Цилиндр
Цилиндр
Цилиндр Определение цилиндра
Цилиндр
Определение
цилиндра
Элементы
цилиндра
Объем цилиндра
Площадь боковой
поверхности цилиндра
Сегодня на уроке:
Площадь полной
поверхности цилиндра
Цилиндр
Цилиндр
Цилиндр
Цилиндр
При вращении стороны 𝐶𝐶𝐷𝐷 образуется поверхность, состоящая из отрезков, параллельных оси цилиндра
При вращении стороны 𝐶𝐶𝐷𝐷 образуется поверхность, состоящая из отрезков, параллельных оси цилиндра.
Ее называют цилиндрической поверхностью или боковой поверхностью цилиндра.
Определение. Цилиндр – это тело, ограниченное двумя равными кругами и цилиндрической поверхностью.
Прямая 𝐴𝐴𝐵𝐵 называется осью цилиндра.
Отрезок 𝐴𝐴𝐵𝐵 – его высотой.
При вращении сторон 𝐴𝐴𝐷𝐷 и 𝐵𝐵𝐶𝐶 образуются два равных круга – они называются основаниями цилиндра.
Их радиус называется радиусом цилиндра.
ось
цилиндра
Отрезки, из которых она составлена называют образующими цилиндра.
высота
𝐶
𝐷
𝐴
основание
основание
радиус
𝐵
боковая
поверхность
образующая
Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту
Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
Воспользуемся принципом Кавальери.
𝛼
𝑺
𝑺
𝒉
𝒉
𝑺
𝑺
𝑉 цилиндра 𝑉𝑉 𝑉 цилиндра цилиндра 𝑉 цилиндра = 𝑉 призмы 𝑉𝑉 𝑉 призмы призмы 𝑉 призмы
𝑉 призмы 𝑉𝑉 𝑉 призмы призмы 𝑉 призмы = 𝑆 осн 𝑆𝑆 𝑆 осн осн 𝑆 осн ∙ℎ
𝑉 цилиндра 𝑉𝑉 𝑉 цилиндра цилиндра 𝑉 цилиндра = 𝑆 осн 𝑆𝑆 𝑆 осн осн 𝑆 осн ∙ℎ
Развертка боковой поверхности цилиндра 2𝜋𝑟 𝑺 бок
𝑟
ℎ
𝐴
𝐵
𝛼
𝐴
𝐵
𝐴 ′ 𝐴𝐴 𝐴 ′ ′ 𝐴 ′
𝐵 ′ 𝐵𝐵 𝐵 ′ ′ 𝐵 ′
ℎ
Развертка
боковой поверхности
цилиндра
2𝜋𝑟
𝑺 бок.пов. =𝟐𝝅𝒓∙𝒉
𝑺 полн.пов. = 𝑺 бок.пов. +𝟐 𝑺 осн
=𝟐𝝅𝒓∙𝒉+𝟐𝝅 𝒓 𝟐
=𝟐𝝅𝒓∙(𝒉+𝒓)
Задача. Диаметр основания цилиндра равен 2 см
Задача. Диаметр основания цилиндра равен 2 см. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если высота цилиндра равна длине окружности основания.
Ответ: 𝑆 полн.пов. 𝑆𝑆 𝑆 полн.пов. полн.пов. 𝑆 полн.пов. ≈42 (см2).
Решение.
𝑆 полн.пов. 𝑆𝑆 𝑆 полн.пов. полн.пов. 𝑆 полн.пов. = 𝑆 бок.пов. 𝑆𝑆 𝑆 бок.пов. бок.пов. 𝑆 бок.пов. +2 𝑆 осн 𝑆𝑆 𝑆 осн осн 𝑆 осн =2𝜋𝜋𝑟𝑟∙ℎ+2𝜋𝜋 𝑟 2 𝑟𝑟 𝑟 2 2 𝑟 2
ℎ=𝐶=2𝜋𝑟
𝑑𝑑=2 см
𝑟𝑟= 1 2 1 1 2 2 1 2 𝑑𝑑= 1 2 1 1 2 2 1 2 ∙2=1 (см)
𝑆 полн.пов. =2𝜋𝑟∙2𝜋𝑟+2𝜋 𝑟 2
=4 𝜋 2 +2𝜋
≈4∙ 3 2 3 3 2 2 3 2 +2∙3
2 см
=2𝜋𝜋∙1∙2𝜋𝜋∙1+2𝜋𝜋∙ 1 2 1 1 2 2 1 2 =
≈42 (см2)
𝑂
ℎ
2𝜋𝑟
Задача. Высота цилиндра 6 см, а радиус основания – 5 см
Задача. Высота цилиндра 6 см, а радиус основания – 5 см. Вычислите объем цилиндра.
Ответ: 𝑉 цилиндра 𝑉𝑉 𝑉 цилиндра цилиндра 𝑉 цилиндра ≈450 (см3).
Решение.
𝑉 цилиндра 𝑉𝑉 𝑉 цилиндра цилиндра 𝑉 цилиндра = 𝑆 осн 𝑆𝑆 𝑆 осн осн 𝑆 осн ∙ℎ
𝑆 круга 𝑆𝑆 𝑆 круга круга 𝑆 круга =𝜋𝜋 𝑟 2 𝑟𝑟 𝑟 2 2 𝑟 2
𝑉 цилиндра =𝜋 𝑟 2 ∙ℎ
𝑉 цилиндра 𝑉𝑉 𝑉 цилиндра цилиндра 𝑉 цилиндра =𝜋𝜋∙ 5 2 5 5 2 2 5 2 ∙6
5 см
=150𝜋𝜋
𝑂
6 см
≈150∙3≈450 (см3)
Цилиндр Цилиндр – это тело, ограниченное двумя равными кругами и цилиндрической поверхностью
| |
Цилиндр
Цилиндр – это тело, ограниченное двумя равными кругами и цилиндрической поверхностью.
𝑽 цилиндра = 𝑺 осн ∙𝒉
𝑺 бок.пов. =𝟐𝝅𝒓∙𝒉
𝑺 полн.пов. = 𝑺 бок.пов. +𝟐 𝑺 осн =𝟐𝝅𝒓∙(𝒉+𝒓)
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
