟐∙𝟑∙𝟒∙𝟓∙𝟔∙𝟕∙𝟖∙𝟗 𝟏∙𝟐∙𝟑∙𝟒∗𝟏∙𝟐∙𝟑∙𝟒∙𝟓 𝟏𝟏∙𝟐𝟐∙𝟑𝟑∙𝟒𝟒∙𝟓𝟓∙𝟔𝟔∙𝟕𝟕∙𝟖𝟖∙𝟗𝟗 𝟏∙𝟐∙𝟑∙𝟒∙𝟓∙𝟔∙𝟕∙𝟖∙𝟗 𝟏∙𝟐∙𝟑∙𝟒∗𝟏∙𝟐∙𝟑∙𝟒∙𝟓 𝟏𝟏∙𝟐𝟐∙𝟑𝟑∙𝟒𝟒∗𝟏𝟏∙𝟐𝟐∙𝟑𝟑∙𝟒𝟒∙𝟓𝟓 𝟏∙𝟐∙𝟑∙𝟒∙𝟓∙𝟔∙𝟕∙𝟖∙𝟗 𝟏∙𝟐∙𝟑∙𝟒∗𝟏∙𝟐∙𝟑∙𝟒∙𝟓 = 𝟔∙𝟕∙𝟖∙𝟗 𝟐∙𝟑∙𝟒 𝟔𝟔∙𝟕𝟕∙𝟖𝟖∙𝟗𝟗 𝟔∙𝟕∙𝟖∙𝟗 𝟐∙𝟑∙𝟒 𝟐𝟐∙𝟑𝟑∙𝟒𝟒 𝟔∙𝟕∙𝟖∙𝟗 𝟐∙𝟑∙𝟒 =𝟏𝟏𝟐𝟐𝟔𝟔
𝑪 𝟗 𝟒 𝑪𝑪 𝑪 𝟗 𝟒 𝟗𝟗 𝑪 𝟗 𝟒 𝟒𝟒 𝑪 𝟗 𝟒 + 𝑪 𝟗 𝟑 𝑪𝑪 𝑪 𝟗 𝟑 𝟗𝟗 𝑪 𝟗 𝟑 𝟑𝟑 𝑪 𝟗 𝟑 + 𝑪 𝟗 𝟐 𝑪𝑪 𝑪 𝟗 𝟐 𝟗𝟗 𝑪 𝟗 𝟐 𝟐𝟐 𝑪 𝟗 𝟐 =𝟏𝟏𝟐𝟐𝟔𝟔+𝟖𝟖𝟒𝟒+𝟑𝟑𝟔𝟔=𝟐𝟐𝟒𝟒𝟔𝟔

Ответ: 246 способов.

Заключение
Комбинаторика связана с другими областями математики — алгеброй, геометрией, теорией вероятностей и применяется в различных областях знаний (например, в генетике, информатике, статистической физике).
Помимо азартных игр, комбинаторные методы использовались (и продолжают использоваться) в криптографии — как для разработки шифров, так и для их взлома.
Можно сделать вывод, что дальнейшее развитие комбинаторики и теории вероятностей необходимо для научного прогресса, который ведет к улучшению уровня жизни населения, а, значит, к тому, к чему стремится все человечество на протяжении десятков веков.

Друзья! Добро пожаловать на обновленный сайт «Знанио»!

Если у вас уже есть кабинет, вы можете войти в него, используя обычные данные.

Что-то не получается или не работает? Мы всегда на связи ;)